線性矩陣方程的廣對稱解＊

秦曉偉，劉新國

（中國海洋大學數學科學學院，山東青島266100）

線性矩陣方程的廣對稱解＊

秦曉偉，劉新國

（中國海洋大學數學科學學院，山東青島266100）

研究線性矩陣方程的廣對稱解，對Bunch，Sun，Tisseur等人的一些已有結果進行推廣，并把所得結果用于結構向后誤差分析。

線性矩陣方程；廣對稱矩陣；結構矩陣

線性矩陣方程具有廣泛的應用，例如不變子空間的擾動分析［1］、特征空間的向后誤差分析［1－2］、特征值反問題、結構向后誤差分析［2］、多元統計分析［3］、有限元模型修正［4］等。

已經有大量的關于線性矩陣方程的研究，XB＝C是最簡單同時也是最常見的矩陣方程。針對這個矩陣方程，Sun［1］推廣Bunch，Demmel，Van Loan［5］的結果，給出了對稱（Hermite）解及最小F范數解的顯示表達式，并應用于研究特征子空間的結構向后誤差。Tisseur［2］把Sun的結果推廣到反對稱（反Hermite）矩陣，并用于研究結構向后誤差分析。

本文研究線性矩陣方程的廣對稱解。使用Karow，Kressner和Tisseur［6］的純量積框架定義了廣對稱矩陣。討論了線性矩陣方程XB＝C的廣對稱解，所得結果是Sun及Tisseur有關結果的推廣。研究一般的線性矩陣方程的廣對稱解，所得結果在有限元模型修正方法中有潛在應用。

本文中，K表示實數域R或復數域C，相應地，Km×n表示Rm×n或Cm×n。并用＊表示矩陣轉置T（實情形）或共軛轉置H（復情形），其他記號是常規的，可參見文獻［7］。

1 廣對稱矩陣

定義1 給定β∈K滿足｜β｜＝1，以及P∈Kn×n滿足P2＝In，P＊＝P。一個矩陣A∈Kn×n若滿足

則稱矩陣A為廣對稱矩陣。

以上定義的廣對稱矩陣類包含了一些特殊的重要子類，例如：

（1）K＝R，此時β＝±1，P是非奇異正交陣。取P＝In，則得到實對稱矩陣類及反對稱矩陣類。取P＝［en，…，e1］，這里［e1，…，en］＝In，則得到（關于斜對角線對稱的）斜對稱矩陣類及斜反對稱矩陣類［7］。

（2）K＝C，取β＝±1，P＝In，則分別得到Hermite矩陣類及反Hermite矩陣類。

在Kn上引入純量積［6］

這里M∈Kn×n是某個給定的非奇異矩陣。對于A∈Kn×n，依上述純量積可以引入A的伴隨矩陣A☆如下：

易知

如果A☆＝A，則稱A是自伴矩陣；如果A☆＝－A，則稱A是反自伴矩陣。Kn×n中全體自伴矩陣構成的集合J為一個Jordan代數；全體反自伴矩陣構成的集合L為一個Lie代數。更詳細的討論見文獻［6］。從應用看，一類重要的純量積＜，＞M為酉對稱和正交對稱的（unitary and orthosymmetric）情形：M為酉陣，且存在β0∈K，｜β0｜＝1，使得

此時，M2＝β0In。因此M的特征值為。由于M為酉陣，因此，存在酉陣Q使得

此時對于自伴矩陣A，有

對于反自伴矩陣A，有

因此，定義1引入的廣對稱矩陣包含了這2類矩陣。

引理1 對于A∈Kn×n，

又由于

從而

2 矩陣方程XB＝C的廣對稱解

給定B，C∈Kn×p，考慮線性矩陣方程

令Y＝PX，則方程（2）等價于下述方程

易看出，X是（2）的廣對稱解的充分必要條件是Y是（3）的解，且

定理1 方程（3）有滿足（4）的解的充要條件為

這里PBH＝B＋B。

當（5）滿足時，方程（3）滿足（4）的解的一般形式為

其中，最小F范數解為

證 設B的奇異值分解為

那么方程（3）等價于

易知，（8c）等價于CPBH＝C。令

那么，（3）有滿足（4）的解的充要條件為

即

而（9）等價于

從而，（3）有滿足（4）的解的充要條件為（5）。

當（5）滿足時，滿足（4）的解的一般形式為

由定理1及Y＝PZ，P－1＝P，直接得出下述結論。

定理2

（1）方程（2）有廣對稱解的充要條件為

（2）當（10）滿足時，（2）的廣對稱解的一般形式為

其中最小范數解為

注：取K＝R，則定理2得到Bunch，Demmel和Van Loan［5］的結果。取K＝C，β＝1，得到文獻［1］中的引理1.4。取K＝C，β＝－1，得到文獻［2］中的引理2.6。

3 一般線性矩陣方程的廣對稱解

考慮與（13）關聯的矩陣方程組：

定理3

（1）方程（13）的廣對稱解必是（14）的解。

（2）若（X1，…，Xm）為（14）的解，則其廣對稱化

也是（14）的解。

（3）方程組（14）的最小F范數解必是廣對稱的。

證 直接檢驗即知結論（1）成立。為證明結論（2），先證

由于（X1，…，Xm）為（14）的解，故有

兩式相加，有

而由

兩式相加，得

故結論（2）得證。

若（X1，…，Xm）為（14）的最小F范數解，由引理1，有

又由結論（2），可知必有

推論1 方程（13）有廣對稱解的充分必要條件為（14）有解。

命題1 若（14）有解，則其解集合為閉凸集。

定理3及推論1表明，如果（14）有解，則必有最小F范數解，且最小F范數解也是（13）的最小F范數廣對稱解。這樣，就把求（13）的最小F范數廣對稱解轉化為求（14）的最小F范數解。記

使用拉直運算，（14）改寫為

由此可以得到（15）的最小2范數解

然后，用vec的逆運算，由xmin可以得到（13）的最小F范數廣對稱解。

以上結果在二次特征值問題的結構向后誤差分析［2］中有用，下面對此簡要說明?？紤]二次特征值問題

如果數λ及非零向量x滿足（16），則稱λ為二次矩陣多項式Q（λ）≡λ2M＋λC＋K的一個特征值，x叫對應的特征向量。在震動分析中，一類重要的二次矩陣多項式Q（λ）滿足Hermite性：

而在旋轉系統研究中出現的二次矩陣多項式Q（λ）滿足：

這里s＝±1。

這是方程（13）的特殊情形。令Q0為酉陣，使得為單位陣In的首列，并令

則（17）等價于

由文獻［2］中引理1.3，（19）的最小F范數解為

而（18）的最小F范數廣對稱解由

的最小2范數解確定。

［1］ Sun J G.Backward perturbation analysis of certain characteristic subspace［J］.Numer Math，1993，65：357－382.

［2］ Tisseur F.A chart of backward errors for singly and doubly struc－tured eigenvalue problems［J］.SIAM J Matrix Anal Appl，2003，24：877－897.

［3］ Penrose R.On best approximate solutions of linear matrix equations［J］.Proc Cambridge Philos Soc，1956，52：17－19.

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［6］ Karow M，Kressner D，Tisseur F.Structured eigenvalue condition numbers［J］.SIAM J Matrix Anal Appl，2006，28（4）：1052－1068.

［7］ 孫繼廣.矩陣擾動分析［M］.第二版.北京：科學出版社，2001.

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Generalized Symmetric Solutions of Linear Matrix Equations

QIN Xiao－Wei，LIU Xin－Guo
（School of Mathematical Sciences，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

This paper deals with generalized symmetric solutions of linear matrix equations.Some wellknown results proved by Bunch，Sun，and Tisseur are extended.The results obtained are useful in structured backward error analysis.

linear matrix equation；generalized symmetric matrix；structured matrix

O241.6

A

1672－5174（2012）1－2－173－04

山東省自然科學基金項目（Y2008A07）資助

2011－03－01；

2011－05－09

秦曉偉（1987－），女，碩士生。E－mail：qinxiaowei198782＠163.com

AMS Subject Classification：15A24

責任編輯 朱寶象