速率比例公平下多用戶OFDM系統的自適應資源分配?

李圣，龔學余

速率比例公平下多用戶OFDM系統的自適應資源分配?

李圣，龔學余

（南華大學電氣與電子工程學院，湖南衡陽421001）

在多用戶正交頻分復用（MU－OFDM）系統中，考慮各個用戶之間具有比例數據傳輸速率限制條件下的一種公平的自適應資源分配方案的最優算法計算量巨大，為此，提出了一種將子信道分配和功率分配相分離的次優算法。首先，在假設相同功率分配的情況下進行子信道的分配，然后在保持一定比例公平條件下使總容量最大時進行最優功率分配。對該算法的仿真表明，在用戶數為2、子信道數為10的系統中，所提算法的容量性能接近最優算法，而計算量由指數增長變為線性增長。所提資源分配算法的總容量比以前的算法在用戶間的分配更公平也更靈活。

多用戶正交頻分復用；資源分配；比例速率限制；次優算法；注水法

1 引言

正交頻分復用（OFDM）是下一代無線通信的一種最有前途的關鍵技術［1］，多用戶OFDM（MUOFDM）在OFDM中增加多址接入以允許多個用戶共享一個OFDM符號。在無線通信環境中，許多OFDM系統既要求盡量提高系統的信道容量又要滿足一定服務質量（QoS）的情況下盡可能地考慮各個用戶之間的公平性，以滿足各類用戶多種業務的需求。其優化目標是在總功率的限制下使每個用戶的無誤容量最大化。這類優化問題通常是非線性的，計算量非常大。

近年來，Jang和Lee在文獻［2］中證明了當最大增益的子信道都分配給用戶并采用注水算法分配功率時總容量最大，但他們沒有考慮公平性的問題。如果用戶的路徑損耗不同，信噪比高的信道將分配到更多的資源（子信道和功率），平均信道增益較低的用戶可能接收不到任何數據。Rhee和Cioffi在文獻［3］中研究了max－min問題，即最大化最差用戶的容量，保證所有用戶達到最小的數據速率。但他們僅能提供用戶間最大化公平性，而在無線系統中，不同用戶有不同的數據速率與他們不同的業務相對應。本文提出了在容量和公平性之間取得平衡的一種新的優化問題，其優化目標仍然是總容量，但增加一些非線性限制以保證各用戶間容量的比例公平［4－5］。

2 系統模型

多用戶OFDM系統如圖1所示。在基站，所有信道信息被送到各子信道，也通過各移動用戶的反饋信道被送入功率分配算法中，資源分配算法位于OFDM發射機。發射機為不同用戶選擇不同個數的比特形成OFDM符號。該資源分配方案的更新與信道信息收集的更新同步。本文假設基站能獲得理想的即時信道信息，還假設子信道及比特分配信息通過各自獨立的信道被送到每個用戶。

本文中，系統的總用戶數為K，共享N個子信道，總的發射功率為Ptotal。我們的目標是優化子信道和功率分配以在總功率限制下使總無誤容量最大，但在系統中通過增加一組非線性限制引入比例公平的思想，以便能顯式控制用戶之間的容量比例，保證每個用戶在給定充足的總可用發射功率下均滿足目標數據速率。本文考慮的優化問題用數學公式表述為

式中，K為總的用戶數，N為總的子信道數，N0為AWGN的功率譜密度，B和Ptotal分別為總的可用帶寬和功率，pk，n為用戶k子信道n上分配的功率，hk，n為用戶k子信道n的信道增益，ρk，n（要么為1，要么為0）指示子信道n是否被用戶k使用。第4個限制表示每個子信道僅能被一個用戶使用。用戶k的容量Rk定義為

公平指數定義為

其最大值為1對應于最大公平，此時所有用戶得到相同的數據速率。當所有γi項相等，式（1）中的目標函數與文獻［3］中的max－min問題相同，因為使所有Rk項相等時的總容量最大化與最差用戶容量最大化等價。因此，文獻［3］是所提公平性限制問題的一種特殊情況。

3 次優資源分配方案

理想情況下式（1）的最優解應是子信道和功率的聯合分配，基站在無線信道改變時必須盡快計算出最優的子信道和功率的分配，但大量的計算負擔使其不可能成為最優。因此，從實現的成本收益和延時敏感角度而言，低復雜度的次優算法是最佳選擇。將子信道和功率分配分開，可以將目標函數中的變量個數減少幾乎一半，以降低復雜度，是一種有效的方法。

3.1 次優子信道分配

根據文獻［3］，討論假設所有子信道的功率分布相同的次優子信道分配算法。定義

為用戶k在子信道n上的信噪比，Ωk為分配給用戶k的子信道組。算法描述為：

（1）初始化。置Rk＝0，Ωk＝φ（k＝1，2，3，…，K）及A＝｛1，2，3，…，N｝；

（2）對于k＝1～K：

1）尋找滿足｜Hk，n｜≥｜Hk，j｜，所有j∈A的n；

2）設Ωk＝Ωk∪｛n｝，A＝A－｛n｝并根據式（2）更新Rk；

（3）當A≠?：

1）找滿足Rk／γk≤Ri／γi所有i，1≤i≤K的k；

2）對于已找到的k，找滿足｜Hk，n｜≥｜Hk，j｜（j∈A）的n；

3）對于已找到的k和n，令Ωk＝Ωk∪｛n｝，A＝A－｛n｝，并根據式（2）更新Rk。

每個用戶的次優子信道算法的原則是盡量利用具有高信噪比的子信道。在每次迭代中，具有最低比例容量的用戶選擇所使用的子信道。因假設所有子信道的功率分布相同，所以該子信道分配算法是次優的。子信道分配過后僅得到了粗步的比例公平，在下節中的功率分配可以達到既保持比例公平又使總容量最大的目標。

3.2 固定子信道分配的最優功率分配

對于給定的子信道分配，該優化問題的公式為

式中，Ωk為用戶k的子信道集，當k≠l，Ωk和Ωl互斥。

式（4）的優化問題等價于求下面成本函數的最大值：

式中，｛λi｝為Lagrangian乘數。將式（5）對于pk，n進行微分并使每個微分為0，可得

（1）單用戶的功率分配

由式（6）或式（7）有：

式中，m，n∈Ωk，k＝1，2，3，…，K。不失一般性，假設Hk，1≤Hk，2≤…≤Hk，Nk，k＝1，2，3，…，K，Nk為Ωk中的子信道數，式（8）可重寫為

式中，n＝1，2，3，…，Nk，k＝1，2，3，…，K。式（9）給出了單用戶k在子信道n上的功率分配。子信道的信噪比越高將分配更多功率，這是頻域中的注水算法。

定義Pk，tot為用戶所分配的總功率，根據式（9）有：

（2）用戶之間的功率分配

一旦集合｛Pk，tot｝Kk＝1已知，可由式（9）及式（10）確定功率分配。式（4）中的總功率限制及容量比限制用以獲得｛Pk，tot｝Kk＝1。由式（8）和式（10），容量比限制可以表述為

式中，k＝2，3，4，…，K，Vk和Wk定義為

加上總功率限制

在式（11）和（14）的K個方程組中有K個變量｛Pk，tot｝。求解該組函數即得最優功率分配方案。一般地，該方程組非線性，可用迭代方法比如牛頓Newton Raphson或準牛頓quasi-Newton方法［5］來求解，但計算量很大。在牛頓方法中，計算復雜度主要源于尋找更新方向。在一定條件下，在一個方向可以找到最優或近似最優解。下面分析兩種特殊情況。

（1）線性情況

若N1：N2：…：NK＝γ1：γ2：…：γK，則方程組即式（11）和（14）可以轉換成一組線性方程：

其中：

式（15）中的矩陣｛ai，i｝僅在第一行、第一列及主對角中有非零元素。代入式（15）中得解的計算復雜度為O（K）。

（2）高信噪比信道的情況

在自適應調制中，難出現線性條件，方程組仍是非線性的，計算復雜度相當大。但若信道信噪比很高，可對問題進行近似簡化。

首先考慮式（12），當信噪比很高時，Vk相對于Pk，tot很小，而且若使用自適應子信道分配，總選擇最好的子信道，因而信道之間有相對小的信道增益差異，因此第一個近似為Vk＝0。

其次，假設基站能提供大功率和高信噪比信道，則Hk，1Pk，tot／Nk遠遠大于1。

由以上的兩個近似，式（11）可簡化為

將式（18）代入式（14），具有變量P1，tot的單方程為

其中：

牛頓求根法或虛定位法［6］等數值算法可用于求式（19）的零點。

3.3 功率分配方案

（1）單用戶功率分配的求解

對于某用戶k，若Vk＞Pk，tot則不分配功率，貪婪注水算法可能停止使用該子信道。此時，集合Ωk，以及相應的Nk、Vk和Wk需要更新，并再次執行功率分配算法，如圖2所示。

（2）多用戶功率分配方案

在信噪比較高的信道情況下，由于求和中的每一項單調上升且在P1，tot＝0及P1，tot＝Ptotal有不同的符號，因而式（19）有且僅有一個解。求解的復雜度主要決定于數值算法及結果的精確度要求。求得P1，tot后，用式（18）可計算出｛Pk，tot｝，然后由式（9）和式（10）確定總的功率分配方案。

一般地，可證明存在一種滿足比例公平限制及總功率限制的最優子信道和功率分配方案，而且該最優方案利用所有可用的功率。首先，對于某一用戶，若采用注水算法可使該用戶的容量最大化，而且容量函數關于總有效功率是連續的；也就是說，Rk（Pk，tot）對于Pk，tot是連續的；第二，若該最優分配方案沒有使用所有的可用發射功率，則可以在用戶間再次分配未用功率，仍保持容量比限制，因為對所有的k，Rk（Pk，tot）關于Pk，tot連續，因此總容量可進一步提高。

3.4 復雜度分析

最佳子信道分配方案能通過窮舉搜索得到，對于每一個子信道分配，運行圖2所示的最佳功率分配算法，其計算復雜度為O（K）。具有最大總容量的子信道分配是最佳的。在K用戶N子信道系統中，求解全局最佳值是不可行的，因為存在KN種可能的子信道分配。而所提方案由復雜度為O（KN）的子信道分配和復雜度為O（K）的功率分配兩部分構成。由于功率分配僅需執行一次，使所提方案的復雜度近似為O（KN），大大小于最優方案。

4 仿真結果

無線信道為6徑獨立的瑞利頻率選擇性信道。每一徑按照Clarke的平坦衰落模型建模［7］，設功率衰減特性為e－2l的指數衰減，其中l為多徑指數。因此設6徑的相對功率為［0，－8.69，－17.37，－26.06，－34.74，－43.43］dB，總的可用帶寬和發射功率分別是1 MHz和1 W。

圖3為總容量與γ1／γ2的關系曲線圖，圖中給出了次優和最優的結果，這里的用戶數和子信道數都很小以減少最優求解的時間。由圖可知，當兩個用戶的路徑損耗無區別時，總容量對公平性限制不那么敏感，但當路徑損耗差別較大，比如超過10 dB時，總容量隨公平限制比率變化較大。例如，當用戶1的平均信道功率（記為E（ch1））比用戶2的高10 dB，則總容量隨γ1／γ2減小而降低。原因是，當減小γ1／γ2，更優先向較差的用戶2分配資源，導致總容量降低。由圖3可見，在2個用戶10個子信道的系統中，所提方法能到達最優性能的95%。

圖4 為容量與OFDM系統用戶數的關系曲線圖。由圖可見，文獻［3］的自適應資源分配（實際上與本文方案中設γ1：γ2：…：γK＝1：1：…：1時的情況等價）時的容量比固定的TDMA有顯著提高。另外，本文帶有比例公平限制的自適應資源分配比等功率分配方案的容量要高。由圖還可以看出，相對于TDMA的容量增益隨用戶數的增加而增加，其原因解釋為：由于分集效應，系統的用戶越多，給定子信道對于所有用戶而言都是深衰落的概率降低。例如，系統有16個用戶時，相對于固定TDMA的容量，本文所提功率分配比等功率自適應分配［3］高17%。

5 結論

多用戶OFDM系統的自適應資源分配可以使OFDM技術克服頻選衰落信道對高速數據通信的影響，提高信道利用率從而提高系統容量，改善系統的服務質量。本文對于不同的用戶速率限制｛γi｝Ki＝1的比例速率，通過對基站的配置，可以靈活地對用戶進行資源分配，從而既保證較優的系統容量，又保證用戶之間的適當公平性。本文所提的優化算法是將子信道與功率分配分開的次優分配，從而大大降低復雜度（從O（KN）到O（KN））。分析和仿真結果表明，該次優算法運行速度快，又能保證資源分配的性能，因此，是一種較有效的實時自適應OFDM技術，但更符合實際情況的多載波多用戶多業務的OFDM資源分配算法還有待進一步研究。

［1］Rappaport T S，Annamalai A，Buehrer R M，et al.Wireless communications：Past events and a future perspective［J］. IEEE Communication Magazine，2002，40（5）：148－161.

［2］Jang J，Lee K B.Transmit power adaptation for multiuser OFDM systems［J］.IEEE Journal on Selection Areas in Communication，2003，21（2）：171－178.

［3］Rhee W，Cioffi J M.Increasing in capacity of multiuser OFDM system using dynamic subchannel allocation［C］／／Proceedings of IEEE International Vehicular Technology Conference.Tokyo：IEEE，2000：1085－1089.

［4］Shen Zukang，Andrews J G，Evans B L.Adaptive resource allocation in multiuser OFDM systems with proportional rate constraints［J］.IEEE Transactions on Wireless Communication，2005，4（6）：2726－2737.

［5］丁樂，殷勤業，鄧科，等.一種無線OFDM系統中的高效功率和比特分配算法［J］.電子與信息學報，2007，29（7）：1537－1541.

Ding Le，Yin Qin-ye，DENG Ke，et al.A Computationally Efficient Transmit Power and Bit Allocations Algorithm for Wireless OFDM Systems［J］.Journal of Electronics＆Information Technology，2007，29（7）：1537－1541.（in Chinese）

［6］Mathews J H，Fink K D.數值方法（Matlab版）［M］.周璐，陳渝，等，譯.北京：電子工業出版社，2008.

Mathews J H，Fink K D.Numerical Methods Using MATLAB［M］.Translated by ZHOU Lu，CHEN Yu，et al.Beijing：Publishing House of Electronic Industry，2008.（in Chinese）

［7］Rappaport T S.無線通信原理及應用［M］.周文安，付秀花，等，譯.北京：電子工業出版社，2006.

Rappaport T S.Wireless Communications Principles and Practice［M］.Translated by ZHOU Wen-an，FU Xiu-hua，et al.Beijing：Publishing House of Electronic Industry，2006.（in Chinese）

LI Sheng was born in Hengyang，Hunan Province，in 1972.He received the M.S.degree from Chongqing University of Posts and Telecommunications in 2003.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns the key techniques of mobile communication systems.

Email：leesaint＠163.com

龔學余（1962－），男，湖南桃江人，2001年獲工學博士學位，現為教授、博士生導師，主要從事電場計算等方向的研究。

GONG Xue-yu was born in Taojiang，Hunan Province，in 1962. He received the Ph.D.degree from Southwestern Institute of Physics in 2001.He is now a professor and also the supervisor of Ph.D.candicate.His research concerns computationalelectromagnetics.

Adaptive Resource Allocation with Proportional Rate Constraints in MU-OFDM Systems

LI Sheng，GONG Xue-yu
（Department of Electrical and Electronic Engineering，University of South China，Hengyang 421001，China）

The computation of the adaptive resource allocation with proportional data rate constraints in multiuser orthogonal frequency division multiplexing（MU-OFDM）system is large when considering the fairness among the users.To avoid the extreme computation complex of the optimal solution，a low-complexity suboptimal algorithm is proposed in which subchannel allocation and power allocation are separated.In the proposed algorithm，subchannel allocation is first performed by assuming an identical power allocation.Then an optimal power allocation algorithm is carried out to maximize the sum capacity while maintaining proportional fairness.The simulation result of the proposed algorithm shows that approximate performance of the optimal capacity can be achieved in a two-user ten-subchannel system，while the complexity is reduced from exponential to linear.The sum capacity of the proposed resource allocation algorithm is more faire and flexible among users than that of the previous.

MU-OFDM；resource allocation；proportional rate constraint；suboptimal algorithm；water-filling

The National Natural Science Foundation of China（No.10775066）；Scientific Research Fund of Hunan Provincial

TN929.53

A

10.3969／j.issn.1001－893x.2010.06.002

李圣（1972－），男，湖南衡陽人，2003年獲重慶郵電大學通信與信息系統工學碩士學位，現為博士研究生，主要從事移動通信關鍵技術的研究；

1001－893X（2010）06－0005－06

2010－03－17；

2010－04－26

國家自然科學基金資助項目（10775066）；湖南省教育廳資助科研項目（07C643）

Education Department（No.07C643）