與非合作目標交會的多約束有限時間最優控制

鄧 泓，孫兆偉，仲惟超，陳長春

（哈爾濱工業大學衛星技術研究所，150001 哈爾濱）

與非合作目標交會的多約束有限時間最優控制

鄧 泓，孫兆偉，仲惟超，陳長春

（哈爾濱工業大學衛星技術研究所，150001 哈爾濱）

針對攔截衛星的末端軌道攔截任務，研究了基于狀態反饋的軌道控制器設計方法.考慮系統參數不確定性，建立了相對運動模型.同時考慮系統有限時間二次型性能指標、控制輸入限幅和極點配置，提出了多約束條件的控制器設計問題并給出了控制器的設計方法.該方法采用線性不等式技術，根據Lyapunov穩定定理推導出控制器存在的充分條件，并將控制器的設計轉化為一個凸優化問題進行求解.仿真結果表明，設計的控制器能夠使系統穩定，并且能在獲得最優系統有限時間性能的同時滿足控制輸入限幅和極點區域限制.

軌道控制;不確定性;有限時間性能;控制輸入限幅;極點配置

攔截衛星是指根據地面指令自動接近并識別敵方衛星，以實施攔截使其失效的人造地球衛星［1］.攔截衛星通過軌道控制實現對目標衛星的逼近.近年來，隨著推力器技術的發展，出現了推力可連續變化的噴氣推力器.由于推力連續可變，類似于衛星姿態控制，許多控制理論可被用于軌道控制.文獻［2］針對交會對接中的軌道控制問題，基于狀態反饋和自適應控制理論設計了控制器，該控制器在系統存在有界干擾和測量噪聲時依然有效;文獻［3］提出了一種魯棒H∞狀態反饋軌道控制器設計方法，該方法通過優化系統增益抑制系統外部擾動，從而提高控制器的魯棒性;文獻［4］通過引入相平面，將Lyapunov穩定理論用于軌道交會的控制器設計，并進行穩定性分析;文獻［5］將滑?？刂评碚撚糜谲壍揽刂破鞯脑O計，與最優控制相比，采用該方法設計的控制器具有更高的精度且便于工程實現.可見，相對于傳統的沖量式軌道控制［6－8］，基于控制理論的變推力軌道控制方法具有更靈活多變的形式，并可以對系統穩定性進行分析，從而達到更高的控制精度.

攔截衛星的攔截過程一般分為3個階段:地面引導段、自動尋的階段和最后逼近段［1］.本文主要針對攔截衛星的最后逼近段設計軌道控制器.為了快速完成攔截任務，以減少目標衛星發現并逃逸的時間，通常要求攔截衛星的攔截時間(即變軌時間)越短越好，因此可考慮采用有限時間最優控制.文獻［9－10］設計的控制器不僅使航天器完成了預期的軌道變化，同時還獲得了有限時間內系統狀態性能指標的最優值.由于攔截衛星的機動性強，系統模型中的一些參數不可能實時精確計算.此外，由于目標衛星的非合作性和空間環境的復雜性，目標衛星的軌道角速度很難獲得精確值.因此，十分有必要研究不確定系統的控制器設計方法，文獻［11］和［12］分別對具有不確定參數的離散系統和連續系統設計了控制器.文獻［13－14］針對推力器的推力大小有限，研究了控制輸入限幅約束下的控制器設計方法.為了保證閉環系統具有一定的動態特性，文獻［15］研究了極點區域約束下的控制器設計問題.

然而，這些文獻在設計控制器時只考慮了其中一項或幾項約束條件，很少綜合考慮上述所有條件.本文提出了一種基于狀態反饋的控制器設計方法，該方法不僅在保證閉環系統漸近穩定的同時優化了系統的有限時間性能，還考慮了參數不確定性、控制輸入限幅和極點配置約束條件.

1 問題描述

本文的攔截衛星軌道運動是在相對參考坐標系下描述的.該坐標系的坐標原點OI為目標衛星，XI軸沿目標衛星的矢徑方向，ZI軸與目標衛星軌道角動量矢量方向一致，YI與XI、ZI軸構成右手直角坐標系.假設目標衛星的軌道近似圓形，且攔截衛星相對目標衛星的距離遠遠小于目標衛星軌道半徑，則攔截衛星相對目標衛星的軌道運動可由Hill方程描述:

式中:x、y、z為相對參考系中攔截衛星的位置分量;Fx、Fy、Fz為相對參考系下攔截衛星的軌道控制力;ω為目標衛星的軌道角速度;m為攔截衛星的質量.

令狀態向量和軌道控制力向量分別為

則攔截衛星的相對軌道運動模型為

本文在設計控制器時，考慮了模型參數不確定性、系統的有限時間二次型性能指標、控制輸入限幅和閉環系統極點配置多個約束條件.

1)不確定性.從式(2)可以看出，相對軌道模型的主要參數為目標衛星軌道角速度和攔截衛星的質量.然而，由于目標衛星為非合作目標，且空間環境十分復雜，很難獲得精確的目標衛星軌道角速度.攔截衛星在軌道機動過程中，由燃料消耗引起的整星質量變化也不可能實時精確計算.因此，可考慮目標衛星軌道角速度和攔截衛星質量的不確定性具有如下形式:

式中:ω0、m0分別為軌道角速度和衛星質量的理論值;δ1(t)、δ2(t)為不確定度且分別滿足|δ1(t)|≤1和 | δ2(t)|≤2;1、2均為不確定度幅值.

考慮上述不確定參數后，攔截衛星的相對軌道運動模型可寫為

將不確定部分ΔA(t)和ΔB(t)均寫成范數有界不確定形式:

2)有限時間性能指標.由于攔截衛星任務的特殊性，往往要求其能在有限時間內達到預期軌道且燃料消耗小.因此，考慮如下系統狀態變量和控制變量的有限時間線性二次型性能指標，通過設計控制增益陣K，使該性能達到最小:

式中:S、Q和R均為已知的正定對稱矩陣;t0和tF分別為初始時刻和終端時刻.

3)控制輸入限幅.攔截衛星進行軌道機動時一般采用噴氣推進器.由于推進器的推力有限，控制器的設計應滿足

4)極點配置.由于模型的不確定性和各種擾動，精確的極點配置很難實現.若將閉環系統的極點配置在復平面上適當的區域中，可以保證系統具有一定的動態特性.本文研究的是圓盤區域約束，即閉環系統的所有極點都在圓盤區域Θ(r，q)中，其中Θ(r，q)表示復平面上半徑為r，中心在(－q，0)的1個圓盤區域.

本文設計的控制器采用了狀態反饋控制，其結構如下所示:

式中:K為狀態反饋控制增益陣.

故閉環系統可寫為

因此，本文的控制器設計問題可描述為:設計控制增益陣K，使不確定系統(9)漸近穩定且使系統有限時間二次型性能指標J達到極小值;控制輸入滿足式(7);閉環系統極點都在圓盤區域Θ中.

2 控制器設計

為了證明后文提出的定理，在設計控制器之前先給出幾個引理.

引理1［3］設L、M和N為具有適當維數的實數矩陣且滿足‖N‖≤1，則對于任意實數ε＞0，有

引理2［15］設Y、M和N為具有適當維數的矩陣，其中Y是對稱陣，則對任意矩陣Γ滿足ΓT?！躀，有Y+MΓN+NTΓTMT＜0.當且僅當存在一個常數 ε ＞0，使得Y+εMMT+ε－1NTN ＜ 0.

引理3［3］設M和N為具有適當維數的矩陣，對于任意實數ε＞0，有

引理4(Schur補引理)［16］對給定的對稱矩陣

其中Y11是r×r維的，以下3個條件是等價的:

定理1 給定不確定系統(3)和狀態反饋控制律(8)，如果存在正定對稱矩陣P滿足

則閉環系統(9)漸近穩定且性能指標(6)有上界

證明 因為Q和R均為正定陣，所以

由式(10)可得

由Lyapunov穩定定理可知，系統(9)穩定，且Lyapunov函數為V(t)=XT(t)PX(t).

將式(8)帶入性能指標(6)并考慮式(10)可得

證畢.

定理2 給定不確定系統(3)和任意常數η ＞0，如果存在常數 μ ＞0、λ ＞0、α ＞0和適當維數矩陣Ω =ΩT＞0、Ψ滿足

式中* 表示對稱陣.則存在狀態反饋控制律u(t)=KX(t)，使閉環系統(9)漸近穩定并同時滿足控制輸入式(7)、閉環系統極點都在圓盤區域Θ中、系統有限時間二次型性能指標有上界

且控制增益陣K可由下式計算:

證明 由定理1可知，如果不等式(10)和(11)都成立，則閉環系統(9)漸近穩定且性能指標(6)有上界.將不確定結構(4)和(5)代入式(10)可得

由引理2可得，存在常數μ＞0，使得當下式成立時，式(20)成立.

由Schur補引理可將上式寫成

用 J1=diag(Ω，I，I)對式(21)做全等變換并再次利用Schur補引理，則可得到式(13).

用Ω對式(14)做全等變換得

利用Schur補引理，則式(23)等價于式(14).

可見，當式(13)和式(14)成立時，閉環系統(9)能漸近穩定且性能指標(6)有上界.

由文獻［15］可知，閉環系統(9)的極點都在圓盤區域Θ(r，q)中當且僅當

用J2=diag(Ω，Ω)對式(24)做全等變換并將不確定結構代入.由引理2知，存在常數λ＞0，使得當下式成立時，則式(24)成立.

再由Schur補引理即可知，式(25)等價于式(15).即當式(15)成立時，閉環系統(9)的極點都在圓盤區域Θ(r，q)中.

由文獻［17］可知，如果存在常數α＞0滿足

則控制輸入能滿足式(7).利用Schur補引理，可知式(26)和式(16)等價.用Ω對式(27)做全等變換并根據Schur補引理可得

由引理3可知，對于任意常數η＞0，當下式成立時，式(28)一定成立:

再由Schur補引理知，上式等價于式(17).可見，當式(16)和式(17)成立時，控制輸入滿足式(7).

由式(12)和式(26)可知J＜α，即式(18)得證.由式(22)知，式(19)成立.證畢.

推論1 可以通過求解如下凸優化問題來設計狀態反饋控制器，并獲得系統有限時間二次型性能的最優值:

即對于給定的常數η＞0，尋找滿足不等式(13)～(17)的常數μ＞0、λ＞0、α＞0和適當維數正定對稱矩陣 S－1、Q－1、R－1、Ω 和矩陣 Ψ，使得α值最小，則由式(19)計算可得控制增益陣K.

注: 在傳統的控制器設計中，通常先給定權矩陣S、Q、R.但在求解線性矩陣不等式時，給定權矩陣往往會增加解的保守性甚至無解［17］.因此，本文把權矩陣均看作變量矩陣進行求解.

3 應用實例與分析

給定η =102，利用MATLAB中的LMI工具求解推論1，可J＜α=1.832 5.

則由式(19)計算可得控制增益陣為

根據上述設計的狀態反饋控制器，可仿真得到系統控制結果，如圖1～5所示.圖1和圖2分別為相對位置和相對速度變化圖.從圖中可知，相對位置和相對速度均快速收斂，在500 s內分別收斂到10 m和0.1 m/s，800 s時分別為0.1 m和0.002 m/s.圖3為攔截軌道示意圖，可以看出，攔截衛星以近似直線的路徑向目標衛星靠近，這樣可以減少被發現后目標衛星的反應時間.圖4為三軸控制力曲線圖，可見推力均小于幅值500 N.圖5給出了開環系統和閉環系統的極點位置.可見，開環系統的極點均在零點附近，而通過控制器的設計，閉環系統的極點均在左半復平面，且處于圓盤區域Θ(1，1)中.由以上仿真結果可知，所設計的控制器是有效的，且滿足控制輸入限幅和極點區域限制.

圖1 相對參考坐標系下的相對位置

圖2 相對參考坐標系下的相對速度

圖3 相對參考坐標系下的攔截軌道

圖4 三軸控制力輸入曲線

圖5 開環系統和閉環系統極點示意圖

為進一步驗證本文控制器設計方法對不確定系統的適用性，在仿真中，令目標衛星軌道角速度的不確定度幅值為1=0.5，攔截衛星質量的不確定度幅值為2=0.5，其它參數不變.結果表明，相對位置和相對速度依然快速收斂并穩定，500 s內仍可分別收斂到10 m和0.1 m/s，800 s時控制精度分別為0.1 m和0.002 m/s.這說明設計的控制器是有效的，并且對系統的不確定部分具有較好的魯棒性.

為說明參數不確定性對閉環系統性能的影響，在本文控制器設計時不考慮參數的不確定性，且在其他約束條件和仿真條件不變的情況下，可計算控制增益陣為

在該控制器下，相對位置和相對速度的仿真結果如圖6和圖7所示，其動態收斂過程的性能差于圖1和圖2，且800 s時控制精度分別為1.7 m和0.03 m/s.可見，若不考慮參數不確定性，將會影響閉環系統的動態特性且控制精度底，從而說明了本文算法對參數不確定系統的有效性.

圖6 不考慮參數不確定性時的相對位置

圖7 不考慮參數不確定性時的相對速度

4 結論

1)本文針對攔截衛星的軌道攔截任務，考慮了多約束條件和系統有限時間二次型性能指標的優化，提出了一種基于LMI的軌道控制器設計方法.仿真結果表明，在系統模型存在不確定參數時，本文設計的控制器能夠使系統穩定，并且能在獲得最優系統有限時間性能的同時滿足控制輸入限幅和極點區域限制.由于本文設計的控制器采用的是狀態反饋控制，其結構簡單，因而便于工程應用.

2)本文對系統的有限時間二次型性能指標進行了優化.但由于攔截衛星任務的特殊性，需要進一步研究系統在有限時間內的穩定問題.因此，下一步的工作是基于LMI方法設計控制器，使系統在有限時間穩定并滿足多約束條件.

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Finite time optimal control for non-cooperative targets rendezvous with multi-constraints

DENG Hong，SUN Zhao-wei，ZHONG Wei-chao，CHEN Chang-chun

(Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

This paper studies the problem of orbit control for intercepting satellite based on state feedback control considering parametric uncertainties，finite time performance，control input constraint and poles assignment.The sufficient condition of controller is derived by Lyapunov approach，and then the controller design is transformed into a convex optimization problem in terms of linear matrix inequality.An illustrative example shows that the system is asymptotically stable with the designed controller and the optimal performance is obtained with control input and poles assignment constraints.

orbit control;uncertainty;finite time performance;control input constraint;poles assignment

V448.234

A

0367－6234(2012)11－0020－07

2011－10－09.

鄧 泓(1986—)，女，博士研究生;

孫兆偉(1963—)，男，教授，博士生導師.

鄧 泓，denghong@yeah.net.

(編輯 張 宏)