兩圓無交點，圓系為何意
——記一次對虛圓系的探究過程

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(湖州市第二中學 浙江湖州 313000)

兩圓無交點，圓系為何意
——記一次對虛圓系的探究過程

●劉薇陸麗濱

(湖州市第二中學 浙江湖州 313000)

1 起源

在課堂上講解兩圓相交等知識時，筆者出示了人教A版數學必修2習題A組第10題：

求經過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線上的圓方程．

這是一道典型的運用圓系思想、避免解交點的圓系問題．下面是筆者在課堂上講解課本例題的部分過程：

教師：……同學們知道，只要令

x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0，

可得

(1+λ)x2+6x+(1+λ)y2+6λy-4-28λ=0，

(1)

x2+y2-x+7y-32=0.

……

學生：比起剛剛我自己求交點的算法，這種方法簡單多了！

教師：因此，利用圓系理論求解涉及兩曲線交點的問題，常?？梢员荛_繁雜的運算，并使解題的思路變得流暢、清晰和自然．

2 疑問

正以為問題解決之際，有學生剛下課就問了筆者一個難以回答的問題！

學生：老師，如果兩圓無交點，那么圓系還有沒有用？

教師：兩圓相交、相切均有用，相離沒用．

學生：老師，這就奇怪了，我剛剛自己演算了一個問題，兩圓是無交點的，但是圓系還是可以解出這樣一個圓方程，這是為什么？

筆者仔細查看了學生演算的那道題目：兩圓方程C1：x2+y2=1，C2:(x-4)2+y2=1，求經過兩圓交點，并經過點(0,0)的圓方程．

學生解法：令所求圓方程為

x2+y2-8x+15+λ(x2+y2-1)=0,

(2)

代入點(0，0)，可得λ=15.代入式(2)，解得圓方程為

即

學生：可是，我畫圖時發現2個圓是沒有交點的！而且我還解了方程組

解得x=2,y2=-3，無意義??！那我剛剛計算出來的到底是什么呢？

聽到此處，筆者大驚！這是筆者以前從來沒有探究過的問題！為此，筆者和學生一起做了探究．

3 探究

筆者冥思苦想，一直毫無頭緒．為何沒有交點的圓系方程也能求之，難道就是增根這么簡單？筆者還查詢了諸多資料，也沒有任何資料顯示到底原因為何，只是敘述此種情況為不合而已！

正在懸疑之際，學生的一句話提醒了筆者,“老師，你看方程的解y2=-3，好像復數中的虛根！”是??！我怎么就沒有想到？虛根——不正好對應同頂點的雙曲線的解嗎？

于是，筆者與學生一起將原來的兩圓方程C1:x2+y2=1，C2:(x-4)2+y2=1改寫成2個雙曲線方程C1′:x2-y2=1,C2′:(x-4)2-y2=1．聯立雙曲線方程

解得

x=2,y2=3.

x2-y2-8x+15+λ(x2-y2-1)=0,

(3)

代入點(0，0),可得λ=15.代入式(3)，解得雙曲線為

即

如圖1所示，經檢驗結論正確．

圖1

最終，我們對比求出的圓系方程和雙曲線方程，發現竟然也是如此的統一！因此，可以說盡管兩圓無交點，但是與其相對應的雙曲線卻呈現出了這一切！因此，筆者總結得到以下定理：

4 再探

若兩圓內含呢？請看繼續探究：兩圓方程C3:x2+y2=16，C4:(x-1)2+y2=1(內含)，求過兩圓交點(虛)且過點(-1,0)的圓方程．

現將圓方程改成相對應的雙曲線方程：

令過上述2個點的雙曲線系方程為

x2-y2-2x+λ(x2-y2-16)=0，

(4)

圖2

如圖2所示，經檢驗結論正確．這說明當兩圓內含時，定理1也成立．

5 釋疑

當兩圓相交、相切時圓系的方程是有意義的，現在通過探究發現，當兩圓相離、內含時,盡管圓系方程并無實際意義，但以其對應的雙曲線系方程必過(虛)交點而可得，又與所得(無實際意義)的圓系恰好相對應．

筆者將上述現象稱為虛圓系．

6 尾聲

在探究知識之后，盡管此現象并無實際意義，而且以上的探究過程也花費了很多時間(包括課內和課后),但從遠期目標來看:這有助于學生了解問題解決的過程，初步嘗試數學研究的過程，從而建立起嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助于培養學生善于質疑的習慣，培養學生提出問題、解決問題的能力．另外，教師還應加強自身的專業素養，不斷在教學工作中提升自己.只有不斷鉆研，才能用自己的“一桶水”澆灌給學生的“半桶水”．

通過學生的質疑，使得筆者和學生一起弄清了兩圓無交點，圓系為何意,增長了學習數學的興趣，引導學生對數學中感到困惑的問題進行探究.這不僅是“釋疑、解惑”的需要，也是新課改倡導的培養學生探究意識和理性精神的需要．