遭遇命題新概念的難堪

馮衛光

在高中《數學》（全日制普通高中教科書·必修）中，給命題下的定義是：可以判斷真假的語句，叫做命題。如:“3是12的約數嗎？”“求證方程x2 + 1 = 0無實數根”，“│x│=1的根是1”，“x > 5”……都不是命題，它們不涉及到真假，或不能判斷其真假。

上面有些語句中含有變量，在沒有給定這些變量的值之前，是無法確定語句真假的，這種含有變量的語句稱為開語句。

按照命題的概念，并不是所有的命題都有逆命題，因為將一個命題視為原命題時，它的逆命題可能是一個開語句，而不是命題。如：若x > 0，則x2 > 0，反之，若x2 > 0，則x > 0。

這里的“若p則q”是命題，“若q則p”是開語句，不是命題。

因此，教科書中所定義的四種命題及其關系是不能成立的，在這里，提出來與同行朋友商榷。

如：第30頁

例1，根據下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題：

（1） 負數的平方是正數；

（2） 正方形的四條邊相等；

例1中的（1）、（2）改成“若p則q”的形式，原命題可以寫成：（1）若一個數是負數，則它的平方是正數。

（2）若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。

它們是真命題。

（1）中的“若q則p”：若一個數的平方是正數，則它是負數。

“若┐p則┐q”：若一個數不是負數，則它的平方不是負數。

（2）中的 “若q則p”：若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形。

“若┐p則┐q”：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。

分析：按命題新概念來判斷，（1）與（2）中的“若q則p”及“若┐p則┐q”均不是命題，故不能說成是逆命題及否命題。

因此，一個命題是否存在逆命題及否命題，要根據命題的結構進行分析。若存在才可以說四種命題，若不存在，四種命題就無從說起了。

那么，教科書中給的幾種命題的關系是不是出了問題呢？其實沒有。教科書的定義是：在兩個命題中，如果第一個命題的條件（或題設）是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題。

講互逆命題的前提是兩個命題，假如兩個命題的條件與結論能相換，才是互逆命題。這里不是說將任意一個命題的條件與結論互換就能夠成為一對互逆命題。因此，對于任意一個命題，不一定存在逆命題（否命題）。而在《數學》教科學書中，忽視了這一點，將任意一個命題都視為存在其逆命題，以致在例題、練習及習題中多處發生錯誤，現列舉一些如下，以饗讀者。

第30頁練習

第2題，填空：（1）“末位是零的整數，可以被5整除”的逆命題是“________________”；

它的逆命題不存在。

第31頁

教科書在討論一個命題的真假與其他三個命題的真假存在如下三條關系時，舉例有兩處錯誤。

1．原命題：“若a = 0，則ab = 0”是真命題，它的逆命題“若ab = 0，則a = 0”是假命題。

2．原命題：“若a = 0，則ab = 0”是真命題，它的否命題“若a≠0，則ab≠0”是假命題。

這里的“若ab = 0，則a = 0”及“若a≠0，則ab≠0”均是開語句，不是命題，無法判斷其真假，就不能說成是假命題。

第33頁習題1.7

第2題 寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題：

（2）全等三角形一定是相似三角形；

（3）若m > 0，則x2+ x－m = 0有實數根。

分析：（2）中的“若q則p”：相似三角形，一定是全等三角形?！叭舂磒則┐q”：不全等的三角形一定不是相似三角形；

（3）中的“若q則p”： 若x2 + x－m = 0有實數根，則m > 0?！叭舂磒則┐q”： 若m ≤ 0，則x2 + x－m = 0沒有實數根。

這里的“若q則p” 及“若┐p則┐q”是開語句，不是命題。

第3題 判斷下列命題的真假：

（3）命題“全等三角形是相似三角形”的否命題；

（3）中不存在否命題，不能判斷其真假。

第4題 寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假：

（2）“矩形的兩條對角線相等”。

不存在逆命題及否命題，不能判斷其真假。

第35頁練習

第2題，指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件:

(2)p：a∈R，q：a∈Q。

這里的“若p則q”不是命題。

第35頁

例2，指出下列各組命題中，p是q的什么條件（在“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“ 既不充分也不必要條件”中選一種）？

（1）p：(x－2)(x－3) = 0；q:x－2 = 0

（4）p：四邊形的對角線相等，q: 四邊形是平行四邊形。

這里的“若p則q”均不是命題。

第36頁習題1.8

第3題，判斷下列命題的真假：

（1）“a > b”是“a2> b2 ”的充分條件；

（2）“a > b”是“a2> b2 ”的必要條件；

（3）“a > b”是“ac2> bc2 ”的充分條件；

（4）“a > b”是“a + c > b + c”的充要條件。

此題中的（4）是命題，（1）、（2）、（3）均不是命題。

在新教科書中，遭遇命題新概念的難堪。筆者建議，命題按初中給出的定義“判斷一件事情的句子 ，叫做命題”更恰當些，這是本人在教學中的一點淺認識，僅供同行參考。