基于相關矩陣的MIMO系統信道容量分析

張唯希，周 杰

（南京信息工程大學 電子與信息工程學院，江蘇 南京 210044）

0 引言

多輸入多輸出（MIMO）技術是一個新興的研究領域，被認為是大幅提高帶寬效率的理想方法[1-2]。在輸入與輸出端，利用多天線陣列技術，可以有效地提高系統信道容量[3-4]。在獨立的瑞利信道下，MIMO系統的信道容量與天線數目呈線性關系[5]。然而，在信號傳播過程中，由于傳播信道間的相關性，對MIMO系統信道容量產生較大影響，相關性的增加導致系統容量的減小，當相關性達到1時，MIMO系統將不再適用[6-7]。

為了分析相關性對MIMO系統容量的影響，這里利用均勻角能量分布以及相關矩陣，研究了MIMO系統容量，通過分析得出了一個估算信道容量的公式，用來驗證模型的有效性。分析結果證明，在這種模型下，相關性的增加意味著信噪比的減小，環形接收天線陣列半徑和角度擴展是決定MIMO系統信道容量的主要因素。

1 MIMO系統信道容量

如圖1所示，表示一個具有N副發射天線和接收天線的MIMO系統。

這里假設 Nt=NR=N，N副發射天線，N副接收天線。對于一個N×N維的白高斯噪聲信道, MIMO系統信道容量為：

其中，N表示發射與接收天線數目，ρ表示平均信噪比，I表示單位矩陣，H表示一個歸一化信道矩陣，+表示矩陣的轉置共軛。

圖1 N副接收和發射天線的 MIMO 系統

這里，H中的元素hi,j滿足以下歸一化情況：

當所有的平行信道獨立H=I，ρ/N表示每個接收分支的信噪比。

為了有效的研究相關性的影響,不考慮接收功率不相等的情況，即∶

換句話說，N副接收天線的接收功率是相等的。由式(3)可將式(1)簡化為[8]：

其中，R表示歸一化信道相關矩陣。

將式(4)中行列式下的矩陣用Z表示，得到：

其中：

這里，"*"表示復共軛，β=ρ/ N ?(1+ρ/ N)?1。因此，MIMO系統的信道容量可以如下表示：

從式(7)中可以看出，為了估計出相關信道下的 MIMO系統信道容量，必須計算出ΔN的值。

2 環形陣列MIMO系統相關性模型

為了方便分析，N取4，且假設接收端天線陣列采用均勻環形陣列。如圖2所示為一個MIMO通信系統接收端，具有四天線單元的均勻環形天線陣列，四個天線單元分別位于圓周的四個頂點，環形陣列的半徑為R，天線所在位置與橫軸夾角為ψi。

圖2 MIMO系統四單元均勻環形接收天線陣列

首先，假設角分布為在空間信道模型中常用的均勻角能量分布[9]。入射角概率密度函數如下表示：

其中，2Δ是中心到達角φ的角度范圍。均勻圓形陣列的響應矢量V()θ[10]：

其中，R為環形天線陣列的半徑，ζ為仰角，λ表示波長，此處，只考慮ζ=90?的情況。mψ表示第m天線單元的方位角。

第m和n天線單元之間的相關性可以定義為[11]：

其中，p()θ表示隨機信號的概率密度函數。

將式(11)和式(12)代入式(13)得：

將整理后的方程進行積分，得到均勻角能量分布下rm,n的實部與虛部分別為[12]：

當Δ較小時，sin(Δz)≈Δz，cos(z)≈1。從而得到均勻角能量分布rm,n的近似方程：

3 環形陣列MIMO系統容量

在此模型中，R的元素ri,j表示為均勻角分布下接收天線單元間的相關性rm,n，并取值為式(13)的模：

將式(14)代入式(6)，經過一系列行列式變換，可以得到：

式中的r表示相鄰接收天線單元間的相關性。由式(15)，當具有高信噪比(ρ/ N ? 1)，且1?β?1時，可以得到一個簡單的閉型遞歸公式,在這種情況下，ΔN值的大小主要取決于主對角線上的元素，因此可得：。

從而可以得到：

對于 N? 1,r＜1，可以得出：

如果N→∞，由式(17)得出：

當r=0時，式(17)和式(18)可以簡寫為：

比較式(17)、式(18)和式(19)，可以看出相關性對系統容量的影響就等同于系統信噪比的減小。

4 仿真結果與分析

利用一個四單元均勻環形接收天線陣列來進行數學分析，由于環形陣列的對稱性，可以得出 r1,2=r1,4，以此類推。因此，只需要計算r1,2，r1,3。

圖 3中，利用式(13)取φ=0?以及分別取 Δ=2?,Δ=3?,Δ=10?,Δ=15?，畫出了環形天線陣列天線單元間在基于均勻角能量分布下的相關性隨R/λ變化而變化的曲線圖。從圖中可以看出，在相同的條件下，隨著R和角度擴展Δ值的增大，天線單元間的相關性相應減小。

圖3 均勻分布下環形天線陣列的相關性

圖4和圖5中，利用近似公式(13)和式(16)，取φ=0?以及 Δ=2?，Δ=10?，Δ=30?，分別取ρ=30 d B,ρ=40 d B，畫出了MIMO系統容量C隨R/λ變化而變化的曲線圖。從圖中可以看出，隨著R/λ的增加，系統容量也相應增加，但當R/λ值達到某一值時，上升程度越來越不明顯，并趨向于一個定值。在相同條件下，Δ值越大，系統容量就越大，但隨著R/λ達到某一值時，Δ值的增加并不能直接提升信道容量的大小。

圖4 MIMO系統信道容量，ρ=30dB

圖5 MIMO系統信道容量，ρ=40dB

比較圖4和圖5，可以發現，在相同的條件下，信噪比越高，MIMO系統容量就越高。容量大小跟接收端圓形天線陣列半徑呈線性關系，半徑越大，容量越大，反之亦然。

圖6和圖7中，利用近似公式(13)和式(16)，取φ=0?，以及 R/λ=1，R/λ=2，R/λ=5，分別取ρ=30dB,ρ=40 d B，畫出了MIMO系統容量C隨Δ變化而變化的曲線圖。從圖中可以看出，隨著角度擴展Δ值的增加，系統容量也隨著上升，但隨著Δ值達到某一值時，上升趨勢趨于平緩，并趨向于一個定值，此時增加Δ值，對于系統容量的提升作用已不再明顯。在相同條件下，R/λ值越大，系統信道容量就越大，但當Δ值達到一值時，增加R/λ值并不能直接提升信道容量的大小。

比較圖6和圖7，可以發現，在相同條件下，信噪比越高，MIMO系統容量越高。系統容量大小與角度擴展Δ的大小呈線性關系，Δ值越大，容量越大，反之亦然。

圖6 MIMO系統信道容量，ρ=30dB

圖7 MIMO系統信道容量，ρ=40dB

5 結語

MIMO系統信道容量主要取決于矩陣信道各子信道間的相關性，當相關性為零時，系統容量達到最大值。這里利用均勻角能量分布以及相關矩陣，研究了相關信道下的 MIMO系統容量，推導了系統容量公式。分析結果證明，信道相關性的增加意味著系統信噪比的減小，接收天線環形陣列半徑和角度擴展是決定MIMO系統信道容量的主要因素。

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