李衛東,王中科
(大連交通大學 電氣信息學院,遼寧 大連 116028)*
混雜動態系統(Hybrid Dynamic Systems)是研究同時包含連續變量動態過程和離散事件動態過程的復雜系統,其混雜特性表現為連續變量和離散事件的相互作用[1-2].混雜系統具有復雜性和特殊性,即便每個子系統是穩定的,混雜系統也不一定穩定;相反,如果有的子系統不穩定,那也不代表混雜系統是不穩定的[3].穩定性分析及綜合是控制系統研究的基本問題,不論在理論上還是在實踐中均有重要意義,且實際運行的系統一般都要求是穩定的.因此,自從混雜系統提出以來,穩定性問題便受到了研究人員的廣泛重視,近些年在混雜系統穩定性方面取得的理論成果也是頗為豐富的[4-5].目前,在混雜系統的穩定性研究中,主要有Lyapunov意義下的穩定性和Lagrange意義下的穩定性兩類.本文主要研究Lyapunov意義下的穩定性問題,同時為了使分析系統的穩定性問題能夠得到簡化,文中把穩定性條件等價為求解線性矩陣不等式的問題,同時借助了已有的計算機工具來進行了輔助分析.
本文討論了一類自治切換混雜系統,其控制器被設計成一個閉環的混雜系統.其方程描述如下:
式中,x∈Rn,m∈M={m1,…,mN},這里x表示連續狀態,m表示離散狀態,混合狀態空間H=Rn×M.該混雜系統模型的初始條件是(x0,m0)∈I0,I0表示所有可能初始條件的集合.切換集可以表示為如下形式:
每一個f(*,mi)表示一個子系統,當m的值改變的時候會導致向量場f發生改變.系統的變化過程可概括如下:由起始點處(x0,m0),當m0=mi,在時刻t0,演變軌跡可由x·=f(x,mi)得出.當x在t1時刻,其狀態變為(x1,mj),變化曲線可由x·=f(x,mj)得出.為了使混雜系統穩定性條件體現在函數f和φ中,前提是對于任意初始條件都存在使系統趨于穩定的條件,且f(x,mi)?mi∈ M 是連續的[6].
定義1 一個連續的函數α:R+→R+,滿足以下條件:
(1)α(0)=0;
(2)α(z)>0,?z>0;
(3)α(z1)≤ α(z2),z1< z2.則稱函數α為K類函數.
定理1 (Lyapunov穩定性定理)若存在函數V:Rn×R→R以及K類函數α:R+→R+,β:R+→R+滿足如下條件:
(1)α(‖x‖)≤ V(x,t)≤ β(‖x‖)
(2)?t≥ t0,V(x,t)≤ h(V(x0,t0)),h∈C[R+,R+],h(0)=0,R+= [0,+ ∞)(函數 h 引用于文獻[7])
則系統在平衡點0處是處于Lyapunov意義下的穩定狀態.若‖x‖→∞ 時,α(‖x‖)→∞則系統在平衡點0處是全局穩定的.
假設混雜系統(1)、(2)中的混雜狀態空間分為 l個不相交的區域 Ωq,q=1,…,l,Ωq既可以是有界的也可能是無界的,在每個區域Ωq中有函數Vq(x,t)作為系統的能量函數.為了在區域Ωq得到唯一的連續狀態,這里假定:
當 (x,m)∈ Ωq時,V(x,t)=Vq(x,t),且假定初始狀態是(x0,m0)∈ I0,能量是V(x0,t0).進而得出如下推論:
推論1 如果存在能量函數Vq(x,t),以及K類函數α:R+→R+,β:R+→R+滿足如下條件:
(1)?(x,m)∈ Ωq,α(‖x‖)≤Vq(x,t)≤β(‖x‖),q=1,…,l
(2)?(x,m)∈ Ωq,?t ≥ t0,Vq(x,t)≤h(V(x0,t0)),q=1,…,l
則系統在平衡點0處是處于Lyapunov意義下的穩定狀態.
推論2 如果存在能量函數Vq:×R→R,q=1,…,l與時間無關,且每個能量函數Vq(x)對x(?x ∈ Ωxq,q=1,…,l)可微,滿足如下條件,(1)?x∈,α(‖x‖)≤ Vq(x,t)≤β(‖x‖),q=1,…,l
(2)?(x,m)∈ Ωq,(x)≤ 0,q=1,…,l
(3)?x∈ Ωqr,Vr(x)≤ Vq(x),q=1,…,l,r=1,…,l
其中,α:R+→ R+,β:R+→ R+為 K 類函數,Ωqr表示系統從狀態區域Ωq進入到Ωr,則系統在平衡點0處是處于Lyapunov意義下的穩定狀態.
引理1 一個向量場f:Rn→Rn可以表示為如下形式:
根據上述引理可以把所有非線性子系統f(*,mi),mi∈M通過加權的線性子系統來表示,形式如下:
為了把系統穩定性條件轉化成為求解線性矩陣不等式的問題,這里考慮把能量函數表示為如下形式:
從而可以得出以下推論:
推論3 如果存在矩陣 Pq,q=1,…,l,α >0,β>0,滿足如下條件:
(3)?x ∈ Ωqr,Pr≤ Pq,q,r=1,…,l
系統在平衡點0處是Lyapunov意義下的全局穩定狀態.
考慮如下兩個包含離散狀態的混雜系統:
其中切換集為S12={x∈R2|x2=0},S21={x∈ R2|x2=0.5x1},初始狀態設為(x0,m0)=([- 5,5]T,m1),系統的狀態變化曲線如圖1所示,從圖中可見該混雜系統趨于0點的穩定狀態.
圖1 混雜系統狀態變化曲線
通過引理1可以把系統描述為如下形式:
根據推論3可以求得
能量函數的變化曲線如圖2所示,從圖中可以看出能量函數隨時間推移呈遞減趨勢,即系統滿足穩定性條件,從而證明了所提出理論是可行的.
圖2 能量函數變化仿真圖形
混雜系統中的穩定性問題是研究人員關注的重點內容之一,且已經在許多文獻中進行了闡述和分析.本文通過對經典穩定性理論進行擴展,給出了含有非線性子系統的自治切換混雜系統的穩定性判據.隨后,把穩定性問題等價轉化為線性矩陣不等式的問題,進而利用便利的計算機工具對給出的實例進行了仿真分析,通過仿真結果驗證了所提出理論的正確性及分析方法的有效性.
[1]莫以為,蕭德云.混合動態系統及其應用綜述[J].控制理論與應用,2002,19(1):1-8.
[2]MORSE A S,PANTELIDES C C.Introduction to the Special Issue on Hybrid Systems [J].Automatics,1999,35(3):347-348.
[3]BRANICKY M S.Multiple Lyapunov Functions and other analysis tools for switched and hybrid systems[J].IEEE Trans.Automat.Contr,1998,43(4):475-482.
[4]DECARLO R A,BRANICKY M S,PATTERSON S,et al.Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems[J].Proceedings of the IEEE,2000,88(7):1069-1082.
[5]DAVRAZOS G N,KOUSSOULAS N T.A Review of Stability Results for Switched and Hybrid Systems[C].Dubrovnik,9th Mediterranean Conference on Control and Automation,2001:235-244.
[6]SLOTINE J E,LI W.Applied Nonlinear Control[J].Prentice-Hall,2003,18(2):25-38.
[7]YE H,MICHEL A N,HOU L.Stability theory for hybrid dynamical systems[C].Croatia,In Proc.of 34th CDC,1999:2679-2684.