一二三四話命題

王艷紅

一個核心 “判斷”是命題的核心， 是決定一個句子是不是命題的主要依據和重要標準．命題是對一件事情的是非曲直作出明確判斷的句子，它可以是數學中對某個結論的判斷，也可以是對日常生活中某種現象是否發生的預言與判斷．比如，“這個小孩是男孩”這一句話，是對小孩的性別作出了判斷，明確地判斷出這個小孩是男的．因此，這個句子就是命題．如果把這句話改成“這個小孩好像是男的”，或者“這個小孩不一定是男的”，那么這兩句話就都不是命題，因為這兩句話都沒有對小孩的性別作出明確的判斷．當然，如果把這句話改成“這個小孩不是男的”，那么這也是命題，因為它也對小孩的性別作出了明確的判斷——不是男的．又如“對頂角相等”這句話，對兩個對頂角的大小關系作出了“相等”的判斷，因此，它也是命題．

但要注意，命題是一個完整的判斷句子．而那些有頭無尾或無頭無尾，不知所云的句子，雖然有判斷，但也不能說它是命題．如“留長發的男人”、“直線平行”、“大于3”等都不是命題．

兩個基本點 “題設”和“結論”是命題的重要組成部分，是命題的兩個基本點，也是命題的重要特征．任何一個命題都可以寫成“如果……那么……”的形式，在“如果”的后面、“那么”的前面這一部分所指的事項，叫做命題的題設，“那么”后面所指的事項稱為命題的結論．確定命題的題設和結論時，首先要注意理解該命題的判斷對象是什么，條件是什么，判斷的結果又是什么．比如，“對頂角相等”這個命題的題設和結論分別是什么？仔細分析，不難發現這個命題是對“對頂角”大小作出的判斷，判斷的結果是“相等”．這樣我們就可以把它寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，至此題設“對頂角”，結論“相等”便水落石出了．又如，“兩直線平行，同位角相等”這個命題，它是在“兩直線平行”的條件下對同位角的大小作出“相等”的判斷，所以題設是“兩直線平行”，結論是“同位角相等”．

三項無關 命題的核心是判斷，而判斷有時正確，有時錯誤，有時無法確定判斷究竟是正確還是錯誤．判斷正確的命題叫做真命題，判斷錯誤的命題叫做假命題，正確與否無法判定的命題叫做猜想．真命題、假命題和猜想都是命題．特別要注意假命題也是命題，即使癡人在夢中說“太陽是從西邊出來的”，這也是命題．如果說“對頂角不相等”，那么這句話也是命題，只不過是個假命題而已．

說明一個命題是真命題需要進行推理論證，而說明一個命題是假命題只需舉出一個反例（滿足題設條件，但與結論矛盾的例子）就可以了．比如，為什么說“若｜a｜＝｜b｜，則a＝b”是假命題呢？因為當取a＝3，b＝－3時，符合題設｜a｜＝｜b｜，但此時a≠b，與結論a＝b相矛盾，所以這個命題是假命題．再比如，你如果要說明“九（2）班同學都是女的”這個命題是假命題，那你只要在該班同學中找到一個男同學就可以說明這個命題是假命題．當然，你不能用九（1）班的某某同學是男的來作為理由．猜想既無法推理論證，也無法舉出它的反例．

四種形式 常見命題有如下四種形式：

（1） 定義性命題．它是用來闡述概念含義的命題，如“同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線”，它是對“平行線”的意義進行特征性地描述的命題．

（2） 公理性命題．它的正確性是公認的、毋庸置疑的，不需要推理論證，有時也是無法論證的．如“經過兩點有且只有一條直線”這個命題，大家都知道它是正確的，你不必去論證，也是無法論證的．

（3） 定理性命題．它的正確性需要用已有的數學概念和結論經過嚴密的推理論證．如“兩直線平行，內錯角相等”，其正確性要用如下的推理進行論證．

如圖1，已知a∥b，求證：∠1＝∠2．

證明：∵ a∥b（已知），

∴ ∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）．

∵ ∠3＝∠1（對頂角相等），

∴ ∠1＝∠2（等量代換）．

（4） 猜想性命題．其正確與否無從考證．比如“地球外有人”這個命題，是真是假還是個謎．說它是真命題吧，至今沒有人看到過外星人；說它是假命題吧，浩瀚無窮的宇宙我們知之甚微，誰能確定那數不盡的星球中就沒有一個與地球一樣的？像這種命題就稱為猜想．再比如“任何一個大于2的偶數都可以表示為兩個素數之和（簡稱1＋1）”，是真是假至今尚無人知曉．說它是假命題吧，沒有人找出它的反例；說它是真命題吧，又沒有人能給出它的證明．這就是著名的哥德巴赫猜想，被譽為是數學皇冠上的明珠．我國著名數學家陳景潤為摘取這顆明珠獻出了畢生的心血，成為了世界級的大數學家．