高頻雷達海雜波的多重分形建模方法研究

盛 文 任 吉

（空軍雷達學院，湖北 武漢 430019）

1.引 言

建立在高頻雷達海雜波特性分析基礎上的目標檢測問題，是目前國內外研究中有待突破的一個難點。目前，針對海雜波特性分析研究還主要集中在微波波段［1］，盡管高頻段海雜波特性與微波波段呈現出大體相似的特性，但是由于缺乏必要的實驗手段和具體數據，國內外針對高頻雷達海雜波特性分析的研究非常少。更重要的是，如果通過建立專門的試驗設備開展研究工作花費巨大，而且利用實裝獲得實測數據的途徑十分有限，因此，建立高頻雷達海雜波的模型就顯得尤為必要。傳統的雜波機理建模需要定量地描述散射單元的特征，這導致了雜波機理模型往往是極其復雜的且計算量巨大［2］。統計建模將雜波描述為無顯著特點的、普適的平穩隨機過程，而近年來的研究證明統計模型顯然忽視了某種非線性和非平穩的特征。由于人們缺乏對海雜波本質的足夠認識，至今都沒有任何數學或者物理的解釋來支持統計建模，同時也沒有看到海雜波其實只是“貌似”隨機的過程［3］。

隨著Benoit Mandelbrot提出分形理論，為研究海雜波特性提供了嶄新的思路和理論工具。近年來，研究海雜波領域的學者們也注意到，基于刻劃分形特性的不變量的目標檢測在海雜波研究中具有重要的意義，并取得了令人滿意的效果［4－9］。另一方面，基于分形理論對海面的描述［10］和對海雜波建模也受到了相當程度的重視。我國學者王紅光等［11］利用分型布朗運動（Fractional Brownian Motion，FBM）模型為海雜波建模，并基于分形模型對目標檢測進行了研究。隨著多重分形（Multifractal）理論被引入時間序列分析，許多學者發現海雜波數據往往并不能用簡單的分形模型來刻畫，而多重分形可能會取得更好的效果，并利用多重分形方法對海雜波特性進行了分析，得到較好的結果。本文重點討論多重分形在海雜波時域分形建模中的應用，利用高頻雷達海雜波具有的多重分形特性建立高頻雷達海雜波的時域分形模型，并通過與實測數據的多重分形性的對比和統計特性驗證分析，得出了仿真的高頻雷達海雜波具有先驗的統計特性的結論，同時也證明了海雜波時域多重分形模型的合理性和有效性。

2.分形理論與海雜波建模

2.1 分形理論

分形是非線性科學研究的主要對象之一，利用分形的方法人們就可以利用分形參數來刻畫自然界中的某些復雜現象。分維數是刻畫分形的一種重要參數，基本的理論介紹如下。

2.1.1 時間序列分維數的估計

分維數是最重要的分形參數之一，也是分形特性的度量。人們提出了許多分維的估計方法。本文采用相關分形維數來刻畫海雜波序列的分形特征。其估算方法可以歸納如下：首先對時間序列｛x1，x2，...，xN｝ 進行相空間重構，對于任意給 定的正數r＞0得到m維相空間 ｛Y1，Y2，..，Ym｝ ，計算所有的距離‖Yi－Yj‖∞＜r對應的點對在所有的點對中所占的比例Cn（r），即

式中：H（）·為Heaviside單位函數，即

則相關分形維數D可以表示為

長程相關Hurst指數與分維數的關系為

2.1.2 多重分形理論

多重分形分析的方法有很多，主要有q階矩結構分割函數法、消除趨勢波動分析法（MF－DFA）和基于標準配分函數（統計矩）法、計盒方法，采用q階矩結構分割函數法進行分析。對于給定的時間序列x（n），使用q階矩結構分割函數法進行多重分形分析的步驟如下：

1）構造歸一化序列｛xi｝，且有xk≥0，

2）將序列｛xi｝分為v個長度為s的子區間，這樣可以得到每個區間上的盒概率為

式中Ns＝［N／S］；

3）由此可以得到q階分割函數

對變量s，在數學意義上，如果某一序列為多重分形序列，那么就滿足冪律關系

式中：τ（q）為質量指數，與q呈非線性關系，且非線性程度為多重分形性的度量。奇異吸收子作為幾何學對象通常是多重分形的。從這個意義上講，一個完整的奇異吸收子可能是被分割成了許多或者可能是無限多子集，每一個子集有自己的分維數，并且在原始吸收子中它們的權重是適當地定義的［12］。

刻畫多重分形的另外一個重要指數是奇異指數α（q），也是質量指數τ（q）與q呈非線性程度的度量，即多重分形性強弱的度量。α（q）可以由質量指數τ（q）的微分得到，即

定義

為多重分形性程度，顯然Δα越大，質量指數τ（q）與q呈現非線性程度越明顯，多重分形就越強。

2.2 分形理論與海雜波建模

基于分形理論的海雜波建模主要分為基于分形海面的散射機理模型和簡單的時域模型。文獻［13］根據海面的分形特性將被保留在雷達回波中，給出了海雜波散射機理模型。但是，經過分析可以發現：該模型的計算相對復雜且計算量巨大。下面介紹另一種便于計算的方法——時間序列的分形模型。

直接對回波建立時域建模是分形理論在海雜波建模中的另一應用，其優點在于可以用一個簡單的迭代函數系統（IFS）和較少的參數產生復雜的信號。如果已經知道海雜波具有分形特性且已知海雜波的分形參數就可以反演出海雜波的時間序列，或者再加入目標信息即可得到一般目標的回波。最常見的由Weiestrass函數法、FBM增量法和小波三種方法產生。

以上三種FBM信號產生方法均滿足或近似滿足FBM的定義，產生的FBM信號也比較理想，但也存在一些問題。FBM增量法中，增量滿足相關性，但還存在一定的差距；小波方法則要求所選用的小波應具有高階原點矩為零的特點，而且階次愈高愈好；Weiestrass函數法產生的FBM信號的模型相對比較理想。

但是，文獻［14］研究表明高頻雷達海雜波可能為具有多個單一分形的組合并且海雜波具有多重分形特性。由此可見，假設海雜波是單分形的時間序列會得到錯誤的結論。所以，從概率的意義上講，作為一個“完整的”具有多重分形特性的奇異吸收子的海雜波來說，它的精確的分維數值是無法確定地得到，而可能出現的分維數值只是以一定的機率呈現出來，當測量的次數無限大的時候，就可以近似地得到其分維數的概率密度函數。

3.高頻雷達海雜波的時域分形模型及其仿真計算

3.1 高頻雷達海雜波的時域分形模型

基于以上分析，高頻雷達海雜波可以看作是大量單一分形在概率意義上的線性組合，不同分形具有特定的權系數，這些權系數可假定滿足如下條件

1）權系數之和為1，即

式中：n反映模型的復雜度，顯然其值越大仿真的模型越精確。由此，每個分量對應的權值可以看作某一隨機事件的概率，而所有的概率之和為1。顯然，就可以假設所求的權系數為某一隨機事件的概率分布，本文主要針對均勻分布、正態分布和χ2分布等幾種常見的分布形式進行分析。

2）每個單一分形序列的分維數Di為均勻分布，且已知模型整體上表現出來的分維數D0應位于所有可能的分維數Di的幾何中心，即

由此，如果權系數為一正態分布的概率密度函數的形式分布，就可以看作是中心分維數在構造的多重分形的時間序列中貢獻最大。

3）最優權遵循誤差最小原則，即

根據以上假設，得到的海雜波時域分形模型為

式中：wi為單一分形的權系數；fi為單一分形，對應的分維數為Di，即D｛fi｝＝Di，D｛·｝表示求分維數，單一分形fi為簡單的分數布朗運動。

本文采用的海雜波數據是在HF波段雷達上采集到的海面后向散射回波信號。根據2.1.1節估算相關分維數的方法，計算了本文所有256批實測的高頻海雜波周期積累信號的分維數，得到分維數的均值為1.732。這就是多重分形的分維數的幾何中心，即所有的實測數據整體上表現出來的分維數。

3.2 高頻雷達海雜波模型的仿真計算

在簡單地分析了均勻分布、正態分布和χ2分布等幾種常見的分布形式之后，可以發現，在滿足3個假設的情況下，正態分布形狀N（D0，σ2）的權值能較好地刻畫出多重分形的時間序列?；诖?，將在滿足3個假設的前提下，采用具有正態分布的概率密度函數形狀的權值對單一分形序列加權求和來描述多重分形序列，即雜波數據的時域多重分形建模。當復雜度系數n選定以后，分布的中心為實測的高頻海雜波分維數的均值1.732，此時只需要對分布的形狀——“胖瘦”進行一維搜索即可。具體仿真流程如圖1所示。

為了保證新建立的模型精度和仿真速度，選取復雜度系數n＝50進行仿真計算。權值的搜索過程為：將分布方差σ2＝［0，100］平均地分成10份，在每一份進行100次搜索（即最小的搜索步進為0.1），觀測每一次的分維數的誤差?？梢钥闯觯簩?0次搜索中每一次的最小值顯示在圖2中，由圖2（a）可以看出：當仿真多重分形權值分布的方差達到62.9時，模型就具有穩定收斂的誤差，此時得到的時域模型顯示在圖2（b）中。

4.高頻雷達海雜波模型的驗證分析

模型的驗證分析主要是考察時域多重分形模型、FBM模型和實測數據的多重分形性的相似性。利用質量指數函數和奇異指數來度量多重分形性的強弱，從而驗證多重分形模型比FBM模型更加能夠匹配實測數據的多重分形性。除此以外，為了更加嚴謹，驗證仿真雜波數據與高頻雷達海雜波的統計特性，將比較仿真數據與最可能模型幅度分布的概率密度函數（Probability Density Function，PDF）。為進一步考察兩個分布的擬合優度，對仿真數據的“拖尾”與由參數估計得到的理論分布模型做了修正的K－S檢驗。

4.1 分形模型的多重分形性驗證

首先對海雜波時域模型進行多重分形特性驗證。利用q階矩結構函數分割法［15］對海雜波時域模型做多重分形分析。圖3是q為－20～20，步長為4共11組值時的雙對數關系圖?？梢钥闯稣w上呈現了很好的線性關系，因此，滿足式（7）中的冪律關系，即說明在規定的尺度變化范圍內海雜波模型具有無標度性，也就是說海雜波模型具有分形的特性。

為了比較仿真模型與實測數據的多重分形性的相似性，同時為了說明仿真模型比文獻［11］的FBM模型具有更強的多重分形性。首先產生256批符合最優權值的多重分形模型，再利用文獻［11］中的FBM模型產生256批分形數據。然后分別計算實測數據、FBM模型和多重分形模型數據的質量指數函數τ（q）和奇異指數α（q）的誤差圖，分別顯示在圖4、圖5和圖6中。

圖3 配分函數lnZq（s）與對數尺度ln（s）的關系

圖6 多重分形模型的質量指數τ（q）～q和奇異指數α（q）～q的關系圖

從圖4～6可以看出，三種數據的質量指數函數τ（q）都是q的一個上凸的函數，即τ（q）與q之間都存在著較強的非線性關系，這表明了三種數據都具有一定的多重分形的特性。同時可以注意到，實測數據和多重分形模型比FBM模型具有更為明顯的彎曲，即實測數據和多重分形比FBM模型具有更強的多重分形性。同時多重分形模型和實測數據的Δα都比FBM模型的Δα要大，也能反映實測數據和多重分形比FBM模型具有更強的多重分形性。除此以外，可以很清楚地看出：多重分形模型比FBM模型更加能匹配實測海雜波數據的多重分形性。這就證明了多重分形模型的合理性。

4.2 多重分形模型數據與經驗統計估計模型的PDF比較分析

首先對仿真數據分別估計瑞利分布（Rayleigh）、韋布爾分布（Weibull）和對數正態分布（Log－Normal）模型的相關特征參數，由表1給出。然后與理論模型比較由仿真數據估計的經驗分布（柱狀圖），同時為了觀察我們感興趣的數值較小的尾部數據的特性，將結果在對數坐標下顯示出來，如圖7所示。同時將實測數據的估計經驗分布也附在圖7中，由仿真結果可以清楚地看出：多重分形模型不存在長的拖尾現象，數據幅度接近瑞利分布。這與文獻［16］認為低分辨率雷達海雜波的幅度統計特征接近瑞利分布的研究結論是一致的，而且分形模型的分布與實測數據的分布具有相似性，從而進一步說明了海雜波時域多重分形模型的合理性。

圖7 仿真數據與估計模型的概率密度函數比較分析

表1 仿真雜波數據的模型參數估計

4.3 多重分形模型數據的K－S統計檢驗

為了進一步檢驗擬合優度，我們使用一種修正的兩點K－S統計檢驗。標準的兩點檢驗驗證兩個隨機序列是否具有相同的分布。在標準的檢驗中使用了分布的整個定義范圍內的數據，而在修正版中，只用一部分數據［17］。因為拖尾的數據直接影響對目標的檢測，所以我們對拖尾的數據特別感興趣。固定不同的門限值并且只考慮比門限值更大的采樣值。對于不同的門限值，在原假設為真的前提下，將由參數估計得到的理論積累分布函數（Cumulative Distribution Function，CDF）與仿真數據構造的經驗CDF相比較，若它們的最大差別大于臨界值，則拒絕原假設，反之亦然。

利用K－S檢驗方法分別對兩個不同的門限值，即門限1和門限2，分別表示標準兩點檢驗和其幅度值大于0.667（它可以將拖尾數據隔離開來）的數據進行了檢驗，結果如表2所示。其中α表示顯著性水平，H的值為1就表示最大偏差量De大于臨界值Dcri，同時拒絕原假設，反之亦然?？梢郧宄乜闯?，對全部數據（門限1）的檢驗結果可以發現，這3種典型的分布都拒絕了原假設，即仿真數據不服從這3種假設分布中的任何一種。但是也可以看到，瑞利分布的最大偏差值最小，幾乎達到了臨界值，這也驗證了前面由仿真數據估計的PDF比較分析結果——仿真數據幅度近似服從瑞利分布，這與先驗的海雜波的統計特性是一致的。更進一步，對于我們感興趣的尾部數據（門限2）進行檢驗發現，當顯著水平為0.05和0.1的時候，對數正態分布和瑞利分布都可以接受原假設。但是，當進一步提高顯著性水平到0.2的時候，只有瑞利分布可以接受原假設，進一步地說明高頻雷達海雜波時域多重分形模型幅度具有瑞利分布的統計特征。

表2 柯爾莫哥洛夫－斯米爾洛夫檢驗

5.結 論

本文重點討論分形理論在海雜波建模，特別是在高頻雷達海雜波的時域分形建模中的應用。在高頻雷達海雜波多重分形特性的基礎上建立高頻雷達海雜波的時域分形模型，通過對韋布爾分布、對數正態分布和瑞利分布3種最常用的海雜波幅度的概率密度函數的比較分析并且利用修正的K－S統計檢驗，得出了高頻雷達海雜波的多重分形模型具有瑞利分布的統計特性的結論，證明了海雜波時域多重分形模型的合理性，這對于高頻雷達海雜波建模與仿真及其背景下目標檢測研究具有現實意義。

本文的一個最基本的限制就是：由于實測數據有限且對海雜波的入射角、極化方式、風速、風向以及海情等先驗信息缺乏，所以得到的數據模型可能只匹配與原始觀測數據相同或者相似的觀測環境的測量數據。在以后的研究中需要在大量實測數據的基礎上進行更加全面深入的研究。但是同時也注意到，本文的意義在于從一個新的視角來建立海雜波模型，并且基于非線性理論的高頻海雜波模型對于研究海雜波的特性以及目標檢測都有現實意義。

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