基于頻譜細化的窗譜擬合算法

頓叢叢，李躍華，王劍橋

（南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094）

0 引言

基于毫米波調頻雷達的探測技術結合了毫米波雷達和調頻雷達大時寬積、高分辨率、無距離盲區及結構簡單等優點已廣泛應用于多種武器系統中。毫米波調頻探測系統主要是通過對差頻信號的譜分析來確定目標距離［1］，但在其實際的調試與應用中發現其測距精度并不甚高。理論上調頻探測系統的分辨力受掃頻帶寬的影響，但增大調制頻偏會給系統的實現帶來困難，同時，工程中VCO的線性度也不能做到理想，也會影響距離分辨力。故在應用中考慮從測頻方法的角度來提高測距精度?，F有的提高調頻系統測距精度的方法（如文獻［2—3］提出的ZFFT和Chir p＿z算法）都是在傳統“差頻－FFT”測距結構基礎上對目標距離譜細化，其提高的分辨率取決于細化倍數的大小。實際中，采樣數據一定，細化倍數不能無限增大，細化后的頻譜依然為離散譜，頻譜估計依然存在著與細化倍數相關的估計誤差，提高的分辨率并不能達到理想。針對這些問題，本文提出了ZFFT窗譜擬合算法。

1 調頻系統的差頻處理方法

1．1 差頻－FFT處理

毫米波調頻探測系統的原理框圖如圖1所示。

圖1 毫米波調頻測距系統原理框圖Fig．1 Milli meter F M ranging system block

調制的毫米波發射信號與經目標延遲后的回波信號混頻后并濾波高頻成分得到差頻信號，其歸一化連續距離譜（只取其正頻部分）為式（1）：

其零點為R＝RIF＋mΔR（m為正整數），其中c／（4ΔFm）為距離分辨力，RIF為回波距離。

調頻系統實際的距離譜估計常采用“差頻－FFT”處理，時域為A／D以采樣率fs采樣得到的Ns點數字信號，頻域為經N點FFT運算得到的離散距離譜。其頻域采樣間隔為Δw＝2πfs／N，相應的 距 離 間 隔 為 ΔR ＝ （c／4ΔFm）（fsT／N） ＝（c／4ΔFm）（Ns／N）。

由式（1），當Ns＝N且R＝RIF＋mΔR時，距離譜上只有一根譜線，其對應值為目標真實距離，測距誤差為0；當R≠RIF＋mΔR，最大采樣點的值偏離距離譜的最大值點，最大誤差為c／（8ΔFm），測距精度與分辨力處于同一數量級，沒有體現調頻系統高精度測距的優勢。

從以上分析過程可以看出，造成調頻系統測距誤差的原因在于距離譜的間隔采樣，實質是FFT在單位圓上的N點采樣造成，增加FFT點數可減少誤差，但運算量大幅度的增加，影響了系統的實時性。

1．2 ZFFT頻譜細化處理

ZFFT主要是結合目標頻譜一般位于距離譜的局部區域的特性，通過對局部信號進行復調制移頻、濾波、降采樣后作點數較少的FFT實現對信號頻譜的局部細化從而提高分辨率。相對與同樣點數的FFT，ZFFT減少了運算量［4］，更適合實時性要求高的系統。

為說明ZFFT的作用，圖2給出了該調頻系統目標距離3．3 m（對應頻率0．456 MHz）時，差頻信號128點的FFT和細化8倍后的頻譜圖，采樣率fs＝10 MHz。

圖2 差頻信號細化前后頻譜Fig．2 The spectr u m bef ore and after refinement

圖2 （a）中差頻信號128點FFT的頻譜分辨率0．08 MHz，估計頻率為0．56 MHz；圖2（b）中經ZFFT細化8倍后，信號頻譜局部得到展寬和細化，分辨率提高為0．01 MHz，估計頻率為0．47 MHz。此過程中ZFFT的復乘次數為896，復加次數1 792。做128×8點的FFT可達到同樣的分辨率，但其復乘次數為5 120，復加次數為10 240。相對于FFT，ZFFT運算量減少了82%。

由上，ZFFT提高的分辨率是對同樣點數的FFT而言的，其細化的倍數與樣本點數相關，樣本點數有限，最大細化倍數一定。同時由圖2（b）可看出，細化后的頻譜依然為離散譜，其頻譜估計受柵欄效應的影響依然存在著誤差，細化倍數越大，誤差越少，但對于實際的調頻探測系統，采樣數據一定，細化倍數受限，提高的測距精度并不理想。

2 ZFFT窗譜擬合算法

ZFFT窗譜擬合的基本思想是在對信號加窗后將目標所在的局部頻譜局限在窗函數的主瓣內，并結合ZFFT算法局部頻譜細化的優點，將離散的窗譜數據擬合為局部連續的拋物線，在采樣數據有限，細化倍數一定的情況下，可克服離散譜的柵欄效應減少頻譜估計誤差，從而更好地找到目標對應的頻率，提高測距精度，其基本原理如圖3所示。

圖3 ZFFT窗譜擬合原理框圖Fig．3 ZFFT window spectrum fitting block

圖3 中，若目標為單一靜止目標，其理想差頻回波信號為中心頻率為f0的諧波信號，其傅里葉變換為式（2）：

加窗后的諧波信號為差頻信號與窗函數的乘積，頻譜為兩個信號頻譜的卷積，表示如下：

式（3）中，wT0（t）＝w（t－T0／2）為長度為T0的對稱窗譜函數。W（f）為頻率連續的特殊傅里葉變換［4］，表示為：

取式（3）的正頻率部分為信號的單邊連續窗譜，如式（5）所示：

經頻移和D倍抽取后的頻譜表示為：

fd為頻移頻率，一般選擇為信號的最大譜值和次大譜值對應頻率之差與抽取因子即細化倍數D的比值，也可選擇為細化頻譜范圍的1／2，頻移后頻譜移到了零頻附近。

在數字處理中，窗函數的單邊連續譜（式（5））為間隔采樣的離散窗譜，如圖4所示，其對應抽取D倍后的頻譜 （式（6））亦為間隔采樣的離散譜，如圖5所示。

圖4 信號連續窗譜的離散譜Fig．4 Discrete spectr u m of continuous window spectr u m

圖5 信號連續窗譜細化后的離散譜Fig．5 Discrete spectrum of continuous window spectr u m after refinement

由圖4、圖5可以看出，信號加窗ZFFT細化后，局部頻譜展寬，能更多地看到局部頻譜細節，可柵欄效應的存在使細化后的離散譜依然會出現沒有找到實際峰值的可能。注意到加窗細化后信號窗譜的主瓣變寬，使得信號的最大采樣點及其周圍的采樣點落于窗譜的近似拋物線上，從而可以利用一個二階多項式來擬合最大采樣點和它相鄰的采樣點的幅度，更準確地找出實際幅度的峰值位置。

由于實際中目標可能位于ZFFT細化后的兩個采樣位置之間的峰位置，為便于推導，假定ZFFT采樣Y［k］是頻率序號k的連續函數。在ZFFT峰位置k0附近，假設Y［k］具有下面的形式：

則峰值k0和其附近測量值的幅值Y［k0－1］，Y［k0＋1］，Y［k0］滿足方程組：

擬合多項式的系數可以通過矩陣方程式（8）得到，其系數矩陣滿足范德蒙矩陣結構，其行列式為：

行列式非零，方程組有唯一解，即窗譜的近似拋物線可唯一得到。

假設擬合后的峰值位置為k′＝k0＋Δk，結合式（7）和式（9），Y［k0＋Δk］可表示為：

對Δk求導并令其結果為0，可得Δk從而得出次擬合后的對于k0的相對位置，即：

擬合后的峰值譜線為k0＋Δk。從式（11）可以看出，如果Y［k0－1］和Y［k0＋1］相等，則Δk＝0，中間采樣為估計的值，如果Y［k0］與Y［k0＋1］相等，則Δk＝1／2，表示估計的峰值位于兩者中間，從直觀上看可以得到理想的結果，如圖6所示。

圖6 窗譜擬合結果Fig．6 Window spectr u m fitting

圖6 表明，經擬合后，原本離散的窗譜變為連續窗譜的近似拋物線，可根據式（11）Δk的表達式找到峰值的相對位置，找到擬合后的峰值譜線k0＋Δk，從而克服由于柵欄效應造成的估計誤差。

從實現的過程也可以看出，信號的加窗ZFFT細化，只需要少量的FFT計算和低通濾波，低通濾波可以采用比較成熟的FIR濾波器，而擬合的過程僅需要找到局部細化范圍的最大值及其周圍的幾根譜線，就可以方便地計算出擬合后的最大頻譜值對應的頻率的修正量，其計算量增加很少，符合系統的實時性要求。

3 計算與實驗分析

為驗證上述方法的有效性，以某項目中研制的毫米波調頻探測系統為例進行了實測數據驗證分析。該系統采用三角波調制，系統參數為：載頻f1＝52 GHz，頻偏ΔFm＝320 MHz，調制頻率fm＝30 k Hz，采樣率fs＝10 MHz。由于實際工程中VCO線性度做不到理想，故在多次測量中對目標距離和差頻頻率的理論關系作了修正，修正后的對應關系為：fi＝134．18 R＋13．4 k Hz。實測數據驗證分析中的理論值也采用此修正關系。

圖7給出了目標處于3．3 m時（理論差頻頻率為0．456 MHz）實測數據經ZFFT窗譜擬合后的結果。窗函數為漢明窗，抽取倍數為8，估計頻率為0．466 MHz。

對比圖2，可以很明顯地看出經ZFFT窗譜擬合后能更好地找到實際目標對應差頻信號頻譜的最大值，其估計頻率相比FFT和ZFFT更接近理論頻率，從而更好地估計目標距離。

表1給出了此算法應用于該系統中對單一靜止體目標在2～8 m距離內的實測數據與采用128點的FFT和抽取8倍后的ZFFT對比分析。在該應用中加窗類型為漢明窗，細化范圍為FFT獲得的距離譜的最大采樣點和次大采樣點之間，抽取倍數為8。該系統差頻信號的采樣樣本點數為1 030，抽取倍數最大為8倍。

表1表明，在相同距離下，ZFFT細化8倍后，相對單一FFT估計誤差明顯減少最大估計誤差由0．42 m減少到0．1 m，但是由于柵欄效應的存在，其找錯譜線的概率依然存在，但經ZFFT窗譜擬合后，把ZFFT細化后的局部離散譜擬合為理論中的連續窗譜，在一定程度上減弱了柵欄效應，可更好地找到頻譜最大值對應的頻率，測距誤差有了進一步的減少，普遍小于單一ZFFT的估計誤差，其最大誤差由ZFFT估計的0．1 m減少到0．05 m，測距精度提高了50%。

結合探測系統的實際應用，考慮目標運動帶來的多普勒頻移的影響，在其運動速度較低時，如多普勒頻移為20 k Hz時，由于其帶來的測距誤差在最大估計誤差范圍內，可不考慮其影響。在目標運動速度較高，多普勒頻移較大時，在系統參數的選擇上，可提高調制頻率的大小使其滿足fm＞fd，來減少多普勒的影響；同時，由于本系統采用三角波調制，根據調制前后半周正負斜率的特點，可采用相加對消的方法，來消除多普勒頻移的影響。

表1 實測數據FFT，ZFFT與ZFFT窗譜擬合估計結果Tab．1 Measured data FFT，ZFFTand ZFFT window Spectrum Fitting estimation

4 結論

對于毫米波調頻探測系統的測距精度問題，本文提出了ZFFT窗譜擬合算法。在工程中采樣數據一定，通過對差頻信號進行加窗細化，再進行連續譜擬合估計，減少了細化倍數有限對頻譜估計的影響，克服了柵欄效應，在計算量增加不多，滿足探測系統實時性的情況下能更好地提高測距精度。實測數據結果顯示了該算法比ZFFT能取得更好的效果。在實驗驗證中，由于系統采用對稱三角波調制，目標運動帶來的多普勒影響可通過正負對消的方法去除，從而轉化為靜止目標。對于其他調制系統，或對于多個復雜運動目標，需結合實際情況，做更進一步的研究。

［1］李興國，李躍華．毫米波近感技術基礎［M］．北京：北京理工大學出版社，2009．

［2］Kui Wang，Ran Tao，Tao Shan．Improved method of preweighed zoom FFT［C］／／9th international Conference on Signal Processing，2008．USA：Piscataway，NJ，IEEE：2008．

［3］丁康，潘成灝，李巍華．ZFFT與Chir p－Z變換細化選帶的頻譜分析對比［J］．振動工程，2001，14（1）：30－35．DING Kang，PAN Chenghao，LI Weihua．Spectr u m analysis comparison bet ween ZFFT and chir p－Z transfor m ［J］．Jour nal of Vibration and Shock，2001，14（1）：30－35．

［4］丁康，謝明，楊志堅．離散頻譜分析校正理論與技術［M］．北京：科學出版社，2008．