從v-t圖例談數與形結合的意義

沈祖榮

(蘇州大學物理科學與技術學院 江蘇 蘇州 215006;江蘇省木瀆高級中學 江蘇 蘇州 215101)

陳鋼

(蘇州大學物理科學與技術學院 江蘇 蘇州 215006)

數和形是數學的兩個最基本的元素，也是數學的兩種基本表達方式.自笛卡兒創立解析幾何將代數與幾何學聯系到一起，數形結合就成為解決物理問題的一種重要方法，從而使物理學進入了定量科學階段.牛頓和萊布尼茲發明的微分和積分法，解決了“非均勻問題”，賦予圖像以微分和積分的新意義.因而，數和形相結合表示物理規律，并運用微分和積分思想解決物理問題，不但是物理學的有力工具，也是物理學的重要認識.中學物理廣泛運用圖像表示各種物理問題，并用圖像法解決各種物理問題，就是上述物理思想的反映.

1 “數形結合”既是一種方法更是一種重要的意識

1.1 物理圖像表示的意義

用公式表示物理規律，給出物理量之間的函數關系，便于進行邏輯推導；而用圖像表示物理規律，則充分展現物理量之間的逐點變化關系，構成物理量之間直觀的形的關系.

新課程人教版教材(2011年版)《必修1》第38頁中，在探究勻變速直線運動的位移與時間的關系時，由勻變速直線運動的速度與時間的關系公式v=v0+at，作出如圖1所示的v-t圖像，展示了用數形結合表示物理規律的基本方法.而圖2所示圖像表示了對運動的微分分割，即用圖像可以直接表示微分.再用圖3所示的“面積”說明對于運動的積分結果，即用圖像可以直接表示積分.筆者對教材中引入v-t圖像的三個圖像進行了深入思考，認為編者的用意是以探究勻變速直線運動的位移與時間關系的過程為案例，力求突出高中物理中“數形結合”既是一種方法，更是一種重要的意識；同時強調了利用微分、極限和積分思想是研究物理問題的重要方法.

圖1 圖2 圖3

物理規律往往可表達為簡單的物理公式，而物理公式是具有物理意義的函數表達式，每一種函數也可以用對應的圖像表示.在許多情況下，物理問題雖然不同，但它們的圖像是類同的，因此可以用類比的方法處理.有些物理問題的圖像是不同的，應該明確物理規律、函數和圖像的對應關系.

1.2 物理圖像和物理模型的對應關系

圖像是對物理問題的一種表示，而物理問題往往與物理模型相對應.因此,可以通過識讀圖像構建所對應的物理模型，這也是教學的一個重要方面.

【例1】(2009年高考江蘇卷物理第8題)空間某一靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖4所示.x軸上B,C兩點電場強度在x方向上的分量分別是EBx,ECx.下列說法中正確的有

A．EBx的大小大于ECx的大小

B．EBx的方向沿x軸正方向

C．電荷在O點受到的電場力在x方向上的分量最大

D．負電荷沿x軸從B移到C的過程中，電場力先做正功，后做負功

圖4

分析：題中給出φ-x圖像的目的是要考生判斷本題的電勢空間分布為兩等量正電荷連線中點為x軸的原點，以其中垂線的一側為x軸指向的電勢分布.

【例2】(2010年高考江蘇卷物理第5題)空間有一沿x軸對稱分布的電場，其電場強度E隨x變化的圖像如圖5所示．下列說法正確的是

A．O點的電勢最低

B．x2點的電勢最高

C．x1和-x1兩點的電勢相等

D．x1和x3兩點的電勢相等

圖5

分析：題中給出的E-x圖像，是要考生判斷出本題的電場強度空間分布為兩等量電荷連線的中點為x軸的原點，以其中垂線的一側為x軸指向的電場強度的分布.

命題者命制以上兩題時，必定首先了解等量同種電荷電勢和電場強度的空間分布，然后才設計如圖的φ-x，E-x圖像.

總之，“數形結合”無論在物理探究過程中還是各類物理考試中都是非常重要的方法.只有將數和形相結合，而且掌握數和形與物理模型對應的關系，解決物理問題才能得心應手.

2 利用微元與極限和累加求圖像圍成的面積是重要的物理方法

從數學的一般意義來說，用圖像表示微分，就是對圖像中自變量進行無限小分割；用圖像表示積分，就是圖線下的面積.但是各種物理問題的自變量各有不同，圖線下的面積所表示的物理量也各不相同，所以微分和積分作為一般數學方法應用于物理問題時，必須明確其表示的具體物理意義.

如，由微分式Δxi=viΔt可知，v-t圖像的面積是一段時間內的位移；由微分式Δvi=aiΔt可知，a-t圖像的面積是一段時間內的速度變化.

【例3】螞蟻離巢沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比.當螞蟻爬到距巢中心的距離L1=1 m的A點處時，速度是v1=2 cm/s. 試問螞蟻從A點爬到距巢中心的距離L2=2 m的B點所需的時間為多少？

代入數據，得

t=75 s

圖6

3 利用圖像巧解物理問題

圖像提供的信息很多，而且圖像中的各種物理量以直觀方式呈現，所以解決一些只需定性比較運動過程的問題的最佳方法就是圖像法.

【例4】如圖7所示，一個固定在水平面上的光滑物塊.其左側面是斜面AB，右側面是曲面AC.已知AB和AC的長度相同.兩個小球p,q同時從A點分別沿AB和AC由靜止開始下滑.比較它們到達水平面所用的時間

A.p小球先到 B.q小球先到

C.兩小球同時到 D.無法確定

圖7 圖8

本題的正確答案為選項B.

分析：可以利用v-t圖像(這里的v是速率，曲線下的面積表示路程s)定性地進行比較.如圖8，在同一個v-t圖像中做出小球p，q的速率圖線，顯然開始時q的加速度較大，斜率較大；由于機械能守恒，末速率相同，即曲線末端在同一水平圖線上.為使路程相同(曲線和橫軸所圍的面積相同)，顯然小球q用的時間較少.

總之，教材以探究勻變速直線運動的位移和時間關系為例，通過物理表達式v=v0+at，畫出v-t圖像.再利用微元、極限和累加的方法求出面積，即為一段時間內的位移，得出位移和時間的關系的物理規律.正是這條明線隱含著更為普遍適用的方法和技能.我們需要研究教材，讀懂教材編寫者的意圖，才能用好教材，真正高效實施新課程背景下的素質教育.