基于Longuet-Higgins模型的畸形波模擬方法

劉贊強，張寧川

（大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，大連116024）

海浪是一種復雜的隨機過程。19世紀50年代初皮爾生最先將瑞斯關于無線電噪音的理論應用于海浪，與紐曼等提出了能量譜（海浪譜）的概念，從此利用譜以隨機過程描述海浪成為主要的研究途徑，至今已提出多種描述海浪的數值模型，其中最常用的是Longuet-Higgins模型［1-2］。

畸形波是海浪中偶然出現的異常大波，是隨機波浪的一種特殊現象，對海上建筑物、航行中的船只和近岸結構物等具有強大的破壞性［3-5］?；尾ㄊ且环N超大波浪，基本特征是波峰高而陡、波谷淺而平坦。此外，在海洋中形成的具有極大波谷的波浪（“海中深洞”［6］）也被稱為畸形波。目前關于畸形波的定義還沒有統一。1987 年 Klinting 和 Sand［7］首先提出了畸形波的定義，認為畸形波應滿足以下條件：（1）Hmax≥2Hs，（2）ηc≥0.65Hmax，（3）Hmax≥2H1且 Hmax≥2H2。其中 Hs為波列的有效波高，Hmax為畸形波的波高，ηc為畸形波的波峰高，H1、H2分別為畸形波前后相鄰波浪的波高。但有學者［5，8-9］提出，該定義過于苛刻，認為（1）和（2）是主要條件，（3）是次要條件。不過，國內外研究學者都一致認為畸形波的波高至少為有效波高的2.0倍。本文旨在介紹畸形波的數值模擬方法，因此采用Hmax≥2Hs這種最簡潔的定義。

近20 a來關于畸形波的研究日漸增多，但由于畸形波的不可預測性和實測資料的匱乏，可靠的分析結果非常少，發生機理和發生概率還不十分明確。因此有必要對該現象進行深入細致的理論和試驗研究。由于天然條件下的現場觀測存在諸多困難，實驗室生成畸形波的技術還不成熟，數值模擬成為研究畸形波的一個重要手段［10］；同時數值模擬也為實驗室模擬造波提供了條件。

關于畸形波的數值模擬，目前主要有非線性方法和線性方法兩大類?；尾M的非線性方法較多見，大都基于波浪的非線性調制不穩定性（Benjamin-Feir不穩定性或邊帶不穩定性）。常見的方程有Zakharov方程、非線性薛定諤方程、KDV方程、KP方程和完全非線性方程等［3］。常用方法有高階譜方法（high-order spectral method）［11-13］和邊界積分方法（boundary integral equation）［14］等。非線性方法考慮了波浪的非線性相互作用，貼近真實的波浪體系，滿足波浪運動的控制方程和邊界條件。但是非線性方法較繁瑣，計算量大，不易于工程應用，且很難應用于實驗室模擬造波。

相比之下，基于Longuet-Higgins模型的線性疊加方法較簡便，易于工程應用，是海洋工程、港口海岸工程以及相關工程領域進行波浪要素統計、波浪荷載計算和結構安全設計等最常用的方法，同時也是實驗室模擬造波的常用方法。在實驗室中，如果完全采用波浪的隨機性模擬畸形波，根據波高的Rayleigh分布，大約3 000個波浪中才會出現一個畸形波；由于實驗設備所限，該方法不被實驗室所采用，因此首先通過數值模擬的方法在有限的時間和空間內產生畸形波，為實驗室模擬提供條件。

本文將介紹幾種線性模擬畸形波的模型：相位調制模型（部分組成波初相位相同模型［15］，相位角分布范圍調制模型），相位調制加聚焦模型［13］，隨機波加瞬態波模型［16］和一種新的數值模型——改進的相位調制模型。其中，除隨機波加瞬態波模型外，采取的都是調節組成波隨機初相位的方法；除相位調制模型外，其余方法均可以實現畸形波的定時定點生成，同時隨機波加瞬態波模型和改進的相位調制模型還可以更加精確地實現畸形波大小的可調節生成。

本文將就以上幾種模型分別進行闡述，旨在說明線性疊加法模擬畸形波的原理、方法，不考慮模擬參數、波浪的非線性等對模擬結果的影響，僅限于二維情況。

1 隨機波浪的模擬

基于Longuet-Higgins模型可實現常規隨機波浪（不含畸形波的隨機波浪）的模擬［1］。某一固定點的波面方程可以由無數個隨機的余弦波線性疊加來描述

式中：M為組成波數；ηi（x，t）為第i個組成波的波動水面相對于靜水面的瞬時高度；ai為第i個組成波的振幅；ki和ωi分別為第i個組成波的波數和圓頻率；θi為第i個組成波的初相位，常規隨機波浪模擬時，組成波的初相位是在（0，2π）內均勻分布的隨機數。

2 畸形波數值模擬模型

本文的數值條件為：目標譜采用JONSWAP譜［17］，模擬參數取有效波高Hs=2.0 m，水深d=40 m，譜峰升高因子γ=3.3，譜峰周期Tp=7.0 s，組成波數M=100，高頻處截斷頻率為4倍的譜峰頻率。

2.1 相位調制模型

為了實現隨機波浪序列中模擬產生畸形波，需要集中組成波的能量。通常情況下可通過調整部分組成波初相位的方法來實現，相位角的分布代表著波浪能量集中的程度。

2.1.1 部分組成波初相位相同模型

黃國興［15］采用部分組成波初相位相同的辦法，令M個隨機初相位的1/9（比如：第9、18…99個）、1/8、1/7、1/6、1/5、1/4、1/3取同一個值，模擬波列包含約2 600個波浪，考察模擬波列中最大波高的變化。

模擬發現，隨著相同初相位的組成波比例的增加，波列中的最大波高逐漸增大，滿足畸形波判斷標準的幾率增高。當有1/3組成波初相位相同時，模擬波列中發現了畸形波。圖1為1/3組成波初相位相同時，包含畸形波的模擬波列，其中Hmax/H1/3=2.21＞2.0。

2.1.2 相位角分布范圍調制模型

如前所述，相位角的分布代表著波浪能量的集中程度。若縮小組成波的相位角分布范圍，則組成波的能量分布就相對集中，隨機波列中畸形波發生的概率將會增加。

令組成波的初相位在（0，α）內均勻隨機分布，0≤α≤2π，α取不同值時，波浪能量會有不同程度的集中。圖2給出了α取不同值時，模擬波列中Hmax/H1/3的值隨相位角分布范圍的變化趨勢。從圖2中可以看出，相位角分布范圍越窄，Hmax/H1/3的值越大，波浪能量集中越明顯。當α等于1.3π時，模擬波列中Hmax/H1/3=2.01＞2.0，已經出現了畸形波，其結果見圖3。

式中：xc和tc分別為波浪聚焦的位置和時刻。如果θi為 0，則式（2）演變為瞬態波面方程；如果 θi為（0，2π）內均勻分布的隨機數，則式（2）仍然為隨機波浪的模擬方程。為實現波浪能量的聚焦，如前所述，則需要通過調制組成波的隨機初相位的方法，來促使波浪能量的集中。

調制組成波隨機初相位的方法包括調整部分組成波初相位相同和調整相位角分布范圍2種。設聚焦位置xc=0 m，tc=150 s。為了簡潔，本文只給出波面時間序列。

（1）調整部分組成波初相位相同。

調整部分組成波的初相位為零，則該模型演變為瞬態波加隨機波的組合模型，通過給定瞬態波列的生成時間tc和地點xc，達到控制生成畸形波的目的。依次令 M 個隨機初相位的 1/7、1/6、1/5、1/4、1/3、1/2為零，計算模擬波列中Hmax/H1/3的值，其結果見圖4。由圖4可見，隨著相同初相位比例的增加，波列中Hmax/H1/3的值逐漸增大，在1/4組成波初相位為零時，Hmax/H1/3=2.23＞2.0，模擬波列中出現了畸形波（圖 5）。

另外，實驗室模擬聚焦波常采用的方法是將波面方程（1）中的初相位 θi取值為 θi=-kixc+ωitc+2πs，其中 s=0，±1，±2，……，則波面方程（1）演變為方程（2）的形式，其方法是一樣的。

（2）調整相位角分布范圍。

縮小組成波的隨機初相位分布范圍，則組成波的能量分布就相對集中。各組成波的初始相位角分布在不同范圍內時，模擬波列中Hmax/H1/3的變化如圖6所示。從圖6可以看出，相位角范圍越小，波浪能量在聚焦點越集中，模擬波列中Hmax/H1/3的值越大。圖7給出了α=1.3π時包含畸形波的模擬波列，其中Hmax/H1/3=2.23＞2.0。

上述方法提高了畸形波的模擬效率，實現了畸形波的定時定點生成，但是不能細微地調控畸形波的生

以上2種模擬方法都具有很強的隨機性，不易控制畸形波的生成大小、生成時間和生成地點，模擬效率很低。如果將其結合起來，即縮小相位角的分布范圍并使部分初相位相同，可提高畸形波的發生概率，但依舊不能準確地控制畸形波的生成大小、生成時間和生成地點，因此不做計算。為提高畸形波的模擬效率，給實驗室模擬畸形波提供條件，須在有限的空間和時間內模擬出有效的畸形波。

2.2相位調制加聚焦模型

為實現波浪能量的定時定點聚焦，Zhao［14］借鑒瞬態波面方程的形式，將波面方程（1）改寫為成大小。

2.3 隨機波加瞬態波模型

Kriebel［16］提出了一個快速有效地模擬畸形波的方法：假設一個包含畸形波的波列由隨機波列和瞬態波列組合而成，將整個波列的能量分為P1和P2兩部分，P1用來產生隨機波列，P2用來產生瞬態波列。此時，波面方程（1）可表示為

圖 8給出了一個模擬示例，P1=0.8，P2=0.2，合成波列中Hmax/H1/3=2.01＞2.0，滿足畸形波的定義。

隨機波加瞬態波模型模擬畸形波具有較高的效率，實現了畸形波的定時定點生成；通過改變波浪能量的分配，可以細微地調控畸形波的生成大小。顯然，模擬波列中Hmax/H1/3的值受瞬態波所占能量P2的影響；如果P2太小，瞬態波起不到應有的作用，模擬波列中很難形成畸形波；如果P2過大，將會影響整個模擬波列的波浪統計特性。下面介紹一種新的數值模擬方法——改進的相位調制方法，該方法既實現了畸形波的定時定點和定量生成，又保持了波浪序列的統計特性。

2.4 改進的相位調制模型

根據預先設定的波浪聚焦位置來調制各組成波的隨機初相位，從而達到定時定點生成畸形波的目的。設在位置x=xc，時刻t=tc時發生畸形波，根據畸形波是單個大波峰的特點來調制θi，使部分組成波在x=xc、t=tc時ηi為正，則在此疊加的波高會增大。

令組成波數M=M1+M2，波面方程（1）可以寫為

在此令后M2個組成波的合成波面η2（x，t）在預定位置處聚焦出現大波，需要調制后M2個組成波的初相位θi，使ηi（xc，tc）＞0。

（1）當kixc-ωitc＜0時，令整數N=int［（kixc-ωitc）/2π］，易知N＜0，式（6）可以寫為

調制θi（0＜θi＜2π），使，這樣cos（kixc-ωitc-2Nπ+θi）＞0，亦即此時ηi（xc，tc）＞0，η2（xc，tc）＞0。

由于-2π＜kixc-ωitc-2Nπ＜0，θi按照下述條件取值：當，θi在此區間內均勻隨機選??；當，θi在此區間內均勻隨機選??；當，θi在此區間內均勻隨機選??；當，θi在此區間內均勻隨機選取。

（2）當kixc-ωitc≥0時，令整數N=int［（kixc-ωitc）/2π］，易知N≥0，式（6）可以寫為

調制θi（0＜θi＜2π），使，這樣cos（kixc-ωitc-2（N+1）π+θi）＞0，亦即ηi（xc，tc）＞0，η2（xc，tc）＞0；θi的確定方法與情況1中所述的相同，不再贅述。

圖9給出了應用改進的相位調制法模擬得到的包含畸形波的波列，其中Hmax/H1/3=2.38＞2.0。

該方法具有極高的模擬效率。通過改變調制波浪的數目，可以精確地調控聚焦處波浪的大小，從而實現了畸形波的可調控生成。

值得一提的是，如果調制部分組成波的隨機初相位使ηi為負，則波浪在聚焦處就形成了“海中深洞”。

3 結論

本文介紹了幾種模擬畸形波的數值模型，概述了各模型的原理和方法，并簡單比較了其優缺點。相位調制模型雖然能夠模擬出畸形波，但是模擬效率很低，不能控制畸形波的生成時間和生成地點，也不易控制畸形波的大??；相位調制加聚焦模型較相位調制模型有了改進，提高了模擬效率，實現了畸形波的定時定點生成，但對畸形波的大小不能進行細微的調控；隨機波加瞬態波模型和改進的相位調制模型，具有很高的模擬效率，不但實現了畸形波的定時定點生成，同時還實現了畸形波尺度的細微調控生成，方法最優。應用本文介紹的方法，可推廣到實驗室模擬產生畸形波，進而為研究畸形波對結構物的作用奠定了基礎。

［1］Longuet-Higgins M S.On the statistical distribution of the heights of sea waves［J］.Journal of Marine Research，1952，11（3）：245-266.

［2］俞聿修.隨機波浪及其工程應用：三版［M］.大連：大連理工大學出版社，2003.

［3］Kharif C，Pelinovsk Y E.Physical mechanisms of the rogue wave phenomenon［J］.European Journal of mechanics B/Fluids，2003，22（6）：603-634.

［4］Kharif C，Pelinovsk Y E，Slunyaev A.Rogue waves in the ocean［M］.Berlin：Springer，2009.

［5］Dysthe K，Krogstad H E，Müller P.Oceanic rogue waves［J］.Annual Review of Fluid Mechanics，2008，40（1）：287-310.

［6］Stansell P.Distributions of extreme wave，crest and trough heights measured in the North Sea［J］.Ocean Engineering，2005，32（8-9）：1 015-1 036.

［7］Klinting P，Sand S.Analysis of prototype freak waves［C］//Darlymple R.Proc.Spec.Conf.Near-shore Hydrodynamics.New York：ASCE，1987.

［8］Clauss G F，Schmittner C E，Hennig J.Systematically Varied Rogue Wave Sequences for the Experimental Investigation of Extreme Structure Behavior［J］.Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering，2008，130（2）：021009.1-021009.11.

［9］Petrova P，Soares C G.Maximum wave crest and height statistics of irregular and abnormal waves in an offshore basin［J］.Applied Ocean Research，2008，30（2）：144-152.

［10］張運秋.深水畸形波的數值模擬研究［D］.大連：大連理工大學，2008.

［11］Dommermuth D G，Yue D K P.A high-order spectral method for the study of nonlinear gravity waves［J］.Journal of Fluid Mechanics，1987，184：267-288.

［12］Ducrozet G，Bonnefoy F，Le Touzé D，et al.3-D HOS simulations of extreme waves in open seas［J］.Nat.Hazards Earth Syst.Sci.，2007，7（1）：109-122.

［13］Zhao X Z，Sun Z C，Liang S X.Efficient Focusing Models for Generation of Freak Waves［J］.China Ocean Engineering，2009，23（3）：429-440.

［14］Kharif C，Giovanangeli J P，Touboul J，et al.Influence of wind on extreme wave events：experimental and numerical approaches［J］.Journal of Fluid Mechanics，2008，594：209-247.

［15］黃國興.畸形波的模擬方法及基本特性研究［D］.大連：大連理工大學，2002.

［16］Kriebel D L.Efficient simulation of extreme waves in a random sea［C］//Olagnon M，Athanassoulis G，Rogue Waves.Brest：Ifremer，2000.

［17］Goda Y.A comparative review on the functional forms of directional wave spectrum［J］.Coastal Engineering Journal，1999，41（1）：1-20.