相鄰亮、暗孤子相互作用的比較

李淑青，王愛國，馮中營，任全年

（太原工業學院理學系，山西太原 030008）

相鄰亮、暗孤子相互作用的比較

李淑青，王愛國，馮中營，任全年

（太原工業學院理學系，山西太原 030008）

通過與亮孤子進行比較，分析了暗孤子的基本方程，求出了它的一個精確解，分析比較了相鄰暗孤子間的相互作用，并對有平面波背景的暗孤子作了積分處理.

非線性方程 暗孤子解 相互作用 積分

1 暗孤子傳輸的基本方程

考慮在光纖媒介中傳播的單頻標量電場E,滿足麥克斯韋方程,其解可表示為下面的形式

其中c.c指復共軛,ω是源頻率,β0＝k0n0＝2kn0／λ是平面波演化常數.E(R⊥,Z)描述波包,不考慮非線性效應和衍射效應時,它是一個常數.如果把方程(1)代入到三維的標量波方程中,可以得到一般非線性方程

這里的非線性通過函數nnl（I）來體現.對于非線性克爾效應有nnl（I）＝n2I，n2是光媒介所具有的克爾效應的系數.現在引進無量綱坐標,可以得到 (2+1)維非線性薛定諤方程，取如下標準形式

這里的符號(±)由非線性類型所定義(自散焦和自聚焦).

對于在實波導中傳播的光脈沖,在某方向的場結構,如y方向,由波導的線性模式決定.麥克斯韋方程的解可寫成

這里函數An（Y）描述相應的厚波導基本模.同時,把解代入到麥克斯韋方程中并且對Y進行平均化處理,便可得到標準的非線性薛定諤方程(NLS)[1]

2 非線性薛定諤方程的精確暗孤子解

人們已經從不同的角度分析了高階非線性薛定諤方程,并在平衡了群速度色散、自相位調制、三階色散和自陡效應后求出了類孤子解[2].含有自頻移的高階非線性薛定諤方程的類孤子解也有人求出并進行了穩定性分析[3-6].但是,類暗孤子解的相互作用自今研究者不多.在此通過逆解法求出了非線性薛定諤方程的一種暗孤子.

討論暗孤子在光纖中的物理特性,首先討論描述復電場波包的動力學方程[1]

這里的 σ＝±1是k（ω）二階導數的符號,對應于不同的光纖群速度色散類型,即σ＝－1時,代表反常色散, σ＝＋1代表正常色散.u代表電場波包的歸一化振幅,z是沿著光纖的歸一化距離.采用和亮孤子一樣的歸一化單位z→z／Z0，x＝（t－z／Vg）／tc，時間坐標t是延遲時間,它是在參考坐標中測量,并且參考坐標沿著光纖以群速度移動.

這里的T指脈沖寬度(FWHM).

非線性薛定諤方程(6)是一個可積系統,在非零邊界條件下可以用逆散射方法求解.在這里我們假設解的形式為

其中A（t）和φ（z，t）分別表示脈沖的振幅和相位.將該解代入方程(1)即可得到A（t）和φ（z，t）所滿足的常微分方程,然后通過求解常微分方程則可得到暗孤子解.與亮孤子的主要區別是當→∞時,A（t）趨于一個非零常數.其通解可以寫成

參量η和ts分別代表孤子的振幅和下陷位置.與亮孤子類似,選取ts＝0,不同的是暗孤子有一個新的參量B.物理上把＜1時的暗孤子稱為灰孤子,以強調這一特征.參量B決定這種灰孤子的黑度,把B＝1時的暗孤子稱為黑孤子.

3 數值研究相鄰亮、暗孤子間的相互作用

在光孤子通信中,相鄰孤子間的相互作用特點決定孤子傳輸的穩定性,決定傳輸的比特率,對于亮孤子,取初始脈沖的形式為

其中2q0描述相鄰孤子間的距離.圖1(a)(b)(c)分別是q0＝5.5,q0＝3.5和q0＝2.5的相鄰孤子的演化情況,從圖中可以看出相鄰孤子相互作用平衡的最短距離2q0＝11,隨著孤子間距的減小呈現出周期性的離合現象,并且距離越小離合周期越小.而對于暗孤子之間的相互作用.針對方程(6)取初始脈沖為

圖2(a)(b)(c)分別是q0＝3.5,q0＝2.5和q0＝2.0的相鄰孤子的演化情況,對比圖1和圖2可以看出,同樣是q0＝3.5的情況,演化相同的距離后,亮孤子已有明顯的相互作用現象而暗孤子還不明顯,這說明暗孤子的相互作用較亮孤子的相互作用弱,而且隨著兩孤子間距的減小,相鄰孤子間的相互作用與亮孤子間的相互作用也不相同,暗孤子表現為相互排斥,沒有周期性離合,這為利用暗孤子作為光纖通信中的信息載體提供了可能.

圖1 相鄰亮孤子間的相互作用

圖2 相鄰暗孤子間的相互作用

4 暗孤子的積分處理

亮、暗孤子的區別也可以從積分中看出,亮孤子是沒有邊界的,而暗孤子有邊界,它們的積分行為有很大的區別.實際上,只要選取合適的拉氏密度,方程(6)等價于歐拉方程,現在我們選取拉氏密度為如下形式

相應的哈密頓量就很容易求出

由于方程(6)是精確可積的,所以解的積分也是有限的.然而為了研究普遍情況下所存在的不變量,必須研究不可積的薛定諤模型.由于薛定諤方程描述的系統是保守的,由(10)所定義的總能量也是守恒的.另外,我們也考慮了場動量

形式上看,方程(10)(11)和(12)適合于任何類型的邊界條件.但對于非零邊界條件,由方程(10)(11)和(12)所計算出的值是奇異的.

顯而易見,對于具有非零邊界條件的暗孤子也會出現同樣的問題.因此必須對它們進行從新歸一化.現考慮最一般的形式,暗孤子在平面波背景下的演化.方程(5)就是描述暗孤子在平面波背景下的演化,他的解可以寫成下面的形式

在這種形式中,暗孤子解由三個獨立的參數決定,其中兩個u0和k表示平面波背景的振幅和波數,只有A描述暗孤子本身,解(13)的漸進行為和平面波解是一致的.然而當x→±∞時,暗孤子具有不同的相位,他們的相對相位變化是

從新歸一化暗孤子的積分形式,從方程 (10)(11)和(12)的積分形式可以很明顯看出暗孤子實際上是一類前后沿為有限值而中心下限的“暗”脈沖,也可以看成是“平面波背景+暗孤子”.為了消除平面波背景,我們必須修改積分形式,使方程(13)的積分的變得有限可積.為了簡化,我們取k=0,計算功率的方程(12)應該用總功率和相應平面波總功率的差去代替表示為

這樣計算出由方程(13)所計算出的功率為,Pr＝2u0B重新歸一化能量為

并且可以計算出,方程(13)所對應的能量為

重新歸一化的動量為

這里的△θ由方程(14)定義,把解(13)代入到方程動量表達式中,并令k＝0,可求出

這里c2＝u20.因此對于一般非線性薛定諤方程的,暗孤子積分形式也要作如下處理:

這些值都是有限的.

總之,本文簡單介紹了光脈沖在單模光纖中傳輸的基本演化方程-非線性薛定諤方程.采用逆解法求出了暗孤子的一種精確解,通過數值模擬分析比較了相鄰暗孤子間的相互作用,深刻理解了它的調制不穩定性,并對有平面波背景的暗孤子作了積分處理.

[1]Hasegawa A,Tappert F.Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersion dielectric fibers.1.Anomalous dispersion [J].Am Phys Lett,1973,23:142-144.

[2]Hasegawa A,Kodama Y.Solitons in Optical Communications[M].Oxford：Oxford U Press,UK,1995:1-56.

[3]Li Zhonghao,Lu Li.Chired Femtosecond Solitonlike Laser Pulse Form with Self-Frequency Shift[J].Am Phys Rev Lett,2003,89: 263901-03.

[4]李淑青,李錄,李仲豪.考慮自頻移的啁啾超短脈沖間相互作用的數值研究[J].光子學報,2004,33(4):862-864.

[5]Li Shuqing,Lu Li,Li Zhonghao.The properties of soliton solution on cw background in optical Fiberwith higher-order effects[J]. America Opt Soc Am B,2004,21:2089-2094.

[6]Lu li,Li Shuqing,Li Zhonghao.Modulation instability and soliton on cw background in inhomogeneous optical fibermedia[J].Am Opt Commun,2004,234:169-172.

[7]Yuri SKivshar,Barry Luther-Davies.Dark optical soliton:Physics and Applications[J].Physics reports，1998,298:81-90.

The I nteraction of A d jacent B right and D ark S olitons

LIShu-qing,WANG Ai-guo,FENG Zhong-ying,RENG Quan-nian
(Departmentof Science，Taiyuan Technology I nstitute，Taiyuan Shanxi,030008)

Through comparison with the bright soliton and analysis the fundament equation of dark solitons,a dark soliton solution has been given.Then the interaction of adjacent dark solitons has been studied.At the last,amethod of some integration has been given.

NLSequation;dark soliton solution;interaction;integration

TN012

A

〔編輯 李?！?/p>

1674－0874（2010）01－0039－03

2009－08－06

李淑青（1978－）女，山西長治人，碩士，講師，研究方向：非線性光學.