復雜結構振動響應預示的能量方法

趙 陽，王 坤

（哈爾濱工業大學航天學院，150001 哈爾濱）

復雜結構振動響應預示的能量方法

趙 陽，王 坤

（哈爾濱工業大學航天學院，150001 哈爾濱）

針對復雜結構的振動響應分析，利用彈簧質量系統對模糊結構進行建模，建立了帶有附加模糊結構的桿和梁的運動控制方程，在此基礎上，進一步推導了能量密度的控制方程，以能量密度為輸出響應進行了結構振動的仿真分析.仿真結果顯示，模糊結構對結構振動能量密度響應的影響在其固有頻率附近最大，這種影響通過模糊結構產生的隨頻率變化的等效質量實現，在模糊結構固有頻率以內的低頻域，等效質量為正，降低了結構振動的能量密度響應，在高于固有頻率的頻域內，等效質量為負值，使得結構的能量密度響應增大.

模糊結構;能量密度;振動響應預示

各種工程結構的振動響應分析一直是很重要的問題，有限元法作為成熟的技術，在振動分析領域得到了廣泛應用.由于有限元法的計算成本會隨著頻率的升高而增大，因此并不適用于高頻領域.為解決高頻域的聲振預示問題，Lyon［1－2］提出了新的振動分析方法——統計能量分析.自此，基于能量的振動分析方法得到了長足發展，Nefske和Sung［3］在分析梁結構的振動時，利用能量密度作為變量得到了結構振動的另一種形式的控制方程——能量密度控制方程，此方法經過 Bouthier［4－5］和 Cho［6］等人的推廣，通過與有限元技術結合，發展成為實用的能量預示方法，被稱為能量有限元法.Xiaoyan Yan針對復合材料層合板結構推導了能量密度控制方程［7］.Sung-Min Lee則利用能量有限元法與周期理論相結合，計算了旋轉體結構的響應并進行了實驗驗證［8］.與有限元技術的結合使其可以得到比統計能量分析更為精細的結果，另一方面，由于以平均化的能量密度為變量，大大減小了計算成本.此預示方法在結構振動分析領域具有很好的應用前景與實用價值.

針對實際結構進行聲振響應分析時，結構的建模面臨著一些困難.這是由于實際工程結構一般比較復雜，在主結構之外還有許多附加結構，這些附加結構在一定程度上改變了主結構的振動響應，但由于難以建立精確模型，傳統的處理方法經常忽略這些內部結構，或者作為固結的附加質量處理.為了研究附加結構對主結構振動響應的影響，Soize［9］將可建模的主要部分稱為主結構，與主結構相連的附加結構定義為模糊結構，研究了模糊結構對于主結構的阻抗特性.Pierce等［10］在對Soize的理論進行簡化的基礎上，從聲振角度分析了附加結構的影響.本文將模糊結構理論引入能量預示方法，從振動響應的能量密度出發，以桿和梁結構為研究對象，研究了帶有附加模糊結構的桿和梁振動的能量密度響應的特點.

1 桿結構的振動建模

模糊結構的精確建模是一個十分復雜的問題，從動力學角度來看，模糊結構的組成要素為質量、剛度和阻尼，因此可以利用彈簧質量系統進行建模.由此，圖1所示的桿結構滿足的動力學方程為［11］

式中:F為桿內力，j為虛數單位，x表示桿的坐標，ω為激振頻率，m'表示彈簧質量系統的質量，ω0表示彈簧質量系統的自然頻率，E為桿的彈性模量，S為截面積，vs表示桿振動的速度.

圖1 帶彈簧質量系統的桿或梁

由方程(1)和方程(2)，以速度為變量的桿的運動控制方程

方程的通解為

式中:U(x，t)表示位移，t表示時間，A和B為待定系數，由邊界條件確定.

式中:ν=ω/ω0為激振頻率與主結構桿的固有頻率之比，k0為主結構桿的縱向振動波數.

桿運動的勢能和動能分別為

則桿運動的總能量為

桿內力的功率

對變量進行平均，可以得到功率與能量密度的關系式

利用能量平衡方程［4］，可以得到帶模糊結構的桿的能量密度控制方程為

式中:c為桿結構的波群速度，η為阻尼系數，e為桿中時間和空間平均的能量密度.此控制方程在形式上與文獻［3］中無附加結構桿的能量密度控制方程相同，需要注意的是，由于此控制方程在推導過程中考慮了附加模糊結構的影響，式(5)中的波速不同于文獻［3］中的波速，它引入了附加模糊結構的質量，并直接影響到了能量密度響應.

2 梁結構的振動建模

同樣利用圖1所示結構，梁受到模糊結構的作用力為

式中:w為梁的橫向振動位移，Z為彈簧質量系統的基礎激勵阻抗.

則運動方程變為

式中:kb0為主結構梁的彎曲振動波數.

得到帶模糊結構的梁的運動控制方程:

式中:ζ=ω/ω0為激振頻率與主結構梁的固有頻率之比，等效波數

Russel給出了具有以上形式的運動控制方程，并指出梁結構與板結構的運動方程具有相同形式［12］.本研究針對梁結構，在此運動方程的基礎上推導能量密度的控制方程.

方程通解形式為

式中:A、B、C和D表示待定系數，通過邊界條件確定.

梁中的功率為

梁結構運動的勢能和動能分別為

同樣利用能量平衡關系，對變量進行平均化，可以得到功率與能量密度的關系式

及帶模糊結構梁的能量密度控制方程

式中:c為梁結構的波群速度，η為阻尼系數，e為梁中時間和空間平均的能量密度.

可以看到，帶模糊結構的梁振動的能量密度控制方程與帶模糊結構的桿的能量密度控制方程具有相同的形式.并且與簡單結構的能量密度控制方程相同的形式，這樣，已有的能量控制方程的解法可以直接得到應用.

3 仿真分析

針對附加模糊結構對主結構運動的影響，在模糊結構質量與主結構質量之比為0.01、0.05和0.10時，進行數值仿真，得到了桿和梁結構中點位置波速和能量密度響應隨頻率的變化.桿彈性模量E=5 000 N/m2，長 L=1 m，阻尼 η =0.01，線密度 ρS=2 300 kg/m梁的抗彎剛度EI=7 200 Nm2，長 L=1 m，阻尼 η =0.01，線密度 ρS=3 200 kg/m.

圖2和圖3分別顯示了帶有模糊結構的桿的波速與能量密度響應與頻率的關系.由圖2，由于模糊結構的存在，桿結構波速c在低頻段減小，但幅度較小，隨著頻率的升高，在接近模糊結構共振頻率ω0時，變化幅度變大，并在ω0附近發生急劇變化，波速c由極小值變為極大值，并隨著頻率的進一步升高而降低，最終趨于無模糊結構桿的波速c0.圖3顯示桿的能量密度e由于模糊結構的存在，在低頻段變大，并隨著頻率的升高而繼續增大，在模糊結構共振頻率ω0附近由極大值變為極小值，隨后隨著頻率的升高而回升，逐漸趨向于無模糊結構桿的能量密度響應值e0.模糊結構質量分數大的桿，在達到固有頻率之前，波速c減小幅值更大，能量密度e的增加幅值更大，在固有頻率之后波速c增大的幅值更大，能量密度e減小的幅值更大.

圖2 桿的波速隨頻率變化圖

圖3 桿的能量密度隨頻率變化圖

圖4和圖5是帶模糊結構的梁的波速和能量密度響應隨頻率變化情況.跟桿結構的趨勢相似，梁結構的波速c在低頻域因模糊結構影響而減小，在頻率到達模糊結構固有頻率ω0前達到極小值，隨后急劇改變達到極大值，隨著頻率的進一步升高，波速趨向于主結構梁的波速c0，梁的能量密度e則是在低頻域逐漸增大，經過ω0后變為極小值，以后繼續增大并趨向于e0.模糊結構質量分數大的梁，在達到模糊結構固有頻率前，波速c增加的幅值更大，能量密度響應e的減小幅值更大，在固有頻率之后波速c減小的幅值更大，能量密度e增加的幅值更大.

圖4 梁的波速隨頻率變化圖

圖5 梁的能量密度隨頻率變化圖

4 結論

通過對帶有附加模糊結構的桿和梁的振動的能量密度響應分析可以發現，模糊結構的存在引起了主結構的運動控制方程參數的變化，其對桿和梁結構能量密度響應的影響在固有頻率附近最大，這種影響通過對波速的改變來實現，結構波速c的增大降低了結構的能量密度響應e，波速的減小則增大了能量密度響應值.波速c的改變反映的是結構等效質量的改變，因此，模糊結構對主結構的影響實際是產生對主結構的等效質量實現的.對于桿和梁結構，以帶無阻尼模糊結構的桿為例，利用前文得到的波數表達式，桿的波速為

波速在模糊結構固有頻率以內的低頻域，隨著激振頻率的升高，頻率比 ν＜1，因此(m'/ρS)/(1－ν2)項為正，且不斷增大，對于波速而言，這跟模糊質量m'為正且不斷增大產生的效果相同，因此降低了結構振動的能量密度響應，在固有頻率之后，頻率比ν＞1，在此情況下，模糊結構項(m'/ρS)/(1－ν2)為正，且絕對值不斷減小，對波速而言，等效于模糊質量m'為負且絕對值不斷減小，這樣，主結構振動的能量密度響應相應的增大，隨著頻率的繼續升高，等效質量逐漸減小直至趨近于零.此等效質量作為振動頻率的函數，其具體形式是一個難點，目前尚未見有深入研究，需要在未來工作中作進一步探討.

［1］LYON R H，MAIDANKIK G.Power flow between linearly coupled oscillators［J］.Journal of Acoustic Society of America，1962，34(5):623 －639.

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［3］NEFSKE D J，SUNG S H.Power flow finite element analysis of dynamic system:Basic theory and application to beams［J］.Transactions of the ASME，1989，111(1):94－100.

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［5］BOUTHIER O M，BERNHARD R J.Simple models of energy flow in vibrating membranes［J］.Journal of Sound and Vibration.1995，182(1)129 －147.

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［8］LEE Sungmin.Energy finite element method for high frequency vibration analysis of composite rotorcraft structure［D］.Michigan:Univer－sity of Michigan，2010.

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［12］RUSSEL D A.The theory of fuzzy structures and its application to waves in plates and shells［D］.University Park:Pennsylvania State University，1995.

Vibration response prediction for the complex structures using energy method

ZHAO Yang，WANG Kun

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

Rod and beam with fuzzy structures is modeled using sprung mass system to analyze vibro-acoustic responses of complex structures.Energy density is used as response method to simulate the structural vibration，and the simulation indicates that the fuzzy structures affect the master structure maximally around the natural frequency of the fuzzy structures.The effect acts as a frequency dependent equivalent mass.The equivalent mass is positive under the natural frequency of the fuzzy structure and negative over the frequency.The positive equivalent mass decreases，while the negative one increases the vibration energy density responses.

fuzzy structures;energy density;vibration response prediction

TB123

A

0367－6234(2012)09－0025－04

2011－08－04.

國家自然科學基金資助項目(11072066).

趙 陽(1968—)，男，教授，博士生導師;

王 坤(1985—)，男，博士研究生.

王 坤，alacarte@163.com.

(編輯 苗秀芝)