一種新的聚焦類寬帶DOA估計算法*

曹金亮,劉志文,徐友根

(北京理工大學信息與電子學院,北京 100081)

1 引言

空間信號DOA估計一直是陣列處理研究的一個重要問題。隨著跳頻、擴頻、線性調頻信號等寬帶信號的廣泛應用,寬帶信號的檢測和定位越來越受到人們關注。目前,寬帶信號DOA估計算法主要有最大似然方法(M LM)和信號子空間方法(SSM)兩類。M LM運算量極大,難以具體實現[1-2]。SSM具有相對小的計算量和較高的分辨率,因而更受關注。

SSM最初是由Schm idt[3]等人針對窄帶信號提出的,寬帶源模型下導向矢量依賴于頻率參量,一般是通過DFT或窄帶帶通濾波器組將寬帶信號分解為多個窄帶信號,再進行處理。按照處理方式的不同,SSM可分為基于不相干(ISM)[4]和基于相干(CSM)[5]兩類。

隨著研究的深入,人們提出了更多寬帶DOA估計算法,這些算法的貢獻主要體現在消除預估計[6-7]、提高估計性能[8-11]以及減小運算量[12]等幾個方面。其中有不少算法與最初的CSM方法一樣都屬于聚焦類算法,這些算法給出了不同的聚焦矩陣構造方法。文獻[10]提出了RSS方法,文獻[11]表明RSS方法是SST方法的一個特例,文獻[12]提出了M TLS方法,并且指出M TLS方法比RSS和SST有更小的運算量。眾所周知,實時性在通信、雷達、聲納等應用領域中是至關重要的,因而如何大幅度減小運算量同時兼顧估計精度就成為實際應用中面臨的重要問題。

本文通過對導向矢量矩陣的初等變換來構造聚焦矩陣,并利用信號子空間和噪聲子空間的正交性得到一種簡化的聚焦矩陣構造方法。

2 頻域信號模型

式中,sp為第p個源信號,nm(t)為第m個陣元上的噪聲,τm(θp)為第p個信號源到達第m個陣元相對于到達參考陣元的時延。假定nm(t)與入射信號不相關,且在時域和空域均為白噪聲。假定觀測時間足夠長,第m個陣元輸出的離散時間傅里葉變換(DTFT)為:

實際處理時是對采樣信號進行DFT(假設為J點),從而把寬帶信號分解成多個窄帶信號,寫成矢量形式為:

式中x(ωj)和n(ωj)分別為M×1維陣列輸出矢量和噪聲矢量,s(ωj)為P×1維信號矢量。A(ωj,θ)是M×P維導向矢量矩陣,其第p個列矢量為:

對于均勻線陣,τm(θp)=(m-1)d sinθp/c,其中d為陣元間距,c為信號傳播速度。為描述方便,將式(3)簡寫為:

頻率ωj處的數據協方差矩陣為:

式中,Sj=E[sjs]。如果P個信號源不相關,則P×P矩陣S j滿秩,通過特征值分解可以得到信號子空間F j和噪聲子空間W j為:

式中,y j,1,…,y j,M是相互正交的特征矢量,對應于降序排列的各特征值。另外,由子空間類方法可知,Fj與A j(θ)張成的空間相同。

3 寬帶聚焦算法

寬帶信號的導向矢量依賴于頻率,每一頻率點所對應的導向矢量矩陣是不同的。CSM方法的中心問題是構造J個聚焦矩陣,把不同頻率點對應的導向矢量矩陣聚焦到某一參考頻率ω0處,即:

聚焦后的數據協方差矩陣為:

式中,αj是正比于SNR的加權系數,不失一般性,在后面仿真中假定αj=1。對聚焦后的協方差矩陣運用窄帶子空間類方法,如MUSIC算法,就可以實現對寬帶源的DOA估計。在實際情況下,各頻率點數據協方差矩陣以及聚焦后的協方差矩陣只能通過估計得到:

由上文可知,聚焦的目的是找到矩陣T j,使得(9)式成立,那么聚焦類算法的關鍵就在于聚焦矩陣的選取,不同算法Tj的構造方法也不同。為表述方便,以下將A j(θ)和A0(θ)分別簡寫為A j和A0。

文獻[10]構造聚焦矩陣的公式為:

式中‖?‖F表示二范數,對(13)式進行求解,可得

RSS聚焦矩陣為:

式中Uj和Vj分別為AjA的左右奇異矢量。文獻[10]表明,當聚焦矩陣為酉矩陣時,聚焦前后無信噪比損失。

文獻[12]給出了一種修正總體最小二乘聚焦算法,該方法通過矩陣極分解來構造聚焦矩陣,最終的聚焦矩陣表達式為:

文獻[12]還指出,M TLS方法由于在構造聚焦矩陣時不需要矩陣分解運算,因而比其它聚焦類算法有著更小的運算復雜度。

4 基于矩陣初等變換的新算法

由于每一頻率點對應的導向矢量矩陣都是列滿秩的,即rank(A j(θ))=P,j=1,…,J,由矩陣分析理論知,存在M×M維滿秩矩陣Q j和Q0,使得

式中I P×P和O(M-P)×P分別為單位矩陣和零矩陣。因為Q0滿秩,故其逆矩陣存在,可得:

對比(17)和(9)式,顯然可以取T j=Q0-1Q j,所以聚焦矩陣的構造問題,就轉化為確定兩個初等變換矩陣Q j和Q0的問題,下面討論如何確定Q j和Q0。

令Q j=[QTj1 QTj2]T,Q j1、Q j2分別為P×M和(MP)×M維矩陣,由(16)式得,Q j1 A j=I,Q j2 A j=O。根據上述關系,可以取

式中W j為式(8)所示的噪聲子空間。由于導向矢量矩陣與信號子空間張成空間是同一空間,并且信號子空間正交于噪聲子空間,可得:

同理構造Q0,并得到其逆矩陣Q=[A0W0],此時聚焦矩陣為:

實際中是應用聚焦矩陣Tj對頻域接收數據進行變換,對于無噪頻域數據x j=A j s j,得:

則在構造聚焦矩陣的過程中避免了特征分解。理論上,此時有T j A j=A0,稱之為完美聚焦,但實際中真實DOA是需要估計的量,T j的構造只能根據不太精確的DOA預估計值,即:

所以T j A j和A0不一定完全相等,但是可以通過迭代使不斷接近真實DOA值θ,從而逐漸實現完美聚焦。由(22)式得rank(T j)=P,實際中由簡單方法(如CBF)得到DOA預估計值,可以通過在估計值附近加入幾個角度值來構造聚焦矩陣,此時rank(T j)=P,為用于構造T j的角度數目,一般取P≤＜M。

對比(15)和(22)兩式,可以看出在構造聚焦矩陣時,新方法比M TLS方法有更小的運算量。如果按照(20)構造聚焦矩陣,由式(10)可得,聚焦后數據協方差矩陣的噪聲項為:

如果根據(22)式構造聚焦矩陣,得:

這說明(22)式的聚焦矩陣能更好地抑制噪聲,從而有利于提高DOA估計性能。

綜上所述,本文算法流程如下:①應用常規波束形成法進行預估計,在估計值附近再增加幾個值,得接收數據進行分段,通過DFT得到每一頻點下的陣列采樣數據;③按照式(22)構造聚焦矩陣Tj;④根據式(10)得到聚焦后的協方差矩陣R;⑤應用MUSIC等陣列處理高分辨算法獲得DOA估計;⑥為了提高性能,可以重復步驟③～⑤,直到滿足設定的估計精度或終止條件。

5 計算機仿真及性能分析

設置仿真條件如下:8陣元均勻線陣(ULA),陣元間距為信號中心頻率對應波長的一半。信號源為不相關的高斯平穩隨機信號,DOA為0°、20°,中心頻率均為300H z,相對帶寬均為66.7%,采樣頻率為1kH z,信號觀測時間為6.4s,分為100段,蒙特卡洛仿真次數為100。信噪比定義為單個陣元上單個信號與噪聲的功率之比,仿真中信噪比范圍為0dB～30dB。

為驗證本文算法的有效性,實驗一對RSS法、M TLS法和本文方法進行了仿真。圖1給出了三種算法DOA估計偏差和均方根誤差(RMSE)隨信噪比的變化曲線。由圖1(a)～(b)可以看出三種算法都有著不錯的估計偏差性能(偏差絕對值都在0.06°以內),相比較而言新方法偏差最小,且隨著信噪比的增加呈減小趨勢,RSS和M TLS法的偏差隨信噪比的變化趨勢并不明顯。由圖1(c)～(d)可以看出本文方法有著最優的均方根誤差性能。

為了檢驗新算法對鄰近信號源的分辨能力,在實驗二中增加信號源個數并減小角度間隔,取真實DOA為0°、4°、12°,同時增加陣元個數到16,其余仿真條件

圖1 三種算法的DOA估計性能比較(兩個信號源)

圖2 三種算法的DOA估計性能比較(三個信號源)

為了檢驗新算法對鄰近信號源的分辨能力,在實驗二中增加信號源個數并減小角度間隔,取真實DOA為0°、4°、12°,同時增加陣元個數到16,其余仿真條件同實驗一。圖2給出了三種算法的偏差和均方根誤差隨信噪比的變化曲線。對比實驗一和實驗二的仿真結果可以看出,三種算法對鄰近信號源(尤其是0°和4°處的信號源)的估計性能都有所下降。這是一個可以預料的結果,因為對于鄰近信號源,常規波束形成法帶來的預估計誤差會比較大,從而使最終的估計性能下降。還可以看出RSS方法和M TLS方法受預估計誤差的影響比較大,兩種方法的偏差和均方根誤差隨信噪比的增大而減小的趨勢并不明顯。而本文方法對預估計誤差的魯棒性更好,隨著信噪比的增大,DOA估計偏差和均方根誤差都趨于零。

6 結束語

本文基于對導向矢量矩陣的初等變換,給出了一種寬帶源DOA估計新方法,該算法在構造聚焦矩陣的過程中不需要特征分解,從而大大提高了運算效率。理論分析表明,相對于RSS和M TLS等聚焦類算法,本文算法聚焦矩陣的構造運算量更小,為寬帶源測向的工程應用提供了更好的理論基礎;另外,仿真實驗表明,相對于RSS和MTLS算法,本文方法在DOA估計偏差和均方根誤差方面有著更優的性能?！?/p>

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