基于均勻圓陣的近場源三維參數估計

胡增輝 朱炬波 何 峰 梁甸農

（1.國防科學技術大學電子科學與工程學院，湖南 長沙 410073；2.國防科學技術大學理學院，湖南 長沙 410073；3.酒泉衛星發射中心，甘肅 酒泉 732750）

1.引 言

與均勻線陣（ULA）相比，均勻圓陣（UCA）具有許多優異的特性，如能同時估計信號的方位角和俯仰角、測向精度隨方位角變化不明顯等?；诰鶆驁A陣的波達參數估計一直是陣列信號處理領域的研究熱點。

目前，基于均勻圓陣的波達參數估計算法［1－4］的研究主要集中在二維波達角估計上，即方位角和俯仰角的估計。然而，當源信號位于圓陣的Fresnel區域［5］內時，遠場條件下的平面波前假設不再成立。在此情形下，除方位角和俯仰角外，源信號到圓陣的距離也需要估計。然而，到目前為止，基于均勻圓陣的近場參數估計算法非常少。LEE［6］等人利用路徑跟蹤技術，提出了一種近場源三維參數估計算法。該算法首先利用二維多重信號分類（MUSIC）算法，得到方位角和俯仰角的初始估計，然后利用路徑跟蹤技術，多次搜索得到距離、方位角和俯仰角的聯合估計。然而，二維MUSIC算法需要進行二維頻域搜索，計算量非常大，且其估計精度受搜索步長的影響。

高階累積量［7－8］在空間譜估計中有著廣泛的應用，它能夠抑制高斯噪聲。在文獻［6］算法結論的基礎上，提出一種基于高階累積量矩陣聯合對角化［9－10］的均勻圓陣近場源三維參數估計算法，該算法無需進行二維頻域搜索。

2.理論分析

首先介紹相關信號模型及假設條件，然后構造一組高階累積量矩陣，通過累積量矩陣聯合近似對角化得到陣列流形矩陣的估計。利用陣列流形矩陣的估計及文獻［6］的結論，首先得到方位角的精確估計和距離、俯仰角的粗略估計。為提高估計精度，利用最小二乘方法來獲得更高精度的估計。

2.1 信號模型

考慮由N個各向同性陣元組成的均勻圓陣（如圖1所示），以均勻圓陣所在的平面為x－y平面，圓陣圓心為坐標原點，圓陣半徑為R.M個具有相同中心頻率fc的獨立近場窄帶信號入射陣列，入射參數為（rk，θk，φk），k＝1，…，M.為避免模糊，通常假設θk∈［0，π／2），φk∈［0，2π）.

圖1 均勻圓陣結構示意圖

以坐標原點處的虛擬陣元為相位參考點，t時刻第i個陣元的輸出為

式中：sk（t）為第k個源信號；ni（t）表示第i個陣元上的加性高斯白噪聲；ai（rk，θk，φk）為第k個源信號對應的導向矢量a（rk，θk，φk）的第i個元素：

式中：ω＝2π／λ，λ為信號的載波波長，上標T表示向量和矩陣的轉置，Rl（rk，θk，φk）為第k個源信號到第l個陣元的距離，且有

其中ρl（θk，φk）＝sinθkcos（φk－（l－1）θ0），l＝1，…，N，θ0＝2π／N.

對于近場源，利用 Fresnel近似，Rl（rk，θk，φk）可以近似為

式（1）用矩陣形式表示為

式中：x（t）＝ ［x1（t），…，xN（t）］T為接收信號矢量；A＝ ［a（r1，θ1，φ1），…，a（rM，θM，φM）］為陣列流形矩陣；s（t）＝ ［s1（t），…，sM（t）］T和n（t）＝ ［n1（t），…，nN（t）］T分別為源信號矢量和噪聲矢量。

對信號模型作如下假設：

1）源信號是相互統計獨立的窄帶平穩隨機過程，它們的四階累積量均不為零。

2）陣元上的加性噪聲是零均值白高斯過程，噪聲與信號之間是相互統計獨立的。

3）N≥M，陣列流形矩陣A是列滿秩的。

4）相鄰陣元間距d和載波波長λ之間滿足如下關系：d≤λ／2.

假設2）～4）為近場源參數估計問題的一般性假設，而假設1）則是基于高階累積量的算法所通常需要的假設條件。另外，源信號數目M的確定屬于信號檢測問題，已有許多文獻研究該問題，因此，假設M是已知的。

2.2 陣列流形矩陣A的估計

定義陣元接收數據的四階累積量［9］

式中：表示標量xi的共軛；xH表示矢量x的轉置共軛；E｛x｝表示隨機變量x的期望。

由式（5）及假設H1和H2，Ci具有如下形式

式中：Γi＝diag｛cs1｜A（i，1）｜2，…，csM｜A（i，M）｜2｝，diag｛z1，z2｝表示以z1和z2為對角線元素的對角矩陣，csi＝cum｛，si｝為源信號si（t）的四階累積量；A（i，k）表示A的第i行第k列元素。

由于A是滿秩的，對任意的1≤i≠k≤M，至少存在m∈ ｛1，...，N｝，使得Γm的第i個和第k個對角線元素不相同。因此，可以應用矩陣聯合對角化技術到來得到A的估計。

矩陣聯合對角化是指，尋找滿足一定約束條件（如范數為某個常數）的非零矩陣V，使得式（8）定義的代價函數值最小。

式中off｛B｝表示矩陣B非對角線元素絕對值平方和。

文中利用文獻［11］中的非正交聯合對角化算法得到A的估計。

理想情況（無噪聲，源信號之間嚴格統計獨立）下，A的估計與A之間滿足

式中：Λ為一對角線元素非零的對角矩陣，代表估計的尺度不確定性；P為一置換矩陣，代表順序不確定性。

置換矩陣P對于結果的影響可以忽略。因為A每列可由一組不完全相同的（r，θ，φ）表示。得到后，由~A的每列可得到一組（r，θ，φ）的估計。因此，后文不考慮P的影響，即假設

2.3 方位角估計

文獻［6］指出，無論距離和俯仰角取值如何，近場方位角等于距離無窮遠時的方位角。因此，利用該結論及已有的遠場均勻圓陣二維波達角估計算法，結合式（10）的~A，可以首先得到較為精確的方位角估計。

令Λ＝diag｛λ1，...，λM｝，記的第k列為則

定義 （N－1）×1維矢量bk（l）＝（l＋1）／（l），將式（11）及式（2）代入bk的定義式中可得

由文獻［6］的結論，令rk→∞，由于ω｜（Rl＋1（rk，θk，φk）－Rl（rk，θk，φk）｜≤2πd／λ≤π，因此，由式（12）可以得到

式中arg｛·｝表示相位算子，其取值范圍為［－π，π］.將式（13）用矩陣表示為

式中η＝ ［sinθksinφk，sinθkcosφk］T

利用線性最小二乘，由式（14）可得η的估計，記為＝（UHU）－1UHρ。由可得到方位角φk的估計為

2.4 距離和俯仰角估計

由2.3節的討論知，利用的每列可以得到一個方位角的估計。本節，利用以及方位角的估計，對距離和俯仰角進行估計。

對的第k列，由式（12）和（13）有

將式（4）代入式（17）可得

式中：pl＋1＝pl＋1（θk，φk）；pl＝pl（θk，φk）.

令αk（l）＝cos（φk－（l－1）θ0）－cos（φk－lθ0），γk＝arg｛bk（l）｝／（ωR），yk＝sinθk，zk＝R／rk，βk（l）＝cos（φk－（l－1）θ0）＋cos（φk－lθ0），式（18）可以簡化為

式（19）用矩陣表示為

式中：

由式（20）和0≤θk＜π／2，以及源信號位于圓陣的Fresnel區域內的約束條件，利用線性最小二乘方法可以求得（rk，θk）的估計值，記為）。估計過程中，將由式（16）得到的代替φk.

綜上所述，由的每一列，可得到某個源對應的波達參數（rk，θk，φk）的估計（）.

由式（11）～（22）可得到波達參數的粗略估計。然而，通常情況下，距離和俯仰角的估計精度可能不是很高，原因可能是多方面的

1）Fresnel近似誤差可能非常小，但傳播到每個參數上的誤差可能非常大；

2）矩陣A的估計存在一定的誤差；

3）即使方位角φ的估計精度很高，由式（20）估計（r，θ）時，φ的微小誤差也可能被放大。

對A的估計的第l列，利用（rl，θl，φl）的初始估計（），（rl，θl，φl）可由如下的約束最小值問題重新估計，即

式中f（rl，θl，φl）稱為殘差函數，其定義為

其中bl定義見式（12），d定義為

式（23）為典型的約束非線性最小二乘問題，可應 用 經 典 的 Gauss－Newton 或 Levenberg－Marquardt等算法［12］進行求解，由式（11）～（22）估計得到的（）作為迭代初值。由于迭代初值與真值誤差（尤其是方位角）不是非常大，通常迭代幾步即可得到收斂值。

3.實驗結果分析

本節通過仿真實驗驗證所提算法的有效性，并將文中算法與文獻［6］中算法進行比較，文獻［6］中算法簡記為MUSIC－PF.

實驗結果為500次Monte－Carlo實驗的平均數據，分別采用均方根誤差（RMSE）和歸一化均方根誤差（NRMSE）作為角度（方位角和俯仰角）和距離的估計精度衡量指標。

仿真1 研究信噪比（SNR）對波達參數估計精度的影響。源信號選為si（t）＝exp（j（0.2πt＋φi）），其中φi為［0，2π］內的均勻分布，φi間相互獨立。均勻圓陣由13個陣元組成，圓陣半徑R＝λ，相鄰陣元間距約為0.48λ.兩個源信號的波達參數分別為（2.5R，30°，45°）和 （3R，50°，70°），采樣數為 1024。SNR從5dB變化到25dB時，角度估計RMSE和距離估計NRMSE隨SNR的變化曲線如圖2所示。MUSIC－PF算法中，二維MUSIC算法搜索步長為0.05°.

由圖2可以看到，無論是角度估計還是距離估計，本文算法性能都要優于MUSIC－PF算法。原因主要有兩個：一是MUSIC－PF算法方位角估計誤差相對較大，進而影響距離和俯仰角估計精度；二是本文算法為高階累積量算法，它能抑制高斯白噪聲。

仿真2 考慮采樣數對參數估計精度的影響。仿真條件同仿真1，SNR＝15dB，采樣數從128變化到1024。圖3為本文算法和MUSIC－PF算法參數估計性能隨采樣數的變化曲線。由圖3可以看到，MUSIC－PF算法對采樣數不是很敏感。當采樣數較少時，本文算法性能比 MUSIC－PF算法差，而當采樣數較多時，情況則正好相反。主要原因在于MUSIC－PF算法利用的是二階統計量，它對采樣數不是非常敏感。而本文采用的四階累積量雖然能抑制高斯白噪聲，但是它對采樣數比較敏感。

4.結 論

基于均勻圓陣，提出了一種基于高階累積量的近場源距離－方位角－俯仰角估計算法。首先利用陣元接收數據構造一組高階累積量矩陣，通過矩陣聯合對角化技術得到陣列流形矩陣的估計。再利用近場和遠場情形方位角相同的結論，得到方位角的估計。最后利用估計得到的陣列流形矩陣及方位角，得到距離和俯仰角的估計。為提高估計精度，利用非線性最小二乘重新估計波達參數。與文獻［6］中算法相比，本文算法無需進行二維頻域搜索，且在采樣數比較多時參數估計精度更高。本文算法的高估計性能代價是計算量比較大，主要是由于高階累積量計算及矩陣聯合對角化。

圖3 角度估計RMSE和距離估計NRMSE隨采樣數變化曲線

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