林潔珠,葉軒明
(1. 廣州大學數學與信息科學學院∥數學與交叉學科廣東普通高校重點實驗室,廣東 廣州510006;2. 中山大學數學與計算科學學院, 廣東 廣州 510275)
作者利用 Grauert的正象層理論(Direct Image Theorems 見文[7])得到無窮小復結構形變中Hodge數發生跳躍現象的一個很有用的“模型”。通過對此模型的研究, 解釋為什么我們需要研究前文所說的障礙元素。作者得到障礙元素和Hodge數發生跳躍現象的關系如下。
定理1[1]設π∶χ→B是以緊復流形X為中心纖維的復結構形變族?,F在我們考慮以tB為變量的函數dimHq(Xt,此函數將在t=0發生跳躍(減少)當且僅當存在Hq-1(Xt,或者Hq(X,中的等價類[α]和一個自然數n≥1使得該元素的階障礙
on,n-1(α)≠0
同時, 作者還得到計算障礙on,n-1的一個公式。
on,n-1(α)=dXn-1/Bn-1°κn└(αn-1)+
κn└°dXn-1/Bn-1(αn-1)
其中κn是n階Kodaira-Spencer類(關于n階Kodaira-Spencer類的定義, 可參考文[8]),dXn-1/Bn-1是n-1階無窮小形變的相對萬有微分算子。
在本文中, 我們將給出以上定理n=1在的時候的一個Dolbeaut上同調計算的證明。在n=1時, 以上的定理表述為:
其中ρ∶T0B→H1(X,TX)是Kodaira-Spencer 映射。
在下文中, 我們將給出上面定理的證明。
(1)
這個短正合列誘導了下面的長正合列
其中,X1為X的1階段無窮小鄰域,現考慮這個長正合列連接映射
和
所以, 有
和
(2)
而不是短正合列(1)。短正合列(2)誘導了下面的長正合列
以及連接映射
∶Hq(X,→Hq+1(X∞,j-1(0?
另一方面, 因為有短正合列
(3)
誘導的以下映射
不難驗證
現考慮如下映射
φ′([ωt](V0)∶=φ(LV(Ωt))|X
其中,Lv為χ上的Lie導數,V為χ的光滑切向量場, 且滿足π*(V)(0)=V0。
關于以上映射, 我們有以下引理。
引理1 上述映射φ′是的定義是合理的, 且有
∧∧dωt,i-
int(·)(·)表示切向量場和形式作內積, 而
所以得到
為了證明φ′的定義是合理的, 我們需要證明:
首先證明(II), 給定V0, 現考慮向量場V, 滿足V為χ的切向量場, 且π*(V)(0)=V0。因為φ′([ωt])(V0)是取Lie導數,φ作用后再限制在X上, 所以只依賴于V|X。且從上面計算可以看到, 實際上φ′([ωt])(V0)只依賴于V0, 而不依賴于V|X在X切向上的分量。
根據定義
因為對于任意的(p,q)形式Ωp,q,有
所以
(?Ωt)))|X都是X上的恰當形式。所以有
?X(int(ρ(V0))(α))
綜上所述, 我們得到了定理3的證明。
參考文獻:
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