方程助你求角度

劉　頓

學習了角的知識以后，我們就會經常遇到求解有關角的大小的問題，有些同學雖然已經掌握了角的有關概念，但還是難以下筆.事實上，對于一些比較復雜的角的計算問題，若能適當引入未知數，巧妙地運用方程，往往會使求解變得簡捷.現舉例說明.

例1 一個角的補角是這個角的余角的4倍，求這個角的大小.

分析：題設條件中既包含補角，又包含余角，這樣就可以綜合運用補角、余角的知識求解.

解：設這個角為x°，則這個角的補角為（180-x）°，它的余角為（90-x）°.

根據題意，得180-x=4（90-x）.

解得x=60.

所以這個角是60°.

說明：互余和互補是角的重要知識，學習時一定要注意理解與運用.

例2 如圖1，BD平分∠ABC，BE將∠ABC分為兩部分，∠ABE ∶ ∠CBE = 2 ∶ 5，∠DBE=21°，求∠ABC的大小.

分析：已知兩個角的度數之比，可先設出這兩個角，再由BD平分∠ABC，可列出方程求解.

解：設∠ABE=2x°，∠CBE=5x°，則∠ABC=7x°.

因為BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD.

根據題意，得2x+21=5x-21.

解得x=14.所以∠ABC=14° × 7=98°.

說明：利用方程研究幾何圖形問題與利用方程解決實際問題一樣，也要從中找到等量關系.如本題中就是根據∠ABE+∠DBE=∠CBE-∠DBE來列方程的.

例3 以∠AOB的頂點O為端點作射線OC，使∠AOC ∶ ∠BOC=5 ∶ 4.

（1）若∠AOB=18°，求∠AOC與∠BOC的大小.

（2）若∠AOB=m°，求∠AOC與∠BOC的大小.

分析：題中顯然沒有明確交待射線OC是在∠AOB的內部還是外部，所以必須分情況討論.

解：（1）分兩種情況.

若射線OC在∠AOB的外部，可設∠AOC=5x°，∠BOC= 4x°，則∠AOB=x°，即x=18.

所以∠AOC=90°，∠BOC= 72°.

若射線OC在∠AOB的內部，可設∠AOC=5x°，∠BOC= 4x°，則∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x°，所以9x=18，即x=2.

所以∠AOC=10°，∠BOC=8°.

說明：利用方程求解幾何問題時，若題中沒有提供必要的圖形，應考慮畫出圖形分情況討論，這樣才能避免錯誤.

下面有兩道題目供同學們自己練習：

1. 已知一個角是它的余角的4倍，求這個角的大小.

2. 如圖2，△OAB代表含有45°角的三角板，△OCD代表含有30°角的三角板，兩塊三角板的直角頂點重疊在一起.

（1）若∠DOB ∶ ∠AOD = 2 ∶ 11，求∠BOC的大小.

（2）若疊合而成的∠BOC=n°（0 < n < 90），則∠AOD的補角與∠BOC的度數之比是多少？

（答案在本期找）