參量化的Hilbert型積分不等式

陳廣生

(廣西現代職業技術學院計算機工程系,廣西河池,547000)

參量化的Hilbert型積分不等式

陳廣生

(廣西現代職業技術學院計算機工程系,廣西河池,547000)

通過應用權函數方法和實分析技巧,給出一個推廣的具有最佳常數因子的Hilbert型積分不等式.作為應用,考慮了它的等價形式及一些特殊結果.

Hilbert型積分不等式;權函數;等價式;最佳常數因子

1 引言

近年來,楊必成等人對這類不等式陸續作了推廣[3-8].文獻[3]引入單參量及兩對共軛指數(p,q),(r,s),將不等式(1)和(2)推廣為如下形式:設則有如下等價式:

最近,文獻[9]給出了類似于式(3)、(4)的核為一般齊次函數的如下等價式:

這里,常數因子kλ(r)與[kλ(r)]p都為最佳值.本文通過估算權函數,給出式(5)的一個新的推廣.作為應用,建立其等價式及一些特殊結果.

2 主要結果

則有

證明 固定x,在式(7)的積分作變換u=x/y 得

則式(8)為真.同理可得

這里,常數因子kλ(r)是最佳值.

證明:由Holder不等式[10],有

若式(12)取等號,則由Holder不等式等號成立的條件,有不全為0的常數a和b使得

再由式(8)、(10)可得式(11).

若式(11)中的常數因子kλ(r)不是最佳的,則有正數K(K＜kλ(r)),使得K代替kλ(r)后,式(11)仍成立.特別地,有

聯系式(13),在下面的內積分中作變換u=y/x,由Fubini定理[11],有

根據式(13)和(14),有

由式(15)及Fatou引理[11]得

故K=kλ(r)為最佳值

這里,常數因子[kλ(r)]p是最佳值;不等式(11)與(17)等價.

因而有

由式(11)知,式(18)及(19)都取嚴格不等號,故有式(17).

反之,設式(17)為真,由Holder不等式,有

因此,由式(17),有式(11),故式(11)與(17)式等價.

若式(17)的常數因子[kλ(r)]p不是最佳值,則可得式(11)的常數因子也不是最佳值,矛盾.因此式(17)的常數因子是最佳值.

當t=0時,由式(11)和(17)可以導出式(5)和(6),因此.式(11)和(17)是式(5)和(6)的推廣.

當r=p,s=q及t=0時,由(15)和(17)可以導出:

這里,常數因子kλ(p),[kλ(p)]p是最佳值.

當r=q,s=p及t=0時,由(19)和(21)可以導出:

這里,常數因子k(q)[k(q)]p都是最佳值.λλ

當r=q,s=p及t=1時,由(15)和(17)可以導出:

[1]Hardy G H.Little wood J E.Polya G.Inequalities[M].Cambridge:Cambridge Urav.Press.1952.

[2]Mitrinovic D S,Pecaric J E,Fink A M.Inequalities involving functions and their integrals and derivatives[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1991.

[3]YANG Bi-cheng.On an extension of Hilbert’s integral inequality with some parameters[J].Analysis and Applications,2004,1(1):1-8.

[4]楊必成.一個新的含參數的Hilbert型積分不等式[J].河南大學學報:自然科學版,2005,35(4):4-8.

[5]楊必成.關于一個推廣的具有最佳常數因子的Hilbert類不等式及其應用[J].數學研究評論,2005,25(2):341-346

[6]Xie Z T,Zeng Z.A Hilbert-type integral inequality whose kernel is a homogeneous form of degree一3[J].Math Anal.Appl.,2008(339):324-331.

[7]楊必成.一個零齊次核的Hilbert到積分不等式及逆式[J].西南大學學報(自然科學版),2009,31(10):143-148

[8]陳廣生,丁宣浩.一個Hilbert型積分不等式的最佳推廣[J].重慶文理學院學報(自然科學版),2010,29(4):5-7.

[9]楊必成.算子范數與Hilbert型不等式[M].北京:科學出版社,2009.

[10]匡繼昌.常用不等式[M].濟南:山東科學技術出版社,2004.

[11]匡繼昌.實分析引論[M].長沙:湖南教育出版社1996.

A Hilbert’s Type Integral Inequality with Some Parameters

CHEN Guang-sheng

(Department of Computer Engineering,Guangxi Modern Vocational Technology College,Hechi 547000,China)

In the papers,by using weight function and the method of real analysis,we give a generalization of Hilbert’s type integral inequality with a best constant factor.As applications,we consider its equivalent for ms and some particular results.

Hilbert’s type integral inequality;weight function;Equivalent for m;Best constant factor

O178

A

1008-9128(2011)02-0023-04

2010-12-15

陳廣生(1979-),男,廣西北流人,講師,碩士。研究方向:不等式等研究。

[責任編輯 張燦邦]