一類靜態輸出非脆弱控制器的設計

陳文清，沈文杰，宋書中

(1.洛陽理工學院電氣工程與自動化系，河南洛陽471003;2.河南科技大學電子信息工程學院，河南洛陽471003)

0 前言

眾所周知，基于T-S模型的模糊控制是研究非線性系統比較成功的方法之一，已有很多成果面世［1－3］。對于一些非線性系統當用T-S線性模型不能近似描述時，可以用T-S模糊雙線性模型來近似描述［4］。

非脆弱性是控制器設計中的一個重要的因素。非脆弱性表示控制器發生參數攝動時，仍能維持閉環系統穩定的能力。近年來對非脆弱控制器的研究已成為人們感興趣的課題［5］，上述結果大多是關于狀態反饋或基于觀測器的狀態反饋，關于靜態輸出反饋控制的結果則很少［6］。輸出反饋控制直接利用系統的輸出量來設計控制器，且靜態輸出反饋控制器結構簡單，具有良好的應用價值。

本文針對一類模糊雙線性系統，在控制器存在加性攝動的情況下，研究了非脆弱靜態輸出反饋控制問題。根據Lyapunov穩定性理論及線性矩陣不等式(LMI)方法，得到了非脆弱保性能模糊控制器存在的充分條件，并給出了求解控制器的方法。

1 系統的模型描述

考慮一類模糊雙線性系統(FBS)，第i條模糊規則可描述如下［1］:

其中，Ri是第 i條模糊規則;s是模糊規則數目;Mji，j=1，2，…，v是模糊集合;ξ(t)=［ξ1(t)，ξ2(t)，...，ξv(t)］T是前提變量;x(t)、u(t)和y(t)分別是狀態變量、控制輸入和測量輸出;Ai，Bi，Ni，Ci是已知的系統矩陣。采用靜態輸出反饋控制，這里假設ν=q及ξ1(t)=y1(t)，...，ξv(t)=yq(t)。

通過單點模糊化，乘積推理和中心平均反模糊化方法，模糊控制系統的總體模型為:

第i個子系統的輸出反饋控制律為:

其中，ρ＞0是待定的標量;Ki∈R1×q是待定的控制器增益;△Fi表示控制器增益的加性攝動，具有結構形式△Fi=HiFi(t)Efi，Hi，Efi是反映不確定性結構的常數矩陣，Fi(t)是一個未知時變矩陣，其元素Lebesgue可測且對任意的t滿足:F(t)Fi(t)≤I。

則整個系統的狀態反饋控制律可表示為:

在控制律(4)的作用下，整個閉環系統的方程可表示為:

2 主要結論

引理1［7］設M，N是適合維數的實矩陣，則對于標量ε＞0，有MTN+NTM≤εMTM+ε1NTN成立。

引理2［8］給定適當維數的矩陣G，E和對稱矩陣S，不等式S+GFE+ETFTGT＜0對所有滿足FT(t)F(t)≤I的矩陣F(t)成立，當且僅當存在一個常數ε＞0，使得S+εGGT+ε1ETE＜0。

定理1 對于給定的常數ρ＞0和ε1＞0，如果存在著矩陣Z＞0和矩陣Ki，i=1，2，…，s滿足不等式(6)，則閉環系統(5)是漸近穩定的，控制律(4)是一個非脆弱控制律。

證明 選取如下Lyapunov函數:

其中，P=Z－1是待求的正定對稱矩陣。

沿著系統(5)的軌線，對V(t)求導，可得到:

由引理1可知:

對定理1中的式(6)同時左右乘diag{P，I，I}，并由Schur補定理可得到:V(t)＜0。由此可知閉環系統(5)是漸近穩定的，且控制律(4)是一個非脆弱控制律。

定理2 對于常數ρ＞0和ε1＞0，ε2＞0，0＜a＜ε1，如果存在著矩陣Z＞0和矩陣Ki，i=1，2，…，s滿足LMI(10)，則系統(5)是穩定，控制律(4)是一個輸出非脆弱保性能控制律。

證明 由Schur補定理，式(10)可等價于:

由引理2可知，式(11)可推導出:

由Schur補定理可知，式(12)可等價于:

從而可知定理1中式(6)成立，那么可知閉環系統是漸近穩定的。

3 算例分析

考慮一個模糊雙線性系統:

系統方程為:

考慮控制器的加性攝動△F(t)為:H1=H2=0.1，Ef1=0.01，Ef2=0.01，F(t)=sin t。選取隸屬度函數為μM1(y1)=，μM2(y1)=1μM1(y1)。選取ρ=0.87，ε1=10，ε2=0.11，a= 0.01，根據定理2，通過Matlab求解相應的LMI，可以得到:K1=［0.101 4］，K2=［0.344 2］。

選取初始值為［－2.8 1.6］T，MATLAB仿真可得到系統的狀態響應曲線和控制響應曲線(見圖1和圖2)。從圖1和圖2中可以看出:非脆弱控制器在受到干擾時可以保證閉環系統的漸近穩定。

4 結論

本文研究了一類模糊雙線性系統的靜態輸出反饋非脆弱控制問題。當狀態變量不可觀測時，采用靜態輸出反饋進行控制。利用并行分布補償算法，結合線性矩陣不等式技術，得出了控制器增益具有加性攝動時的模糊反饋控制器的設計方法，而且控制器增益可由LMI求出。由實例仿真驗證了本文所提方法的有效性。

［1］ Qiu Jianbin，Feng Gang，Yang Jie.A New Design of Delay-Dependent Robust H∞Filtering for Discrete-Time T-S Fuzzy Systems With Time-Varying Delay［J］.IEEE Trans Fuzzy Syst，2009，17(5):1044－1058.

［2］ 尹云飛.數據挖掘與人工智能技術［J］.河南科技大學學報:自然科學版，2004，25(3):44－47.

［3］ 徐巍，張業鵬.基于遺傳算法的模糊神經網絡控制器在虛擬儀器中的實現［J］.河南科技大學學報:自然科學版，2005，26(3):40－43.

［4］ Li T H S，Tsai SH.T-S Fuzzy Bilinear Model and Fuzzy Controller Design for a Class of Nonlinear Systems［J］.IEEE Trans Fuzzy Syst，2007，15(3):494－505.

［5］ Zhang B Y，Zhou S S，Li T.A New Approach to Robust and Non-fragile H∞Control for Uncertain Fuzzy Systems［J］.Information Sciences 2007，177:5118－5133.

［6］ Kau SW，Lee H J，Yang CM，etal.Robust H∞Fuzzy Static Output Feedback Control of T-SFuzzy Systemswith Parametric Uncertainties［J］.Fuzzy Sets and Syst，2007，158:135－146.

［7］ Wang R J，Lin WW，WangW J.Stabilizability of Linear Quadratic State Feedback for Uncertain Fuzzy Time-delay Systems［J］.IEEE Trans SystMan Cybe，2004，34(2):1288－1292.

［8］ Ho W C，Niu Y.Robust Fuzzy Design for Nonlinear Uncertain Stochastic Systems via Sliding-Mode Control［J］.IEEE Trans Fuzzy Syst，2007，15(3):350－358.