《回回歷法》交食精度之分析

李 亮 呂凌峰 石云里

(中國科學技術大學 科技史與科技考古系，合肥 230026)

伊斯蘭天文學在中國的傳播和應用一直受到學界的較多關注，前人曾在回回歷法的研究上取得了相當多的成果。其中，在回回歷法交食研究方面，主要有陳久金對回回歷法日月食原理的研究［1］、陳美東對回回歷法天文數據的分析研究［2］、唐泉對回回歷法日食時差等算法的比較和分析［3］，以及呂凌峰等對明末回回歷法的推算精度的初步分析等［4］，但目前尚無對回回歷法交食和日月運動的整體計算精度及其實際使用情況的分析和討論。本文將對回回歷法進行計算機編程，模擬其日月運動和交食的推算，并結合相關史料，通過誤差分析來對回回歷法的交食推算精度及其與大統歷相互參用的情況做進一步探討。

在具體討論回回歷法交食之前，有必要對回回歷法的版本作一簡要說明。有關回回歷法的版本流傳情況至今尚無定論，但基本的認識是回回歷法的最初版本可能已經失傳，留存至今的只有一些重編本①中國國家圖書館善本部藏有一冊《回回歷法》，館藏編號03484，目錄雖然注明為“明洪武十六年(1383)內府刻本”。但經石云里比較，該版本實際上是貝琳《回回歷法》第1冊的一個殘本，具體請參見文獻［5］。［5］。明代版本主要包括《七政算外篇》、《西域歷法通徑》和貝琳編訂的《回回歷法》(即清代收入《四庫全書》的《七政推步》的底本)。其中《七政算外篇》為朝鮮李朝天文學家在1442年前后根據傳入該國的《回回歷法》、《緯度太陽通徑》等書編纂而成，在傳世的《回回歷法》重編本中時間最早;《西域歷法通徑》為明欽天監夏官正劉信編寫，目前只存殘本;貝琳的《回回歷法》由南京欽天監監副貝琳于成化十三年(1477)編訂①《四庫全書》中貝琳的《七政推步》七卷與貝琳所刻的《回回歷法》五卷本質上應算是同一部著作。，之后該版本又于隆慶三年(1569)由周相重新刊印，目前日本內閣文庫藏有一套完整的《回回歷法》，即為貝琳編訂、周相重印本。此外，回回歷法還有一些清代修訂版本，包括南圖本《回回歷法》②關于南圖本《回回歷法》更多的信息，可參見文獻［6］。、王鴻緒《明史稿》本、張廷玉《明史》本。根據陶培培的研究，南圖本是明史系列回回歷法中最原始的版本，其編者可能是黃百家［6］。

現存的回回歷法明代刊印版本中僅有《七政算外篇》③韓國奎章閣現藏有《七政算外篇》，《朝鮮王朝實錄》也保存有漢文原抄本。、貝琳編訂《回回歷法》和《西域歷法通徑》。其中《西域歷法通徑》只殘存八卷，《七政算外篇》據記載是朝鮮李純之和金淡等人對“《回回歷經》、《通徑》、《假令》之書推究其術，微加損益，仍補闕略，遂成全書”，在內容和形式上都作了少量調整。根據我們對以上幾個版本的調查，認為最可能為明代欽天監官方使用的是貝琳于成化十三年(1477)修補刊印的《回回歷法》，而日本內閣文庫藏本又是目前此版本中保存最好的，因此本文在編程計算以及分析和討論中所使用的回回歷法皆以日本內閣文庫藏本為依據④其他各種《回回歷法》的重編本在具體算法上與日本內閣文庫藏本相差都不大，但總體來說日本內閣文庫藏本《回回歷法》中的錯誤率則較低。相比而言，《四庫全書》版的《七政推步》由于是寫本，錯誤明顯較多。。

1 關于《回回歷法》的交食推算方法

目前各版本的《回回歷法》中皆只記載有歷法的推算方法，沒有對相關的歷法推算做理論上的解釋，也就是說整個《回回歷法》只記載如何利用立成計算天體的位置和交食等內容，卻沒有說明其算法的原理。清代的顧觀光(1799—1862)曾撰《回回歷解》⑤顧觀光，《回回歷解》。參見:《武陵山人遺書》。，該書通過“日躔歷理”、“月離歷理”、“五星歷理”和“交食歷理”等內容，對《回回歷法》中的各種推算方法進行了簡單的介紹和分解。之后日本學者藪內清嫌其過于簡略，故再做《回回歷解》⑥藪內清，《回回歷解》，日本《東方學報》，1964年。，對此進行了較為深入的研究。近年來，陳久金對回回歷法的原理逐條作了科學分析，對回回歷法各立成數據的來歷也進行了討論［1］。由于回回歷法交食部分的推算還與其日月運動位置的計算有關，陳久金還對回回歷法中日月位置的計算作過系統的研究，并在幾何學意義上對其進行解釋［7］。這些為我們進一步實現對回回歷法進行計算機模擬推算提供了一些算法依據。而內閣文庫本《回回歷法》中記載了完整的推算方法和立成表格，因此我們只要將回回歷法的相關立成表格輸入數據庫中，并嚴格依照回回歷法中記載的方法，調用數據庫中的數據進行編程計算，就能得到回回歷法的實際推算結果①計算機編程使用Visual Basic 2008.NET語言和Access 2007數據庫，所編程序可用于回回歷法的日月食、日月五星黃道經緯度和回回恒星位置等推算。為確保該程序交食推算的可靠性，我們將程序推算結果與《七政算外篇》正統丁卯年交食假令、南圖本《回回歷法》中所附的“假如”等史料中記載的結果進行驗證，除由于數據四舍五入進位不同導致截斷誤差、以及各版本在立成表上存在部分差異而導致推算結果與史料存在細微差別外，程序推算結果與史料完全一致，因此完全滿足對回回歷法進行模擬推算和數據分析的精度需求。。

此外，韓國奎章閣藏有《七政算外篇·丁卯年交食假令》一卷。該書記載有根據《七政算外篇》計算的“正統丁卯年交食假令”，其中包括推算丁卯年八月初一日食(1447年9月10日)和丁卯年八月十五日月食(1447年9月24日)的假令(即算例)，這兩個算例分別詳細介紹了使用回回歷法進行日食和月食的推算步驟，并給出了這兩次交食計算每個步驟的計算數據。這為我們進行計算機模擬推算提供了驗證算法的依據，并為校驗程序的可靠性提供了難得的歷史文獻數據②此外南圖本《回回歷法》中也附有崇禎二年已巳五月朔乙酉日蝕(1629年6月21日)的算例。。由于篇幅所限，現將該書中算例的主要結果節錄如下(見表1)。

表1 《七政算外篇·丁卯年交食假令》中的主要結果

2 《回回歷法》的交食精度分析

關于回回歷法的交食推算精度，各種歷史文獻中往往評價不一?！睹魇贰分性涊d“回回歷科推算日月交食、五星凌犯，最為精密”，“與大統參用二百七十余年，雖于交食之有無深淺，時有出入，然勝于九執、萬年遠矣”③張廷玉，《明史》志第七，歷一。。從這些文字中可以看出，回回歷法的推算雖偶有差錯，但總體精度還是較為“精密”?！睹鲗嶄洝分杏嘘P回回歷法的記載，也多數認為回回歷法要優于大統歷，具體參見后文。不過其中也有例外，如《明武宗實錄》記載正德十三年(1518)欽天監漏刻博士朱裕請修歷法時曾提到:“況回回歷自開皇已末至今九百余年，亦有疏舛。連年推算日月交食，算多食少，算少食多，時刻分秒，與天不合”①參見《明武宗實錄》正德十三年(1518)十二月辛卯二十六日條。，這條記載似乎又說明回回歷法推算誤差較大。這些文獻關于回回歷法交食精度的評價雖有不同，但總體看來回回歷法似乎比大統歷交食預報更為精確。甚至利瑪竇在其見聞中也提到:“研究大統歷的人比較受人尊重，可是他們的日食每多錯誤;學回回歷的人比較準確一些，但不受人尊重?！保?］明末崇禎改歷的有關文獻中記錄了明末六次回回歷法的交食預報情況，根據初步的計算分析可知，回回歷法的交食預報精度并不好于大統歷，且回回歷法的交食預報更加接近南京的交食食況［4］。鑒于史料記載的數量有限，加之這些材料皆集中在明末，缺乏對回回歷法交食精度的長期比較，因此有必要對回回歷法交食做更全面的分析和討論。為此，本文在回回歷法交食算法的基礎上，以日本內閣文庫藏本《回回歷法》為基礎，通過計算機編程對其進行模擬推算，并將其推算誤差與大統歷法進行比較。其中，大統歷法雖然源自元代的《授時歷經》，但經過幾番版本流變后，現存有多個版本，且各版本的算法也有一些差異，例如《大統歷法通軌》的交食算法和《元史·授時歷經》、《明史稿·大統歷志》、《明史·大統歷志》就有明顯不同。我們研究結果認為，《大統歷法通軌》應該是明代欽天監實際使用的大統歷版本［9］，因此本文在分析中采用的大統歷版本為《大統歷法通軌》。

首先，在月食食甚時刻的比較上，將《回回歷法》和《大統歷法通軌》推算的月食食甚時刻分別與現代理論推算結果進行比較分析后可見，在月食食甚時刻的推算上，回回歷法存在較大誤差，明初時即已后天一刻左右②“后天”指歷法實際推算結果比理論計算值大，即出現食甚的時刻比理論值計算的時間遲。，至明末時其推算更是達到后天三刻以上。而大統歷在明初經過元統的調整后，誤差基本在一刻以內，至明末時達到后天一刻左右。由此看來，回回歷法在月食食甚時刻的推算上與大統歷相比誤差較大(圖1)。

圖1 《回回歷法》和《大統歷法通軌》月食食甚時刻的精度分析③ 現代值理論值中的月食數據來源于SkyMap 10.0，日食的數據來源于劉次沅編《中國歷史日食典》，本文日月食食甚時刻誤差散點圖中所得數值，皆為歷法程序的模擬推算值減去現代理論計算值所得的結果。比較的時間范圍從公元1270年至公元1644年，回回歷和大統歷近距歷元皆為洪武17年(1384)，兩歷的實際開始使用時間皆略晚于歷元數年左右，因此我們所分析的這一時間跨度基本涵蓋了兩歷的整個使用時期及其使用前的一段時期。

其次，在月食食分的比較上，將《回回歷法》和《大統歷法通軌》的推算結果分別與現代理論推算值進行比較后分析可見，回回歷法月食食分與現代理論值相比，其誤差散點分布明顯比大統歷收斂一些(圖2)。

以上分析表明，雖然在月食食甚時刻計算上回回歷法遠遜于大統歷，但是在月食食分計算上，回回歷法卻明顯要優于大統歷。尤其是在小食分的推算上，回回歷法明顯具有較大的優勢。

圖2 《回回歷法》和《大統歷法通軌》月食食分的精度分析① 《回回歷法》和《大統歷法通軌》計算值依照歷法中古代食分標準，現代理論值依現代標準，兩者大約為十倍關系。

由于日食的食甚時刻和食分大小與觀測的地理位置相關，明朝初期定都南京，并在雨花臺和雞鳴山分別設觀象臺，因此當時漢欽天監和回回欽天監的推算結果都是與南京的實測結果進行比較和驗證。自永樂遷都北京后，欽天監各機構皆設南北兩套。但由于主要職能皆以北京欽天監為主，歷法的推算結果也改為與北京的實際觀測結果進行比較。雖然實際觀測的地理位置已發生改變，但是在歷法的具體推算方法上，回回歷法和大統歷皆未針對位置的改變而進行算法上的調整。因此為了更方便地進行比較和分析，我們在分析日食食甚時刻和食分大小時，將對兩部歷法的推算結果與北京和南京兩地的現代理論結果分別進行比較。

日食食甚時刻的推算方面，無論是與北京還是與南京比較，推算結果均以大統歷為優?；鼗貧v法的日食食甚時刻在明初期就已后天兩刻左右，明末時更是達到四刻?？梢娖淙帐呈成鯐r刻誤差與月食食甚時刻一樣，誤差范圍和后天趨勢皆比大統歷明顯得多。此外，回回歷法日食食甚時刻與南京理論值相比略優于其與北京理論值相比的結果，即回回歷法日食食甚時刻值更接近南京的實際情況(圖3)。

日食食分的推算方面，在分別與北京理論值和南京理論值比較中，也可以看出回回歷法的推算明顯更接近南京的結果?？梢娫诿鞒跗诙ǘ寄暇r，回回歷法的食分推算還是比較精確的，且明顯優于當時大統歷食分推算的結果。遷都北京后，雖然回回歷法的算法本身沒有改變，其推算精度也不會變化，但由于觀測地點發生改變，北京的實際結果成為評價依據，這也間接導致了回回歷法在食分的推算精度上的下降。但是，即便如此，其日食食分計算結果還是要略優于大統歷(圖4)。

圖3 《回回歷法》和《大統歷法通軌》日食食甚時刻的精度分析① 左上圖結果為《回回歷法》推算值減北京理論值，右上圖結果為《回回歷法》推算值減南京理論值，左下圖結果為《大統歷法通軌》推算值減北京理論值，右下圖結果為《大統歷法通軌》推算值減南京理論值。

此外，回回歷法食分的推算精度與地理位置的相關度較大，較易受地理緯度改變的影響。相比之下，大統歷的日食食分雖然總體精度要遜于回回歷法，但其食分結果受地理位置的影響相對較小。故遷都北京后，其食分的精度不但沒有降低，甚至反倒比在南京時略好。究其原因，可能是大統歷的食分推算除了受晨昏分影響外，較少考慮地理位置及其相關的因素的影響。再者大統歷出身于授時歷，而授時歷本身就是編修于元大都，其地理位置正好符合明代遷都后的情況。

綜合以上討論可以看出，在日月交食食甚時刻的推算上，大統歷比回回歷法精確。但回回歷法也有其特有的優勢，即在日月交食的食分推算上比大統歷要略勝一籌。相對而言，回回歷法受地理位置影響較大，且更適合在南京使用;而大統歷受地理位置影響相對較小，且較適合在北京使用。

圖4 《回回歷法》和《大統歷法通軌》日食食分的精度分析

3 《明實錄》中關于回回歷法交食史料的分析

回回歷法在明代雖然自始至終與大統歷相互參用，但不同史料中對大統歷的使用效果多有提及，而有關回回歷法實際使用情況的史料則少了很多。下面幾條是《明實錄》中有關回回歷法交食的記載:

A.《明孝宗實錄》“弘治八年八月十六日丙寅”條記載:

欽天監奏:是夜月食不應，禮部及監察御史等官敕監正吳昊等推步不謹之罪。昊等上章自辯，謂依回回歷推算則月不當食，在大統歷法則當食，本監但遵守大統歷法奏行，是以致誤。復談言月當食不食，為上下交修之應，冀以免罪。上曰:“月食重事，昊等職專占候，乃輕忽差誤如此，姑宥之。堂上官各罰俸一月，春官正等官各兩月?！?/p>

B.《明孝宗實錄》“弘治十五年十一月十九日戊午”條記載:

欽天監奏:弘治十六年二月十五日夜望月食，月食當食一分二十秒，依回回歷推算則不食，緣所食數少，請待臨期觀候，免百官行救護，禮部言，若不救護，恐臨時月食

有驗，反而失誤，上命如例救護。

又《明孝宗實錄》“弘治十六年二月十五日壬子”條記載:

初，欽天監奏是晚月當食，至期不食，禮部請治欽天監官吳昊等推算不精之罪，命宥之。

C.《明世宗實錄》“嘉靖七年八月二十六日乙丑”條記載:

欽天監言:本年閏十月朔以大統歷推日不食，以回回歷推日食二分四十七秒，疏下所司。①《明史》中記載了此次日食的最終結果:“七年，欽天監奏閏十月朔，回回歷推日食二分四十七秒，大統歷推不食。已而不食?！奔椿鼗貧v推算應有日食，大統歷推算沒有日食，最終大統歷應驗。其實依據現代理論計算此次日食發生在1528年11月12日，北京食分為0.04，南京為0.17，換算為古食分，即北京為四十秒，南京為一分七十秒，若以南京為標準，回回歷法應該算是基本推算準確，但由于遷都北京后，一切都以北京的實際情況為準，而北京此次日食食分太小，不及一分，因此被認定為沒有日食，最終算是回回歷法誤判，而大統歷應驗。

D.《明神宗實錄》“萬歷十二年九月二十九日壬寅”條記載:

欽天監題:推算萬歷十二年十一月初一日癸卯朔日食，依大統歷日食九十二秒，依回回歷不食，已而回回果驗，下禮部。②此次日食《明史》中也有同樣記載:“萬歷十二年十一月癸酉朔大統歷推日食九十二秒，回回歷推不食，已而回回歷驗?！?/p>

以上A、B、C、D史料分別記載了弘治八年(1495)八月、弘治十六年(1503)二月、嘉靖七年(1528)十月、萬歷十二年(1584)十一月的四次交食情況。由于這些史料中關于回回歷法的交食記載均是伴隨大統歷的交食推算失誤而出現，似乎顯得回回歷法比大統歷法更優。但應該注意的是，這幾條中所涉及的都與食分的判斷有關。例如，弘治八年八月這條記錄的情況為“月食不應”，此前欽天監依大統歷推算當食，而依回回歷推算則月不當食，最終結果為回回歷法預測準確;弘治十六年二月這條記錄為按大統歷應當有月食，食分為一分二十秒，而依據回回歷法則推算不食，結果“至期不食”，回回歷法推算應驗;萬歷十二年九月這條記錄為依大統歷推算日食食分九十二秒，而依回回歷法推算不應有日食，結果依然是回回歷法應驗。雖然這幾條史料都涉及“交食有無”或者“食分深淺”的判斷，沒有提供具體食甚時刻的比較資料。但從這幾條記錄來看，也基本能印證我們之前對回回歷法交食食分計算精度的部分分析和判斷，即回回歷法在判斷食分、尤其是小食分的交食時可能要比大統歷更為準確些。

4 回回歷法太陽、太陰黃道經緯度的誤差

由于交食的推算精度與日月運動的精度有關，下面我們將對回回歷法在日月運動中的實際精度進行分析。在同樣對回回歷法的日月黃道經緯度進行編程計算后，選取歷元附近的一段時間進行具體分析后③回回歷法的歷元為洪武甲子，即1384年，但其實際使用的時間可能在1392年之后，因此我們選取了從1392年1月1日開始的2000天，以每日北京時間子夜零時回回歷法太陽和太陰的黃道精度以及太陰的黃道緯度為例，將其歷法推算值分別與現代理論計算值進行比較和分析。，從對誤差的比較中我們發現:回回歷法的太陽黃道經度誤差大約在－3角分至7角分之間(圖5);太陰黃道經度誤差大約在±90角分之間，最大時則甚至會超過100角分以上(圖6);太陰黃道緯度誤差大約在±17角分左右(圖7)。

為了對回回歷法的日月黃道經緯度的誤差能有更直觀的認識，我們將其與《歷象考成》的日月黃道經緯度進行一些比較①由于大統歷等傳統歷法日月運動使用偽黃道坐標體系，不能與回回歷法的黃道坐標體系進行直接比較，加之傳統歷法沒有對應的黃道緯度推算方法，因此本文暫且只將其與同樣使用黃道坐標體系的《歷象考成》進行比較，至于回回歷法與大統歷等傳統歷法在日月運動上的比較，今后還將需要做進一步研究。。根據石云里的研究［10］，《歷象考成》在其歷元附近太陽黃道經度誤差大約在－7角分至8.5角分之間，太陰黃道經度誤差大約在－70角分至50角分之間，太陰黃道緯度誤差大約在±20角分左右②這些誤差結果是以1683年12月21日之后1000天范圍為例，計算每日北京時間子夜零時的歷象考成的歷法推算值減去現代理論值所得，具體可參見文獻［10］。。通過比較可以看出回回歷法在太陽黃道經度和太陰黃道緯度的推算上比較精密，甚至還略優于《歷象考成》，而在太陰黃道經度的推算上存在較大缺陷，誤差最大時會達到一度半以上。根據這些初步分析判斷，《回回歷法》在太陰黃道經度上誤差較大，但在太陰黃道緯度上精度則相對較高的特點，可能是導致其在交食食甚時刻推算上誤差較大，而在食分大小的推算上精度較好的原因之一。

圖7《回回歷法》太陰黃道緯度誤差

5結語

明太祖朱元璋對回回天文歷法情有獨鐘。在他的支持下，回回歷法與其他一批阿拉伯天文著作得到翻譯，并且南京雞鳴山的觀象臺和回回欽天監也逐步被設立，這使得回回歷法在中國占有了一席之地。不僅如此，朱元璋甚至還有過對大統歷和回回歷法進行“會通”的想法。例如，《緯度太陽通徑》①《緯度太陽通徑》現藏于韓國奎章閣，為洪武二十九年欽天監監正元統組織編撰，此書編寫的目的主要是將《回回歷法》以春分為天文年起算點換算成以冬至為起算點，此外還對歷法中一些難解處進行解釋，具體可參見文獻［5］。中就曾記載:

故有經無緯，不顯其文。有緯無經，豈成其質。文質兼全，然后事備，諒二法可相有而不可相無也。尚矣洪武乙丑冬十一月欽蒙圣意念茲，欲合而為一，以成一代之歷制。受命選春官正張輔，秋官正成著，冬官正侯政就學于回回歷官，越三年有成。既得其傳，備書來歸。予因公暇，詳觀其法。［11］

可見在明朝初期，欽天監監正元統曾為了貫徹朱元璋將中國傳統歷法與回回歷法合而為一的旨意，而進行了一些努力，盡管取得了一定進展，但“會通”的目標最終還是未能如愿。此后，仍然多次有人提出類似“會通”的建議，如《明神宗實錄》萬歷十五年三月十四日癸卯禮科給事中侯先春奏歷法當改中提到:“該監見有回回歷科，其推算日月食及五星凌犯最為精細，囊者月食時刻，分秒不差舛，祇以原非大統歷法，遂置不用，臣以為授時歷可采，回回歷亦可采，取其能和天度，如果脗合，即將采入大統歷中，以成一代之制?！雹趨⒁姟睹魃褡趯嶄洝啡f歷十五年(1587)三月癸卯十四日條。遺憾的是回回歷法與大統歷的整合一直未得到有效的實施。但即便如此，回回歷法還是被官方參用，一直沿用到明末。

回回歷法之所以得以與大統歷長期參用，必然與其自身所具備的特點緊密相關，如它可對月五星黃道緯度進行推算，可對月五星凌犯進行預測并為星占提供服務①韓國奎章閣現保存有《宣德十年月五星凌犯》一卷，是迄今可以找到的唯一能夠反映《回回歷法》具體實施月五星凌犯預測的著作，揭示了回回天文機構在明朝的另一個重要職能，具體可參見文獻［11］“宣德十年月五星凌犯”題解。。這是傳統歷法所望塵莫及的。此外，正如前文所分析的，回回歷法在交食食分推算上也具有明顯優勢。從《明實錄》中的相關記載也可看出，在判斷交食有無和食分大小方面，尤其是在小食分交食的判斷及是否進行交食救護上，回回歷法為大統歷提供了重要的參照依據?？梢栽囅?，每當欽天監在預測到小食分交食后，需要判斷是否應準備救護儀式時，一定承受著巨大的壓力和風險，而回回歷法在食分上明顯有一技之長，將其參用到交食的判斷上自然是不錯的選擇。

另一方面，前文介紹《明實錄》中吳昊辯解“本監但遵守大統歷法奏行”，侯先春提及回回歷“只以原非大統歷，遂置不用”，又據《明會典》中規定“如食不及一分、與回回歷雖食一分以上、俱不行救護”，從這些線索看出，回回歷法和大統歷雖同屬于官方歷法，但回回歷法與大統歷相互參用的過程中，其參用的程度也還是有限的，至少在交食時刻的推算上，回回歷法存在較大誤差，不足以達到良好的參用效果。由于崇禎改歷之前回回歷法在時刻推算上的史料較少，而關于回回歷法的史料中更多的是關于其在判斷食分大小方面所起的作用，因此所存的史料似乎也說明了回回歷法在食分判斷上更具有優勢?；鼗貧v法在食甚時刻等推算上不及大統歷，這一特點可能與回回歷法在太陰運動推算上的一些不足有關。但是，回回歷法對太陰黃道緯度可以進行較為精確推算，這又使得其在食分的判斷上比大統歷更具有優勢。

1 陳久金．回回歷日月食原理［J］．自然科學史研究，1990，9(2)．

2 陳美東．回回歷法中若干天文數據之研究［J］．自然科學史研究，1986，5(1)．

3 唐泉．《授時歷》和《回回歷法》中日食時差算法［J］．中國科技史雜志，2007，28(2)．

4 呂凌峰，石云里．明末中西歷爭論中回回歷的推算精度——以六次日月食預報記錄為例［J］．回族研究，2003，(4)．5 石云里，魏弢．元統《緯度太陽通徑》的發現——兼論貝琳《回回歷法》的原刻本［J］．中國科技史雜志，2009，(1)．

6 陶培培．南京圖書館藏清抄本《回回歷法》研究［J］．自然科學史研究，2003，(2)．

7 陳久金．回歷日月位置的計算及運動的幾何模型［J］．自然科學史研究，1989，(3)．

8 (法)裴化行，王昌社譯．利瑪竇司鐸和當代中國社會［M］．第5章．上海:土山灣印書館，1943．

9 李亮，呂凌峰，石云里．從交食算法的差異看《大統歷》的編成和使用［J］．中國科技史雜志，2010，(4)．

10 石云里．《歷象考成后編》中的中心差求法及其日月理論的總體精度［J］．中國科技史料，2003，(2)．

11 石云里(主編)．海外珍稀中國科學技術典籍集成［M］．中國科學技術大學出版社，2010．