基于Copula的投資組合均值-CVaR有效前沿分析

金博軼

（上海財經大學 金融學院，上海 200433）

0 引言

自Markowitz在1952年創立投資組合理論以來，投資組合模型成為金融投資領域研究的熱點問題之一。傳統理論的一個重要缺陷在于其假設資產組合收益率服從多元正態分布，然而，大量的實證表明，這種假設經常與客觀事實相違背。首先，金融時間序列多呈現時變波動、偏斜、高峰、厚尾等特性，用正態分布去近似變量的邊際分布會產生較大的誤差。其次，多元正態分布假設變量之間的相關關系為線性相關，然而，金融時間序列往往呈現尾部相關的特性。Ramchand和Susmel（1998）在研究全球主要股票市場的相關性后發現，當股價出現大幅波動時，市場之間的相關性會增加；Thierry和 Carole Métais（2009）研究了英國、德國、法國股票市場股價波動的聯動效應并證實，市場之間的相關性呈現非對稱特征，英國市場股價的波動對德國和法國的影響要強于德法對英國的影響；Longin和Solnik（2001）對五個主要國家股票指數的收益率進行研究并證實，市場之間的相關性在熊市會強于牛市。顯然，基于線性相關關系的多元正態分布不能很好的撲捉到這種相關的時變性、非線性及非對稱性特征。

為了克服多元正態分布的上述兩點缺陷，本文擬使用Copula技術刻畫資產組合聯合收益率分布，在此基礎上構建投資組合均值-CVaR模型，并使用蒙特卡羅技術對模型進行實證分析。

1 基于Copula的聯合概率分布模型

Copula可以理解為 “相依函數”或 “連接函數”，通過Copula函數，我們可以將風險分解成單個金融資產的風險和由投資組合產生的相關性風險兩部分。其中單個金融資產的風險可以由它們各自的邊際分布來描述，而由投資組合產生的相關性風險則可以由連接它們的Copula函數來描述。因此，運用Copula理論構建資產組合收益率聯合概率分布時分以下兩步進行：（1）確定單個資產收益率邊際分布；（2）選擇適當的Copula函數，以便能較好地描述資產的相依結構。

1.1 邊際分布的選擇

金融時間序列的條件分布往往呈現出時變波動、波動集群、偏斜、尖峰、厚尾等特性，對這種特征進行最經典描述的是由Engle于1982年提出的自回歸條件異方差模型（ARCH）；隨后，學者們對該模型進行了推廣，最重要的推廣之一就是由Bollerslev于1986年提出的廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）。大量實證研究表明，在股市中大多數情況下，GARCH(l，l)、GARCH(l，2)、GARCH(2，l)模型已能充分反映長時期的金融數據的波動特征。其中GARCH-t、GARCHGED模型對金融時間序列條件分布特性的刻畫能力優于普通的正態GARCH模型，它可以較好地描述金融時間序列尖峰厚尾特性。因此，本文選用由t-分布噪聲驅動的GARCH-t（1，1）模型來描述金融收益序列的條件邊際分布。該模型的數學表達式為：

其中，Rt為收益率序列，μ為條件期望值，為條件異方差項，ω為隨機項，εt為隨機誤差項，α和β為條件條件異方差方程的系數，tv為自由度為v的正規化t分布。

1.2 Copula函數的選擇、參數估計及擬合優度檢驗

Copula函數種類繁多，不同的Copula能夠刻畫不同類型的相依特征。本文選擇正態 Copula、t-Copula、frank-Copula、Gumbel-Copula、Clayton-Copula 等五種 Copula 類型進行實證分析與比較。

Copula技術的建模特點使其極適于采用多階段參數估計法，本文的參數估計方法基于二階段極大似然估計，第一階段，估計邊際分布的參數θ1：

在估計出參數后，我們需要對擬合優度進行檢驗，本文用到的檢驗方法有下列兩種。

(1）Kolmogorov-Smirno（K-S）檢驗

K-S檢驗的優點在于它是非參數或者是任意分布檢驗，它揭示了經驗分布與理論分布之間的差別，檢驗統計量定義為：

其中，Fn(x)代表累積經驗分布函數，F(x)代表理論分布函數。

(2）AIC(BIC)信息準則

由于方法最優性的特點，赤池信息準則是建立在信息度量基礎上的判斷方法，它運用于檢驗極大似然估計的Copula模型；同時，可以使用貝葉斯信息準則（BIC）。雖然該方法不及最優性的特點，但是它對過度估計的模型能給予更靈敏的反應：

其中，k是 Copula參數個數，T是樣本個數，AIC（BIC）的值包含了模型和參數估計值對數據的反應，AIC（BIC）越小，該模型擬合度越高。

2 CVaR及投資組合優化問題

CVaR是對傳統的VaR風險度量方法的改進，它由Rockafellar等（2000）提出，CVaR可以定義為在一定的置信水平下，某一資產或資產組合超過VaR的損失的期望值。

假設某資產組合有n種資產，令f(x,y)代表組合損失（負的f(x,y)代表組合收益），其中向量x代表n種資產在組合中的比例，向量y代表n中資產的損失，假設y的分布密度為p(y)，則損失f(x,y)不超過一個給定值α的概率Ψ(x,α)為：

Ψ(x,α)是非減且右連續函數（Rockafellar，1970），在給定置信水平β∈(0,1)條件下，組合資產的VaR及CVaR分別為：

Rockafellar等（2000）認為，在收益率給定的情況下，組合的CVaR可以通過最小化下式得到：

式（4）也可以通過Mente Carlo模擬的方法近似的表述為：

其中，q代表模擬的次數，x=(x1,…,xn)代表資產組合中各種資產所占的比例，yk=(yk,1,…,yk,n)代表n種資產第k次模擬的收益率。并不一定可微，但是通過這種轉換。該問題可以通過線性規劃的方法非常簡單的求解。

運用式（5）的Mente Carlo模擬技術，投資組合均值-CVaR模型可簡化為：

為了下文比較的方便，我們不加證明地給出多元正態分布假設條件下的均值-CVaR模型的優化求解模型（劉小茂等2003）：

其中，rx為組合收益率，σ2(rx)為組合協方差矩陣，μ為期望收益率向量，e為單位向量，R為收益率臨界值，c1(β)=Φ-1(β)為標準正態分布 N(0,1)的 β 下分位數 c2(β)=φ(c1(β))/(1-β),φ(·)為標準正態N(0,1)的概率密度函數。

3 實證分析

3.1 數據的選取與處理

我們選擇滬深300指數里面四種不同行業的指數對上述模型進行實證分析。它們分別是滬深300的金融指數、能源指數、工業指數和消費指數。將價格{Pit}定義為第i種指數在第t日的收盤價，相應的將收益率{Rit}定義為Rit=100×(ln(Pit)-ln(Pit-1))。本文選取的樣本時間分為兩段，第一段從2003/06/18開始到2006/8/31，此段的有效數據共計737組，我們利用該段數據建立一個投資組合，分析其有效前沿。表1給出了在第一個時間段內四種行業指數的基本數字特征；第二段從2006/8/31開始到2009/4/31，在這段時間，我們通過資產組合的動態調整來考察組合的整體表現。本文數據來源于WIND金融資訊，數據處理所用到的軟件有excel、R2.8.1以及lingo9.0。

從表1可以看出，四種指數收益率的J-B指標均為1，意味著上述四種行業指數的收益率顯著異于正態分布的假設。峰度均大于或接近于3，說明具有尖峰特征；偏度均大于0，說明收益率序列具有右偏特征。

表1 四種指數的的基本數字特征

表2 t-GARCH（1，1）擬合結果

3.2 Copula參數估計

首先使用t-GARCH（1，1）模型估計出的股票收益率邊際分布參數（見表2）。

在估計出邊際分布的參數之后，就可得到下一期收益率RT+1的條件分布：

其中，tv(·)為自由度為v的t-分布，Ωt為時刻T為止的信息集。

根據得到的各樣本收益率序列邊緣分布對原序列做概率積分變換，使用變換后的數據進行第二階段估計，表3及表4給出了Copula函數參數估計值及擬合優度檢驗結果。

表3 Copula函數的參數估計及擬合優度檢驗

分析表3，從K-S指標上看，除 Clayton Copula外，其余四種Copula的 K-S指標通過了5%的顯著性水平檢驗，t-Copula函數K-S指標的p值最大，這表明與其他四種Copula相比，它能更好的擬合真實的經驗分布，但是AIC及BIC指標卻支持Gumbel-Copula，可能的原因是t-Copula需要估計7個變量值；另外，阿基米德類Copula一般只適宜于刻畫兩個變量的相依結構，對描述多變量的相依結構意義不大。因此，我們最終選擇t-Copula做為下一步隨機數模擬的生成函數。

3.3 蒙特卡洛模擬收益率

表4 Copula相關系數矩陣

在完成了Copula模型參數估計后，下一步的任務就是生成滿足選定Copula函數的隨機數，基于t-Copula函數的模擬算法為:

（1）求出相關矩陣∑的 Cholesky分解矩陣A，即 ATA=∑。

（2）生成服從 N(0,1)的相互獨立的隨機變量 z1，z2，z3，z4。

（4）令 b=Az,z=(z1,…z4)T。

（6）uk=tv(ck)(k=1,…4),tv表示自由度為v標準t分布函數。

（7）xk=Fk-1(uk)(k=1,2,3,4)，其中 Fk-1(·)為 k 種指數條件邊際分布的反函數。

3.4 優化問題求解

在完成了第二步的隨機模擬之后，接下來我們就可以利用lingo9.0軟件非常容易的求解式（6）的優化問題。圖1給出了基于Copula方法的均值-CVaR投資組合有效前沿及多元正態分布假設條件下的均值-CVaR投資組合有效前沿。

分析圖1我們可以得到以下兩點結論：

（1）與Copula-均值-CVaR模型下的投資組合相比，基于多元正態分布假設的投資組合將會在收益一定的條件下低估風險或在風險一定的條件下高估收益。究其原因主要有以下兩點：其一，傳統理論將資產收益率的邊際分布假設為服從正態分布；然而，金融數據往往具有尖峰、厚尾的特征，正態近似將會低估單個資產的下尾風險；其二，傳統正態假設基于線性相關，但是，資產組合收益率往往呈現尾部相關的特征，即在市場價格發生大幅波動時，資產之間的相關性會增加，從而造成組合整體收益率與線性相關假設相比發生更大幅度的波動?？傊?，運用多元正態假設構建投資組合將會低估組合的整體風險水平。Copula函數對資產組合收益率的邊際分布沒有限制，而且可以較好的撲捉組合資產之間相關關系的非線性特征。因此，基于Copula的聯合概率分布模型能夠更加準確的反映資產組合的風險狀況。

（2）尾部相關性會提高資產組合的風險溢價，即由于尾部相關關系的存在，投資者將會要求更高的風險溢價來彌補資產之間相關性在熊市增加的風險。

3.5 投資組合的動態調整與比較

下面要回答的另一個非常重要的問題是：基于Copula模型下的投資組合的表現是否會優于基于多元正態假設下的投資組合？由于Copula模型能夠較真實的反映資產組合的風險狀況，因此，我們預測，基于Copula模型的投資組合的整體表現會優于正態分布假設的投資組合。為了檢驗我們的預測，現在考慮資產組合的一個動態調整過程，假設資產組合的建倉時間為2006年8月31日，初始價值為1，以后每兩個月根據新的交易數據運用上述兩種模型對組合中各種資產所占的比例進行一次調整，在允許賣空、不考慮交易費用及市場摩擦等因素的條件下，圖2給出了從2006/8/31到2009/4/31這個時間段兩種組合總價值的變化情況。

從圖2可以看出，在股市處于牛市階段（即從2006年8月31日到2007年11中旬），兩組資產組合的總價值都有不同程度增加，然而，Copula模型下的資產組合總價值增幅更大一些；從2007年11中旬開始，股市進入熊市，兩種資產組合的總價值都發生了縮水，然而，Copula模型下資產組合的總價值下降幅度遠小于多元正態模型下的組合?？赡艿脑蚴俏覈善笔袌龃婧茱@著的羊群效應（劉文虎，2009），投資者容易隨價格波動出現追漲殺跌行為，從而使市場價格波動過度，造成市場的不穩定。Copula模型下的上尾及下尾相關系數能夠較好地量化這種效應，從而使投資者充分抓住牛市的上漲機會，降低資產組合在熊市的縮水幅度。

4 結語

鑒于傳統多元正態分布在描述資產組合聯合分布上存在的缺陷，本文構建了基于Copula理論的投資組合均值-CVaR模型，采用Copula建模的優勢在于其可以將單個資產收益率的邊際分布和資產之間的相關結構分開討論，單獨處理，從而大大降低了分析問題的難度，增強了金融建模的靈活性。本文得出以下兩點重要結論：

（1）與Copula-均值-CVaR模型下的投資組合相比，傳統基于多元正態分布假設的投資組合策略將會低估風險或高估收益。

（2）對單個資產下尾風險及資產組合尾部相關風險的有效控制使Copula模型下的資產組合的整體表現好于正態分布假設下的資產組合。

總之，將Copula理論應用于投資組合的管理過程中能夠使投資者在有效控制組合風險條件下增加組合的收益率。

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