數學發展源動力解析

楊旭

摘 要：回顧數學紛繁復雜的發展歷程，是什么力量推動了數學的發展，使數學歷經幾千年發展到今天如此進步的程度，該文從三個方面闡述了推動數學發展的源動力，數學是依社會生產矛盾運動、數學內部矛盾斗爭、數學家不懈追求而發展，只有正確看待數學發展的源動力才能更好的傳承與發展數學事業，為人類造福。

關鍵詞：數學 社會生產 矛盾斗爭 數學家

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2012）12（a）-0-02

橫看中西、縱觀千年的世界數學發展歷程，在我們面前展現出一幅波瀾壯闊的景象，一條條涓細之流從源頭出發，會聚無數支流，勢不可擋，形成現在洶涌澎湃的數學大河，追溯數學發展的源動力在哪里？經過我多年的研究得出如下結論。

1 數學依賴于社會生產矛盾運動而發展

數學是反映客觀世界的數量關系與空間形式的一門科學，它的發生與發展是建立在生產之上的，當生產力水平與人們的現實愿望出現矛盾時，數學便產生并不斷的發展。

數和形的概念可追溯至原始社會，由于當時社會生產力水平極低，雖然經過近萬年的緩漫發展，但只累積了零散的、萌芽狀態的數學內容。直至奴隸社會鼎盛時期的古希臘，生產力水平已有較大提高，此時幾何學在生產實踐中才得到飛速的發展。在文藝復興時期航海得到迅速發展、機械得到廣泛使用、我國四大發明遠播西方，由此促進了西歐生產力水平快速發展，同時也使得自然科學得到迅猛發展，此時代數學在意大利這個封建王朝中取得了驕人的發展。17世紀歐洲隨著生產力水平提高，力學與技術水平得到了較大提高，為適應社會生產的需要，從更高層次向數學提出了新的要求與挑戰，把運動問題作為數學研究主要方向，從而產生變量的觀點，進而函數概念就產生了，隨后產生了數學的兩個重要研究領域，即解析幾何、微積分。

解析幾何與微積分的基本理論在生產中得到運用，它符合生產與技術的一些現實的客觀要求，在短時間內使數學取得極其輝煌的成就，在古代已出現樸素的極限思維，但由于生產力水平低、科技水平不高，所研究的領域多駐足于靜力學與固定不變的范疇內，沒有產生變量的觀念與微積分思想的社會基礎。1705年蒸汽機在物理學家紐可門的研制下獲得了使用，近代蒸汽機于1768年在瓦特研制下成功了，在此掀起了人類歷史上第一次工業革命，使社會生產力水平得到空前提升，繼而數學在18、19世紀出現大發展的格局。，生產力與科學技術在20世紀40年代逐漸得到較快發展，第一顆核彈于1945年爆炸、同時計算機得到應用；人造地球衛星于1957年升空，繼而在超高壓、超高溫、宏觀、微觀的研究領域都得到突破，現代數學也因此得到了神速發展，都取得了豐碩成果。有許多科學家對1940年以后的數學做出的成就給出極高的評價，它完全超出了自古希臘至上個世紀四十年代期間的長達近2000年數學所取得的成就。純數學領域做出了重大成就，數學的邊緣學科開辟了一些新的領域，例如規劃論、計算數學、運籌學、對策論、控制論、信息論、經濟數學、生物數學等等，隨著上述學科的出現系統科學獲得深入，同時也產生了多種數學新思維、新思潮，例如標準分析、模糊數學、構造數學、結構數學、計算機科學、突變理論等，機器證明與人工智能也相繼獲得重大突破。人類對自然界的各種現象的了解是隨著生產力水平的提高得到逐步深入，通過科學史的研究就發現了這個艱辛的歷史過程。在數學領域面里2000多年前就已經將精確數學作為確定現象進行了研究；四百多年前開始將隨機數學作為隨機性現象進行了研究，如在工業革命時期生產中遇到的產品質量檢驗問題，極大的推動了統計學、概率等數學分支學科的發展；20多年前開始將模糊數學作為對模糊性現象進行研究，毋庸置疑，如果沒有電子計算機技術的發展，一定沒有模糊數學的產生。

階級斗爭、生產斗爭與科學實驗作為人類社會的三個矛盾運動，它們中生產斗爭將起到決定性的作用。人類社會生產以不同的方式向數學提出新問題、明確數學發展方向、為數學提供新的發展條件三個方面推動數學向前發展，類似于把顯微鏡提供給生物學家、把望遠鏡提供給天文學家一樣，正因為生產和科技將電子計算機提供給了數學家，從而推動了近代數學的在繁榮。數學理論雖然具有抽象性，但它最有力最深刻的描述了現實世界的數量關系與空間形式，所以在自然和社會科學、技術領域與社會生產實踐中數學知識得到更加廣泛的應用，對我們認識和改造自然發揮著極其重要的作用，它體現了在社會生產發展過程中數學內容對其起到巨大影響的反作用力，同時數學理論的真理性也得到了檢驗。數學不可能脫離社會生產的進步而獨立存在，一般情況下數學依賴于社會生產，因此彼此的發展與進步總體上是相適應，與社會生產相比數學發展有獨立性，時而落后或時而超越社會生產的進步。如公無前三世紀出現的二次曲線在經過近兩千年塵封以后在行星運動中得以應用；非歐幾何出現后經過近100年在相對論中得以應用；數理邏輯出現后在經過一百年在計算機領域中得以廣泛運用，類似數學理論超越社會生產要求之前出現，是純粹數學本身矛盾運動所帶來的結果。

2 數學依賴于其內部的矛盾斗爭而發展

數學內部矛盾斗爭是其發展歷程的顯著特征，它是推動數學向前發展的源動力之一。

數學研究對象是世界的空間形式與數量關系，建立在純粹意義上為了探究空間形式與數量關系，就必須超越現實世界的束縛，但形式脫離了內容的發展是不存在的，所以數學為了實現這種割裂，必須按它的本質企圖去探索，此種根本矛盾是數學之本質，也是在數學領域的特殊體現，在不斷解決與重復此種矛盾的過程中，使認識逐漸趨于現實，以此數學不斷地前行，使數學由簡單至復雜，由低級到高級發展。自然數得到最早認識，經過斗爭才出現零與負數，如不引進這些數，那么遇到數的減法就不能完成；除法是在引進分數后使乘法有了逆運算而產生的，從此解決了許多實際問題；接著又遇到了是否所有的數量都可以用有理數來表示的問題，最終出現了無理數，化解了數學第一次危機，使邏輯學得到發展與幾何學達到系統化；求方程解的過程引入了虛數，當時被人們認為不現實，但它解決了實數所不能完成的問題，為虛數爭取到存在意義；同樣由歐幾里得幾何發展到多種幾何體系也數學內部的矛盾運動的結果。由于許多問題用傳統方法解決不了以至于給數學帶來了極大的沖擊，如在19世紀發現五次以上代數方程不可由加、減、乘、除、開方求其解；解決古希臘的幾何學中三大問題不可由圓規與直尺作圖來完成等，這些結論說明了使用傳統方法的局限性，要想使人類認識得到深入，數學完全轉變了它的研究方向，如抽象代數取代了代數學，分析和計算數學取代求解方程的根。類似情況在第三次危機中也有多次顯現，如整數算術形式系統具有不完整性、諸多問題具有不可判定等都提高了人們的認識水平，數理邏輯也得到了很好發展。

無窮小量的矛盾反映了數學內部有限和無限的沖突；集合論與數理邏輯涉及到無限集合，而數學離開無限集合就行不通，僅考慮可數集合或有限集合是極端觀點，如果只這樣思考，那么絕大部分數學就不存在了，如使用計算機做四色定理的證明，它也要把無限多種情形的地圖歸納為有限的情況，計算機對無限的情形也是做不到的，所以數學將永遠無法回避有限和無限這個矛盾。

數學中有應用上清楚和邏輯上嚴格之間的沖突，對此注重實用的人盲目去應用，但注重嚴密的人提出許多批評，只有兩者達成一致，矛盾才得以解決，如最初只是形式演算的算符演算和δ函數得到盲目應用，直到出現廣義函數論的嚴格系統。在數學中兩種重要趨勢一直受到關注，即學科不斷分化與學科不斷綜合的趨勢，兩者的矛盾辨證運動是否定之否定歷程，到19世紀末學科分化達到很精細程度，幾何、代數、分析等已出現各自不同的發展領域，學科之間的聯系不夠緊密，它們在語言、理論、方法等可以不相通，數學沒有統一的圖景。從克萊因用“群”的思想統一了幾何，至康托爾奠定公理化和集合論，數學逐步由分化又走向了綜合，對數學的認識越是理解整體的諸多方面，就能更好的把握整體。有人試圖把目前的數學進行統一，但這種統一是相對與暫時的，隨生產與科技的進步，又會產生新的數學分支，形成新的分化，就是在分化與綜合中數學不斷得到發展。

3 數學依賴于數學家們不懈追求而發展

《疇人傳》中記載中國眾多的數學、天文學家的傳記，例如僧一行是唐朝著名的數學與天文學家，他將天文學和數學統一起來，他的二次內插法公式的研究是世界上最早的，他對北極高度與日影長度的觀測是世界上首次對子午線的測量，創立“開元大衍歷”，對我國歷法做出重大成績，得到后人的稱頌。我國南北朝時期數學家祖沖之在世界上享有盛名，他將圓周率π精確至6位小數當屬世界最早，這個成果創下近千年世界記錄，他自小對數學與天文學有深厚興趣，苦讀專研，不時提出大膽設想，再經過實踐進行驗證。祖沖之與其子合編數學名著《綴術》，被當時唐朝選定為學校教學用書，后來朝鮮、日本也將其作為學校課本。世界人民對祖沖之在數學上的貢獻給出很高評價，他的塑像矗立在莫斯科大學受到人們的敬仰，并將月球上一座山脈命名為祖沖之環形山，名揚海內外。在我國數學史上著名數學家梅文鼎（1683—1721年）自幼酷愛數學與天文學，從29歲起數十載不斷的學習和研究，成為十七世紀末期我國最有影響的數學家，他在歷法上專研我國古代70多家歷法，并和西方歷法統一研究，在數學上提出筆算、籌算、對數、三角等，后來又研究方程和勾股諸術，終成大器，自成一派，他的著作《勿庵歷算書目》多達二百多卷，在這些著作中數學著作占據大半，它包含初等數學的各分支學科。梅轂成是他的孫輩，自幼向他學習數學，受到良好的數學熏陶，23歲時他進宮學天文與數學，撰寫《數理精蘊》，并把他祖父的共60卷成果匯編成《梅氏叢書輯要》，自己所著數學書40卷，如這樣的大有作為的數學世家在全世界數學發展歷程中也是少見的，完全可與當時的瑞士伯努里家族相提并論。

數學史中瑞士數學家歐拉（1707—1783年）一生中共發表500多篇論文，在他離世后又相繼發表了他留下的多篇手稿，這樣他發表的數學著作多達886篇之多，可謂是一位高產作家，歐拉用畢生的精力全部投入到數學研究之中，所觸及的范圍較廣，1735年他左眼不幸失明；1766年右眼也失明，所有這些困難都沒有妨礙他對數學孜孜不倦的追求，雙目失明的歐拉在他人的幫助下，記錄下他數學研究的成果，憑借自己僅存的記憶力，艱苦頑強的進行研究，在最嘈雜的環境中他也能將精力高度集中于數學創造。讓人感受到欽佩與驚訝的是歐拉不只學術專著極多，而且他的專著中語言通俗易懂，所使用的數學符號簡潔明快，例如用f（x）代表函數關系，e是常數且代表自然對數底，小寫字母a、b、c代表ΔABC三個內角的對邊，大寫符號∑代表和式，符號i表示虛單位……這些記號都被后人所沿用。又如最美妙的數學公式歐拉公式，它與最重要的五個常數π、e、i、0、1相聯系，歐拉受到后來眾多數學家們的敬仰與懷念，他是一切人的導師，給他以極高的評價。

數學發展史中希臘的數學家泰奧思之女希帕提亞（310—415年）當屬第一位女數學家，她撰寫了評注書是有關阿波羅尼與丟番圖的。女數學家中最偉大的當屬德國的生于猶太家族數學世家的諾特，諾特在1900年就讀于愛爾蘭根大學，在大學1000多名學生中只有兩位是女性，諾特在博士導師的指導下寫了《三元雙二次型不變量的完全系》論文，諾特于1916年去了哥廷根，此時數學家希爾伯特正在研究廣義相對論，在此諾特做了很多工作，后人對她的貢獻給予很高的評價，但是在大學里對婦女有歧視，希爾伯特曾幾次向學校提出授予諾特講師，但是在格廷根召開的哲學教授會議對此請求堅決反對，諾特于1919年到1922年間走上了一條特殊的發展之路，在環中選擇理想論為研究對象，她在抽象代數領域做出了重大貢獻，她在代數學派的代表著作是一般理想論，諾特于1922年獲得特別教授稱號，因為猶太人遭到納粹分子的迫害，諾特于1933年去美國作教師，于1935年去逝。后來著名物理學家愛因斯坦對諾特在代數學中貢獻給予很高評價，諾特是最有創造性的最重要的女性數學天才。

布爾巴基學派對現代數學有較大的影響，在第一次世界大戰后期法國數學界青黃不接，后繼無人，面對德國與蘇聯數學快速發展以及紅極一時的波蘭學派法國數學落后了。在1924年前后一批十八九歲的有志青年包括狄多涅、亨·嘉當、韋伊等人，這些人不滿法國數學發展現狀，決心發動數學革命以振興法國，他們把研究的范圍拓展到“函數論王國”之外，他們嚴謹治學，如饑似渴的閱讀，深入研討最新的數學成果，掌握數學發展中出現的新概念，他們走出國門傾聽國外數學家的演講，學習數學前沿內容。由于他們目標明確、措施得力，不久就形成自己獨創的數學思想“數學結構的觀點”，對拓撲空間、代數幾何、可換環、泛函分析、多復變函數論、李群等數學相關領域做出杰出貢獻，對現代純數學研究的最新成果予以高度概括，推動法國數學研究水平并轟動全世界。布爾巴基學派所具有的創造與開拓精神確實令后人欽佩，他們中一大批數學家的科研態度是十分嚴謹的，一本數學著作有時推倒后重新撰寫十次，經過多次校對后才去發表，如《數學原本》中的第一章節內容就花費了整30年才得以正式發表。這些數學家們對自己的學問嚴格要求，一絲不茍，他們既有深厚的數學興趣與情感、淵博的學識和寬厚的數學基礎，還要具有數學獨立研究的精神，把數學作為自己崇高的使命，這些因素是他們在數學上取得巨大成績的主要原因。

以古今中外數學家們在推動數學事業發展過程中所煥發出來的寶貴的精神力量，化作我們寶貴財富，以推動我們各項事業的發展。

參考文獻

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