約數問題（一）

全錫貴

有關約數的知識有很多，本期向小讀者介紹有關約數個數的求法及應用的問題，希望能給你解題帶來方便。

[例1]72有幾個約數?

要求72的約數的個數，可以從1開始把72的全部約數逐對寫出來：1，72；2，36；……8，9，這樣可以求出72的約數共有12個。但這樣做比較麻煩。下面我向同學們介紹一種求一個自然數約數的個數的簡便方法：

先把給出的自然數分解質因數，然后把各質因數的個數分別加1的和連乘，所得的積就是這個自然數約數的個數。

按照這種方法，由于72=2³×3³，因此72的約數的個數是：(3+1)×(2+1)=12(個)。

[例2]4500的約數中偶數有多少個?

如果把4500的全部約數都寫出來，然后再數出其中偶數的個數，顯然很麻煩。我們還是先把4500分解質因數，可知4500只有2，3，5這樣3個不同的質因數，而其中含有質因數3的和5的約數一定都是奇數，而只含有2這個質因數的約數有2和2²=4，結合乘法原理就可以求出約數中的偶數的個數了。

4500=2²×3²×5³，(2+1)×(3+1)×2=24(個)；或者4500=2²×3²×5³，(2+1)×(2+1)×(3+1)－(2+1)×(3+1)=3×3×4－3×4=36－12=24(個)。

所以，4500的約數中偶數有24個。

[例3]求出100以內的自然數中只有8個約數的所有數。

如果用逐個數求出約數的個數的方法太麻煩。我們可以做逆向思考，8這個約數的個數的得出方式有：8=7+1＝(3+1)×(1+1)=(1+1)×(1+1)×(1+1)，共三種方式。由此說明：這樣的數可能只有1個質因數或含有2個不同的質因數或含有3個不同的質因數三種情況。即a、b、c為質數時，這樣的數有a⁷、a³×b、a×b×c三種類型。又a最小時為2，2⁷=128＞100，不存在，故只有a³×b和a×b×c兩種類型，逐一順次調換質因數可得出各數。

20×3=24.2³×5=40，2³×7=56，2³×11=88，3³×2=54；2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×5×7=70。所以，共計10個數有8個約數，即24，40，56，88，54，30，42，66，78，70。

(待續)

練一練

1、360、8400各有多少個約數?

2、1680有多少個偶數的約數?

3、7500的約數中，奇數的個數與偶數的個數相差多少個?

4、100以內的自然數中，約數個數最多的數有哪些?