用G'/G-展開法求解(2+1)維Ablow itz-Ladik方程

李四偉，張金良

(河南科技大學數學與統計學院，河南洛陽471003)

0 前言

由于非線性微分－差分方程(組)在非線性光學、原子物理、凝聚態物理、生物物理等領域有著廣泛的應用，如脈沖在光纖中的傳播、等離子體物理中Langmuir波的自聚焦和爆破等，因此，非線性微分－差分方程(組)已引起眾多學者廣泛的興趣。對于非線性微分－差分方程(組)，已有很多研究方法如雙線性方法［1］、達布變換法［2］、Backlund變換法［3］、廣義的微分變換法［4］、離散的Sine－Gordon方程展開法［5］、指數函數展開法［6］、Jacobi橢圓函數展開法［7］、擴展的雙曲正切函數展開法［8］、G'/G－展開法［9－11］等。到目前為止，沒有一種統一的方法能求解出非線性微分－差分方程(組)的所有精確解。

文獻［12］研究了(2+1)維Ablowitz－Ladik(AL－NLS)方程

文獻［13］證明了方程(1)是不完全可積的，并對其孤波性質進行了系統分析，得到對于任意小的格子空間△x，此方程均有穩定的孤子解;求解出了方程(1)的精確線孤子解(不穩定):

由于方程(1)的精確解具有很重要的理論意義和實用價值，因此，本文利用G'/G－展開法求解方程(1)的精確解，并成功得到它的三種類型的精確行波解。

1 (2+1)維Ablow itz-Ladik方程的精確解

由于un，m(t)為復函數，設

把式(2)代入方程(1)，令實部和虛部等于零，得

依據齊次平衡原則，令

其中，a0、a1為待定常數;G (ξn，m)滿足

λ、μ為任意常數。

其中，△1=;ζ1、ζ2、d2和h2為任意常數;d1和h1為滿足cos(d1)cos(h1)＞0的任意常數;耦合強度ε=1/△x2。

利用方程(7)的解，可導出方程(1)的精確解:

情形2 當λ2－4μ＜0時，類似于情形1，可得出方程(1)的精確解:

情形3 當λ2－4μ=0時，類似于情形1，可得方程(1)的解為:

2 結論

本文將G'/G－展開法應用于(2+1)維Ablowitz－Ladik(AL－NLS)方程的求解中，當耦合強度ε= 1/△x2，σ=1(散焦)時，得到了該方程的雙曲函數形式的精確解、三角函數形式的周期波解和有理函數形式的行波解，這些精確解含有較多的任意參數。利用Mathematica軟件，驗證了所得精確解的正確性?？梢?，在求解非線性微分－差分方程(組)精確解方面，G'/G－展開法是一個非常有效、直接、簡便的方法。

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