巧用導數求最值

王麗英

(張家口職業技術學院基礎部，河北張家口 075000)

導數是近代數學的重要基礎，是聯系初、高等數學的紐帶，是研究函數性質、證明不等式、探求函數的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問題等等的有力工具，它的引入為解決最值問題提供了新的視角。本文在求最值問題方面，談一點個人的感悟和體會。

利用導數求函數極(最)值這類問題的方法是：(1)用求導法則求出函數導數。(2)令導數等于0，得出駐點及其不可導點。(3)用這些點把區間分成幾個部分，然后討論函數的單調性。(4)求出極值點及其極值。(5)求出區間端點值與極值進行比較，得到最值。

例1：在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子(圖1)。箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？

變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個無蓋的箱子(圖2)，箱子的高是這個正方形邊長的幾分之幾時，箱子容積最大？

點評：導數的引入，大大拓寬了數學知識在實際優化問題中的應用空間。這個問題，是一個最優化問題，在實際生活中，這樣的例子比較常見，需要建立函數關系式，一般沒有簡單有效的方法；即使能求解，也要涉及到較高的技能技巧。恰好用導數的知識，來求函數的最值就比較方便。對于這一類型的優化問題，如果所建立的函數次數較高，或是由它們經過四則運算得到初等函數以及它們的復合函數等等，都可以比較方便地應用導數知識來求問題的最值。

Θ|MA|與|MA|2同時取到極值。

由f'(x)=(x-2)(x2+2x+6)=0得x=2是唯一的駐點。

當x→-∞或x→+∞時，|MA|→+∞,f(x)→+∞,x=2是f(x)的最小值點，此時

例3：有甲、乙兩個城市。甲城市在一直線高速路A處，乙城市與甲城市在高速路的同側；乙城市位于離高速路40公里的B處，它到高速路的垂足D與A相距50公里；兩城市要在此路邊共建一個加油站C，從加油站到甲城市和乙城市的費用分別為每公里3a元和5a元。問加油站C建在路邊何處，才能使費用最省?

∴AC=50-40cotθ

設總的水管費用為f(θ)，依題意，有

∴AC=50-40cotθ=20公里，即加油站建在A、D之間距城市甲20公里處，可使費用最省。

例4：設計一間房子，形狀如下：它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如圖3所示)。試問當房子的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，房子的體積最大?

解：設OO1為xm，則1

故底面正六邊形的面積為：

房子的體積為：

令V'(x)=0，解得x=-2(不合題意，舍去)，x=2。

當l0,V(x)為增函數；

當2

∴當x=2時，V(x)最大。

本文主要考查利用導數研究函數的最值問題以及運用數學知識解決實際問題的能力。

根據題中所給的已知條件，作出合理的幾何圖形，并分析各已知條件之間的關系，根據圖形，選定問題的變化范圍，建立相應的目標函數關系，是這種問題解決的主要手段。

解決實際應用問題關鍵在于建立數學模型和目標函數。把實際問題翻譯為數學語言，找出問題的關鍵，根據題中所給條件之間的相互關系，把問題化為常規問題。通過把主要關系近似化，形式化，拋開實際意義，抽象出一個數學模型，選擇合適的數學方法求解。培養學生運用導數知識解決實際問題的數學意識以及建立數學思想，提高解題的能力。

導數工具為研究函數性質提供了簡單化、程序化的數學方法，是一種普遍、實用和可操作的方法。導數的應用為解決此類問題開辟了新的路徑，使過去證明不等式的方法從繁瑣變為簡潔，從特殊技巧變為通用的方法，顯示了導數方法在實際中運用的靈活性、普適性和廣泛性。極值(最值)證明在不等式中的應用，一般轉化成不等式，轉化的方法是構造一個函數，(建立函數的思想方法)然后求這個函數的極(最)值，應用公式或恒等關系就可以證明。導數知識的應用，為我們解決有關的函數問題提供了強有力的工具，可以解決其中的最值問題和不等式問題，還可以解決物理和幾何問題。因此，在教學中，要突出導數應用的重要地位。