有效追問 活力課堂——《異面直線》教學案例與點評

葛建華

（南通市如東高級中學，江蘇 南通 226400）

課堂教學的本質是“對話”與“合作”，課堂提問作為師生課堂對話的主要形式，不僅可以檢測學生的知識掌握情況，更重要的是能夠引發學生對問題的思考，從而達到促進學生問題意識的形成和實踐能力的發展，有利于后續教學活動的展開。有效追問，作為課堂提問的一種重要形式，能激活學生思維，引發學生深度思考，推動學生思維創新，有效追問就像一條不斷延伸的紐帶，使教學活動串成一個和諧整體，將課堂變成一個富有活力的對話陣地，能有效地吸引學生，引起學生的求知欲，激發學生去積極思維，主動探求知識。那么，在課堂教學中，如何實現有效追問呢？下面筆者擬結合蘇教版數學必修二p25《異面直線》的公開課教學經歷，談談自己的做法與體會，和同行共同探討。

一、知識回顧后追問，引入教學話題

上課伊始，給出問題：前面我們學習了空間兩直線的位置關系，請大家回顧一下，空間兩直線有怎樣的位置關系？

生：平行、相交、異面。

師：其中，異面直線是如何定義的？

生：我們把不同在任何一個平面內的兩直線叫異面直線。

師：很好?。ㄗ穯枺┊惷嬷本€對我們來說，是個“新生事物”。對這個“新生事物”，你有怎樣的想法？或者說，你準備如何對它開展研究？

生：我想從如何判斷兩直線是否為異面直線開始研究。

[特級教師點評]通過追問引出課題，不僅僅是要讓學生學習知識，更重要的是教給學生學習和研究問題的意識和方法。

二、通過追問，引導學生實現數學方法建構

問題情境：如何判定（證明）空間兩直線是否為異面直線？

追問：通過前面的學習，你有哪些方法？

引導學生發現依據：①空間直線的位置關系分類：不平行、不相交（排除法）。②異面直線的定義。結合具體的例子讓學生思考如何操作：

問題：在長方體中ABCD-A1B1C1D1，哪些棱所在直線與直線A1C是異面直線？

生：顯然所有的棱都與直線A1C不平行，因此只需剔除與直線A1C相交的棱，即剔除過點A1和C的6條，剩下的都是。

師（追問）：以棱為例，我們已經得到直線與異面，如何證明？

學生發現可以用排除法，即排除平行和相交的情形。此時，進一步追問：還有沒有其他方法？

學生發現還可以用異面直線定義來證明。

此時追問：異面直線的定義是“不同在任何一個平面內的兩直線”，如何證明直線AB與A1C不同在任何一個平面內？

引導學生提煉出反證法的基本步驟：反設→歸謬→得出正確結論，并利用反證法證明該問題。

得出異面直線判定定理之后，再請學生依據判定定理在圖1中尋找與BD1異面的直線。

學生得出答案后，再次追問：解題的關鍵是什么？學生發現尋找合適的基礎平面α是關鍵。

[特級教師點評]通過追問，引導學生發現并提煉解決問題的方法，能洞察問題的本質，讓學生的思維活動有深度、有廣度，有效活化學生思維，課堂因此變得更具活力。

三、通過追問，讓學生體驗數學知識的形成過程

師：給出兩直線是異面直線，對它們之間的關系能否進一步刻畫？

要求學生用兩只筆擺成異面直線形狀，并通過位置變化（仍保持為異面直線）探求其內部關系。

通過模型顯示，學生發現兩條異面直線也可形成大小不同的“角”，兩條異面直線也可以形成不同的“距離”，此時追問：如何尋找一個合適的幾何量來刻劃兩條異面直線之間的傾斜程度和遠近程度呢?讓我們先考慮異面直線的“角”。

學生意識到轉化為平面角（降維方法，化歸思想），從而生成異面直線所成角的定義：如圖3，為異面直線，經過空間任一點，作a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成角（銳角或直角）叫做異面直線a，b所成角。

追問：異面直線所成角定義中點O是任意選取的，能保證角的大小唯一嗎？

學生發現利用等角定理即可說明。

二次追問：根據定義，異面直線所成角應在怎樣的范圍內？[0°，90°]。

再次追問：一般地，如何求兩異面直線所成角？平移直線。

拓展追問：在平面幾何中，我們是如何定義兩直線垂直的？作為異面直線，你認為它們有可能垂直嗎？如果可以，怎樣定義合理？

[特級教師點評]“學成于思，思源于疑”。通過追問，引發學生的認知沖突，讓學生始終處于憤悱狀態，讓學生在解決問題的過程中體驗知識的形成過程，在潛移默化中掌握數學思想方法。

知能訓練，給出問題：已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體（圖4）。

①正方體內哪些棱所在直線與直線BC1是異面直線？

②求異面直線AA1與BC1所成角。

③求異面直線BC1與AC所成角。

學生練習，巡視指導。在學生給出答案后，再追問：你能給出異面直線所成角的求角步驟嗎？學生發現需經歷作→證→算→結論的過程。其中，異面直線所成角的平面角是如何作出的？引導學生發現點的選擇是關鍵，通常在其中一直線上或利用中點（中位線）來作。

最后，通過設問讓學生進行課堂小結：通過本節課的學習，你掌握了哪些知識和數學思想方法？

知識：①異面直線判定（證明）方法；②異面直線所成角；③思想方法：化歸思想、排除法、反證法。

拓展延伸（追問）通過本節課的學習，大家對異面直線的判定和異面直線所成角有了清晰的認識。在學習中，我們發現異面直線間的位置刻畫除了“角”，還有“距離”，那么，異面直線間的距離又該如何刻畫呢？這個問題留給大家作為研究性學習課題。

[特級教師點評]盧梭曾經說過：“問題不在于告訴他一個真理，而在于教他怎樣去發現真理?！庇行У臄祵W教學應當是教師啟發（追問）與學生探究相統一的過程。追問的時機是學生處于“憤與悱”的心理狀態，追問的目標是“舉一反三”，追問的原則是“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”，從而使學生處于主動地位（學生主動思考到“憤”與“悱”的狀態），而不是被動地位（學生被教師的一系列問題所牽制）。教師追問的問題應當體現數學知識的本質特征，要“淡化形式，注重實質”，揭示探索的思考過程，將數學的學術形態轉變為教育形態。通觀本堂課，教者以思維訓練為主線，以知識延展為手段，滲透數學思想方法，通過追問的形式，有效激發學生活力，有效地提升學生的數學學科素養。

[1]何明.心智 在一題多解中激活[J].中學數學教學參考，2007（11）.

[2]王曉東.有效提問：本真數學課堂教學的深層追問[J].教學月刊中學版，2009（6）.

[3]繆林.淺析數學課堂中的一題多變[J].中學數學月刊，2008（7）.

[4]陳唐明.和諧互動 教學相長[J].數學通報，2009（10）.