例說有關圓典型問題的解法

張玉明

圓中有許多典型習題，通過這些典型習題的學習，同學們將掌握圓的相關知識.

一、有關弦、半徑、圓心到弦的距離的計算

例1 如圖1，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB=90°，以點C為圓心、CA為半徑的圓與AB交于點D，求AD的長．

解：作CH⊥AB，垂足為H.

由∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，可得AB=10.

顯然AC 2=AH·AB，由此可得AH＝3.6.

由CH⊥AB，可得AD=2AH，所以AD=7.2.

答：AD的長為7.2．

評注： 解決與弦有關的問題，往往需要構造垂徑定理的基本圖形（可稱為“徑弦三角形”）——由半徑R、圓心到此弦的距離d、弦長a的一半構成的直角三角形.在徑弦三角形中，有R 2=d 2+ 2，所以三個量中知道兩個，就可求出第三個.徑弦三角形是有關圓的計算和證明的基本圖形，應用廣泛，同學們在學習時要特別重視.

二、圓心角、弧、弦關系的應用

例2 如圖2所示，AB是⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點E，F，且AE=BF，請你找出 與 的數量關系，并給予證明．

解： = .連接OA，OB.

由OA=OB，可得∠OAB=∠OBA.

再由AE=BF，可得△OAE≌△OBF，得∠AOC=∠BOD.所以 = .

評注： 這也是一個很有趣的結論.顯然，若 = ，那么AE=BF.這和“等弧對等弦”很相似.

三、圓周角定理的應用

例3 如圖3，AC為⊙O的直徑，B，D，E都是⊙O上的點，求∠A+∠B+∠C的度數.

解：連接AE.顯然∠AEC=90°.

∴?搖∠CAD+∠EAD+∠C=90°.

顯然∠B=∠EAD，所以∠CAD+∠B+∠C=90°.

評注： 如果注意到這些角所對的弧為 ， ， ，恰好組成半圓，很容易知道三角和為90°.同樣，∠D+∠BEC=90°.

四、證明四個點在同一圓上

例4 求證：菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上.

已知：如圖4，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O.

求證：菱形ABCD各邊中點M，N，P，Q在以O為圓心的同一個圓上.

證明：連接OM，ON，OP，OQ，只要能證明OM=ON=OP=OQ，就證明這四個點在同一個圓上.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，垂足為O，且AB＝BC＝CD＝DA.

又∵M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，

∴OM＝ON＝OP＝OQ＝ AB.

∴M，N，P，Q四點在以O為圓心、OM為半徑的圓上.

評注： 本題證明四點共圓的方法有普遍意義.也可以選其中三點確定一個圓，然后證明另外一點在這個圓上.

五、直線與圓的位置關系

例5 （1） 如圖5，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B，試說明AE與⊙O相切于點A．

（2） 在（1）中，若AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，AE還與⊙O相切于點A嗎？請說明理由．

解：（1） 由AB是⊙O的直徑，可得∠C=90°，∠BAC＋∠B=90°.

又由∠CAE=∠B，可得∠BAC＋∠CAE=90°，即∠BAE=90°.

∴AE與⊙O相切于點A．

（2） 連接AO并延長交⊙O于D，連接CD，如圖6.顯然∠D＋∠CAD=90°.

由∠D=∠B，可得∠B＋∠CAD=90°.

已知∠CAE=∠B，所以∠CAE＋∠CAD=90°.

所以∠EAD=90°.所以AE與⊙O相切于點A．

評注： 證明直線和圓相切有兩種基本方法：一是“作半徑證垂直”，即直線和圓有公共點，連接這點和圓心，證明這條半徑與直線垂直；二是“作垂線證半徑”，即由圓心向直線作垂線，證明垂足和圓心連接的線段等于半徑.

例6 如圖7，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC．

（1） 求證：△ABC∽△POA.

（2） 若AB=2，PA= ，求BC的長．（結果保留根號）

解：（1） 由AB是⊙O的直徑，可知∠ACB=90°.

因PA是⊙O的切線，故∠PAO=90°，∠ACB=∠PAO.

由BC∥OP，可得∠AOP=∠ABC.所以△ABC∽△POA.

（2） 在Rt△PAO中，PO= = .

由（1）知△ABC∽△POA，所以 = .

∴BC= = = .

例7 如圖8，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圓⊙O的半徑.

解：作直徑AD，連接BD，作AE⊥BC，垂足為E.

則∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C.

∴△ADB∽△ACE，可得AC ∶ AD=AE ∶ AB.

設CE＝x.由AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2，得132-x2＝152-（14-x）2.

解得x=5，即CE＝5.所以AE＝12.

∴ ＝ ，即 ＝ ，AD= .

故△ABC外接圓⊙O的半徑為 .

例8 如圖9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求△ABC內切圓⊙O的半徑.

解：設E，D為切點，連接OE，OD.由切線的性質定理知，∠OEC=∠ODC=∠C=90°，CE=CD=OE=OD.

∴四邊形ODCE為正方形.

設⊙O的半徑為r，則CD=CE=r，BD=a-r，AE=b-r，所以（a-r）+（b-r）=c.

∴r= ，即△ABC內切圓⊙O的半徑為 .

評注： 已知直角三角形的三邊求這個三角形的內切圓的半徑的公式可以直接用于解題.

例9 如圖10，點O是△ABC的內切圓的圓心，若∠A=80°，則∠BOC=（）.

A． 130°B． 100°C． 50°D． 65°

解：∵2∠OBC+2∠OCB+∠A=180°，

∴∠OBC+∠OCB= =50°.

∴∠BOC=180°-50°=130°.應選A.

評注： 當O是△ABC的內切圓的圓心時，∠BOC=90°+ ∠A.

六、兩圓位置關系的識別

例10 （1） 已知兩圓的半徑分別為3和4，圓心距為8，那么這兩個圓的位置關系是（）.

A． 內切B． 相交C． 外離D． 外切

（2） 如果兩圓的半徑分別為3和4，圓心距為7，那么兩圓的位置關系是（）.

A． 相離B． 外切C． 內切D． 相交

（3） 已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為2和5，圓心距O1O2=3，則這兩圓的位置關系是（）.

A． 相離B． 外切C． 相交D． 內切

（4） 若⊙A和⊙B相切，它們的半徑分別為8 cm和2 cm，則圓心距AB為（）.

A． 10 cmB． 6 cmC． 10 cm或6 cmD． 以上答案均不對

解：此例4道題中所用到的知識點都是兩圓的位置關系的判定．解決問題的關鍵是弄清圓心距、兩圓半徑與兩圓位置關系之間的關系．本題答案依次是：（1） C （2） B （3） D （4） C

評注： 在同一平面內任意兩圓只存在外離、外切、相交、內切、內含五種位置關系.同心圓是內含的特殊情況.兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點；兩圓外切和內切統稱兩圓相切；兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離（外離和內含）；相交；相切（外切和內切）．

七、有關弧長公式的應用

例11 如圖11，Rt△ABC的斜邊AB=35，AC=21，點O在AB邊上，OB=20，一個以O為圓心的圓，分別切兩直角邊BC，AC于D，E兩點，求 的長度．

解：連接OE，OD，則四邊形ODCE為正方形，∠DOE=90°.

在Rt△ABC中，BC= = =28.

由OE∥CB，得△AEO∽△ACB，故 = ，由此可得OE=12.

的長度為： =6π.

八、綜合運用

例12 如圖12，已知⊙O的直徑AB垂直弦CD于E，連接AD，BD，OC，OD，且OD＝5．

（1） 若BD ∶ AB=3 ∶ 5，求CD的長．

（2） 若∠ADO ∶∠EDO＝4 ∶ 1，求扇形OAC（陰影部分）的面積．（結果保留π）

解：（1） 顯然∠ADB＝90°，AB＝10.

由 = ，可得BD=6.

由∠ADB＝90°，AB⊥CD，得BD2=BE·AB，得BE=3.6.

在Rt△EBD中，由勾股定理，得DE=4.8.所以CD=2DE=9.6.

（2） 設∠ADO＝4k°，則∠CDB＝4k°.（圖12只滿足（1）中的數據，對題（2）僅作參考）

由∠ADO ∶∠EDO＝4 ∶ 1，得∠EDO＝k°.所以4k+4k+k=90，得k＝10.

∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°.

∴∠AOC＝∠AOD＝100°.

S扇形OAC = ×π×52= π.