運用阿貝成像原理進行平面密鋪結構的頻譜分析

王漢琛,劉 璟,潘永華,周 進

(南京大學物理系,江蘇南京210046)

運用阿貝成像原理進行平面密鋪結構的頻譜分析

王漢琛,劉 璟,潘永華,周 進

(南京大學物理系,江蘇南京210046)

運用阿貝成像原理分析了平面密鋪結構的頻譜.使用AutoCAD繪制密鋪圖樣作為物,用透過液晶光閥的擴束激光作為物光,經F透鏡變換后形成頻譜和物像.當物面的精細度和其構成線段的分布規律發生改變時,頻譜面上相應的頻譜也發生變化.通過分析形成密鋪圖形的結構基元和密鋪圖形本身的傅里葉變換之間的關系,確定當密鋪圖形的結構基元尺度介于可見圖形和光柵網格之間時頻譜的結構特征及此特征的可能應用.

阿貝成像;傅里葉變換;密鋪;空間頻譜;光柵

1 引 言

阿貝成像原理將凸透鏡成像看成2個傅里葉變換過程.物面發出的平面波經過凸透鏡后,在凸透鏡的后焦面(下稱 F面)上將得到物光的完整傅里葉變換.該傅里葉變換將在像面上進行逆變換而得到還原的物像.由于 F面上得到的是物光的精確傅里葉變換,因此一個凸透鏡系統就是一個完整的傅里葉變換系統.由此,可以用凸透鏡光學系統研究物光的空間頻率分布性質[1].

平面密鋪結構是指應用一種或幾種基本單元,通過不斷地重復平移、旋轉、反演變換可以無縫隙、無重疊地得到整個平面的一種二維空間結構[2].這種結構是形成空間晶體結構的二維平面基礎,幾乎所有晶體的空間晶格都是由相當于二維平面密鋪結構的晶面組成,因此對平面密鋪結構的研究將對晶體結構研究有重要意義.

2 原理分析與理論推導

實驗設計的依據為阿貝成像原理.設在 x,y平面上有一光場的復分布(例如二維圖像),由于在阿貝成像系統中,整個透鏡成像過程可以看成2次對物光函數的傅里葉變換(下稱F變換),第一次F變換發生在透鏡的后焦面上,得到物光的精確的傅里葉變換關系:

其中λ為波長,f是透鏡焦距,x′和y′是后焦面上的坐標,g(x,y)是物的光場復振幅分布,G(x′,y′)是在透鏡像方焦面上的光場復振幅分布,空間分布為

由(1)～(2)式可以看出νx正比于x′,νy正比于 y′,所以在頻譜面上 x′和y′較大處(遠離光軸處)集中了物光頻譜的高頻成分,對應的是物光或像面上的精細結構,反之,在0級附近集中了物光的低頻成分,反映了物光函數的較均勻部分[1].如果使用單一圖形平移產生二維重復性結構,由上面的分析,當物面函數只有1個結構基元時,F面上呈現的是這個結構基元的空間頻譜,而當物面是上述結構基元形成的二維密鋪平面,平面上的基元數非常多時,該二維密鋪平面則可看作二維光柵,F面上呈現的應是分立的點譜.在物面從單一基元向密鋪結構過渡時,物面包含的結構基元數逐漸增加,而每個結構基元本身隨這個過程縮小,F面上的結構也會逐漸從結構基元的頻譜過渡到類似光柵的頻譜.這個過渡過程的變化規律就是本實驗的研究課題.

3 實驗方法

圖1 實驗裝置示意圖

實驗裝置如圖1所示,屏上圖案用外接相機拍攝.顯示器件為電尋址液晶光閥.液晶光閥是利用液晶的光學特性而制作的空間光調制器,它通過輸入電壓的變化控制液晶分子的取向從而改變通過液晶屏的光的強度和相位.利用液晶光閥的電光特性,可以實現計算機顯示屏圖樣到液晶屏的實時輸出[3-4].實驗使用 AutoCAD繪制三重、四重和五重旋轉對稱平面密鋪圖樣,其結構基元和基本幾何參量如圖2所示.將圖樣輸出到液晶光閥,經過傅里葉透鏡變換后在傅氏透鏡的后焦面上得到物面的空間頻譜分布,并在像面上重新成像[5].拍攝這2個面的圖像并加以分析.

圖2 實驗使用的密鋪圖樣結構基元及其幾何參量

液晶光閥本身可以看作二維正交光柵,其對應縫間距為1 px.在沒有外接計算機顯示時其空間頻譜如圖3所示,而在顯示密鋪圖樣時空間頻譜則是密鋪圖樣和液晶光閥二維光柵的卷積.由(2)式代入液晶光閥像素寬度、光路基本數據和激光波長,可以得到在實驗光路條件下,液晶光閥譜點間距的計算值為1.103 cm,實際測量的譜點間距為1.100 cm.在下文所述實驗中如有需要,將以實測值1.100 cm為準.

圖3 液晶光閥的空間頻譜

3.1 四重對稱

圖4(a)顯示了四重對稱的結構基元,即1個正方形方格,相鄰兩平行線間距為400 px,線寬為1 p x.根據(2)式,其在 F面上的譜點間距約為0.03 mm.

F面上所成頻譜如圖4(b).圖中央的亮點是液晶光閥的0級點,四周的亮點是液晶光閥的±1級衍射點.相比單純由液晶光閥形成的分立點譜,在顯示四重對稱圖樣之后 F面上出現了四輻對稱的連續譜,譜線從液晶光閥的衍射點出發,伸展方向和對應的結構基元中與線段元素的方向垂直.此種頻譜反映了結構基元本身的信息.

圖4 四重對稱密鋪的結構基元和頻譜

將圖4(a)所示的結構基元進行平移、旋轉變換后,得到近似正交光柵的高密度四重對稱圖樣,如圖5(a)所示.圖5(b)顯示了此時的結構基元,每個方格的邊長為8 px,每條邊的線寬為1 px.圖5(c)為其 F面頻譜,由于物面的結構近似正交光柵,此時得到的譜是分立的.放大精細結構并對比圖4(b)可見,先前出現在液晶光閥的0級和1級頻譜點之間的連續譜被8等分,變成了7個分立譜點.由(2)式知,此時的物面結構應該是縫寬1 px、縫間距8 px的正交光柵,它準確地反映了物面密鋪圖形中結構基元的點陣分布.

前述的2組實驗給出了液晶光閥顯示條件下密鋪結構空間頻譜的2種極限狀態.低密度顯示結構基元時,F面給出了連續分布的空間頻譜,這是非周期性圖形的頻譜特征;而高密度顯示密鋪結構時,其空間頻譜是分立的,呈現出光柵特有的頻譜分布和密鋪圖樣的平面點陣.

若物面的精細度介于非周期性圖形和光柵結構之間,則可將物面函數看成結構基元的物面函數與密鋪點陣在平面上的乘積[2].將這個結果代入(1)式并積分,得到物面空間頻譜應是結構基元和光柵結構兩者的傅里葉變換的線性疊加[6].只有當密鋪非常細密使得基元的結構信息完全丟失,物面才會顯現完全的光柵特性.而如果密鋪不夠細密,結構基元的信息沒有完全丟失,其空間頻譜將兼備結構基元和光柵的特征.

一個典型的例子如圖6(a)所示,當物面為中間尺度的4重對稱網格時,此時物面的精細度介于圖形和光柵之間,如圖6(b)所示.從圖6(c)可以看出其空間頻譜的分布也介于圖形的連續譜和光柵的分立譜之間,即同時存在四輻對稱的連續譜線和其上分布的分立譜點,這說明通過物面的光線同時攜帶了基元的結構信息以及光柵的結構信息.

圖5 高密度的四重對稱密鋪及其頻譜

圖6 中間尺度的密鋪圖形及其空間頻譜

3.2 三重對稱

使用三重對稱圖樣重復實驗,結果見圖7.圖7(b)顯示了三重對稱結構基元的空間頻譜分布特性,即譜線的取向和構成密鋪結構的線段元素垂直;圖7(d)顯示了三重對稱在近光柵情況(此處的近光柵情況是指在液晶光閥做顯示器件時,在每個結構基元都不發生失真的前提下系統所能達到的最高結構基元顯示密度.下同.)下的空間頻譜,譜點分布呈現了三重對稱光柵的特征.對比2組圖片,可清晰看到前者呈現連續結構,表現了結構基元本身的結構;后者為明顯的分立譜,呈現非常典型的光柵特征.

而當密鋪圖樣的顯示比例在這兩者之間時,物面的空間頻譜特性在基元顯示密度較低時主要呈現準連續譜(如圖8).但三重對稱的空間頻譜呈現了和四重對稱不同的特性,即2組平行的主譜線之間還有1組與主譜線方向平行的、較細也較暗的子譜線,如圖8中標注所示.

圖7 三重對稱的基元和光柵結構及頻譜

圖8 基元寬度80 px的三重對稱 F面

通過放大照片計算譜線之間的像素數并進行長度換算,得到主譜線和最明亮的與主譜線平行的子譜線的距離平均為1.375 mm.根據(2)式,再代入縫間距為1 px的液晶光閥正交光柵產生的頻譜點間距為1.100 cm這一結果,可以推出這組譜線的產生應是由于物面上的線段元素存在一系列沿線段方向分布,長度約8 px的周期.這個周期的形成是由于液晶光閥作為像素顯示器件,在顯示傾斜的線段時,系統會使用最接近的像素近似[7].

圖9表示的是實驗所用的PC的像素顯示系統處理30°斜線的方法示例.從圖中可以看到2種明顯的周期,第一種如圖中虛線所示,為1×2的像素塊.第二種如長實線所示,為水平4 p x,豎直7 px的周期,由勾股定理,沿斜線方向就是約8 px的周期.用同樣的原理,如果物面上的結構基元組成了高于像素尺度的周期性分布,比如每k個像素或結構基元組成1個團簇或每隔k個基元出現了基元重復、缺失或填隙,對應的譜線在空間頻譜上也是可以觀察到的.

圖9 像素顯示系統樣例

用非常高的密度顯示三重對稱時,其部分放大的結構如圖10(a)所示,可以看到三重對稱的結構基元本身已經發生了變形.由于三重對稱的構成元素不是沿著液晶光閥的像素排列方向的,因此在這種極限狀況下,雖然顯示的結構更細密了,但圖形的整體可重復性其實降低了,因為由于變形,組成密鋪的結構基元不是完全相同的.其頻譜清楚地表現了這一點,如圖10(b)所示,此時在0級點周圍還是可以看到三重對稱光柵的結構(如圖中白圈內的六邊形),但是只要稍微遠離0級點,對稱結構就無法觀察到了.在這種形變發生之前,一個顯示系統能達到的最高的結構基元顯示密度反映了這個顯示系統的性能指標.借由觀察一個顯示系統在光柵極限能達到的最高顯示周期,結合之前的用測量子譜線觀察像素近似的方法,可以得到一種獲取像素顯示系統的顯示精度的方法.

圖10 極小比例三重對稱密鋪及空間頻譜

3.3 五重對稱

用由5個特征頂角為72°菱形和5個特征頂角為36°菱形組成的花樣為中心點,輻射狀向外側以同心圓形式向外擴展,每向外1層,組成同心圓的基本單元增加5個[8],最終形成以中心點為對稱中心的五重旋轉對稱結構[2].此種平面密鋪形式具有五重旋轉對稱性,但沒有平移對稱性.圖11給出了當顯示的密鋪圖樣逐漸由單一結構基元向光柵型轉化的過程的代表性物面及其空間頻譜.同樣,只要在顯示精度范圍內,五重對稱的空間頻譜在0級點周圍顯著地呈現了五輻旋轉對稱的主譜線[圖11(b)中的大圈內所示],與主譜線平行的子譜線同樣具有五重對稱的特征.而且當顯示密度足夠高時,可以觀察到譜線有逐漸向分立譜發展的趨勢[圖11(b)中的小圈].

圖11 介于光柵和圖形之間的五重對稱圖樣及空間頻譜

但當密鋪元素結構基元的大小接近光柵量級時[圖12(a)所示],在 F面頻譜圖中,中央0級點周圍很小范圍內[如圖12(b)中的白圈內]可以看到五重對稱性的分立譜點和花樣(可以看到圓圈內有10個沿圓周均勻分布的譜點),但并沒有如三重或四重對稱的頻譜那樣明顯的光柵譜點分布模式.而其他處[圖12(b)白圈外側]卻呈現出明顯的四重對稱,即液晶光閥的頻譜特性.這種情況的發生是由于在結構基元顯示密度非常高時,由于液晶光閥像素結構的短程有序性相比五重對稱結構要好很多,液晶光閥的四重對稱特征將密鋪結構的五重對稱特征掩蓋,從而無法在 F面上有效獲取到五重對稱的光柵結構特征.

圖12 尺度接近光柵的五重對稱密鋪及其空間頻譜

4 結論與可能的應用

4.1 實驗結論

在使用液晶光閥作顯示元件時,考慮到液晶光閥本身的物理分辨率限制和顯示特性,可以把F面上的譜(點、線)分成以下3類:

第一類是從液晶光閥0級點和高級衍射點處出發,延伸方向和結構基元的線段元素垂直的譜線或譜點系.這一類譜線、譜點是組成平面密鋪的結構基元本身的傅里葉變換.

第二類是液晶光閥0級點和高級衍射點之間,與相應對稱性的光柵的傅里葉變換一致的分立譜點分布[如圖7(b)和(d)].當同屏結構基元數增加時,此類譜點逐漸出現并增強.這一類譜點反映了物面函數的光柵性質.

第三類是與第一類譜線或譜點同時存在,且方向平行、較弱同時也較細的譜線叢.這一系列譜線是由于液晶光閥本身的像素結構限制,在顯示有角度線段時產生的沿線段延伸方向的長短不同的周期,體現了物面組成元素的周期性特點,如圖8和圖9所示.

而物面在實驗條件下顯現的是圖像性質還是光柵性質,在物面本身的幾何尺度固定時完全取決于物面上的密鋪結構基元密度.若結構基元本身是非周期性的,在結構基元的顯示密度較低時,F面上給出的幾乎完全是結構基元本身的信息.即使出現分立譜,譜點間距也非常小,從而可以看作準連續的.隨顯示密度的增加,物面上開始出現高周期的元素,同時 F面上也出現高周期的元素,表現為 F面上出現圖8所示的子譜線或分立的譜點.但這一點并不是光柵的特性,這是多縫衍射特性與液晶光閥本身精度限制的綜合體現.在本文的實驗討論中,液晶光閥始終顯示寬度1 px的圖形,即光柵縫寬不變,從而衍射譜的包絡線不變;顯示比例的改變表現為縫間距改變,而縫間距越小,F面上譜點之間的距離越遠.當顯示密度進一步提高,譜點之間的距離可分辨時,光強重新分布,F面開始顯現出光柵的特性.顯示密度非常高時(如圖5所示)光學行為已向光柵靠攏.而當顯示密度介于高密度和低密度之間時,物面的 F變換是基元的連續譜和光柵的分立譜的線性疊加.在物面向光柵結構靠攏的過程中,基元的結構信息逐漸丟失.當每個基元非常小,呈現極限光柵情況時,結構基元本身的信息被弱化至消失.

4.2 可能的有關應用

由于本實驗應用的方法是針對平面做傅里葉變換,因此本文的實驗原理可以用于反射式阿貝成像,從而可以觀察使用傳統的衍射觀察法較難得到有效信息的結構,比如晶體的晶面等納米或微米級平面結構,而且實驗所需的設備也相比傳統透射衍射有所簡化.

利用本實驗的原理可以設計出反射式光學傅里葉變換裝置,及其他用于監控周期性重復結構生成的儀器.由之前的實驗分析,由平面結構的第一類譜線可以獲取結構的對稱性信息;由第三類譜線的位置與分布,可以觀察到平面密鋪結構中尺度大于1個結構基元的周期.在結構包含的基元數量不是十分大時(幾千至幾十萬個基元單位),應用本實驗的原理,通過觀察圖樣的傅里葉變換,可以比較容易地觀察到結構的扭曲、周期性形變、填隙等結構缺陷.對于制備高純度晶體、監控晶體摻雜過程或檢查表面沉積結構具有一定的應用意義[9].

如果將實驗所用的波長擴展至微波或無線電波波段,利用本實驗原理理論上可以設計出形狀和結構合適的密鋪結構,使得被這個結構遮擋或覆蓋的物體在其夫朗和費衍射區由于類光柵結構的干擾失去原有的特征頻譜,轉而呈現密鋪結構的光柵頻譜.在無線電通訊和探測技術中結合合適的設備,這種現象可有潛在的應用價值.

致謝:感謝南京大學大氣科學學院何漢源同學為本實驗提供攝影支持!

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[責任編輯:任德香]

Analysisof spatial spectrum of plane tessellation using Abbe imagingmethod

WANG Han-chen,L IU Jing,PAN Yong-hua,ZHOU Jin
(Department of Physics,Nanjing University,Nanjing 210046,China)

A bbe considered that a lens imaging p rocess w as equivalent to two stages of Fourier transfo rmation.An op tical Fourier transfo rmation system that contains a liquid crystal light valve and a lens was p resented.Tessellation imaged on the valve would show its Fourier amp litude spectrum or image on the screen on the other side of the lens.Changes of the tessellation structure would lead to redistributionsof the spectrum.A hypothesison the spatial spectrum redistribution during the p rocess that a tessellation shrinks into a grating-scale structure was p resented.

Abbe imaging;Fourier transformation;tessellation;spatial spectrum;grating

O438

A

1005-4642(2011)01-0005-06

2010-09-21;修改日期:2010-11-12

王漢琛(1989-),男,山東青島人,南京大學物理系2008級本科生.

指導教師:潘永華(1971-),女,浙江義烏人,南京大學物理系高級工程師,學士,主要從事大學物理實驗和演示實驗教學研究.