反向旋轉雙轉子碰摩振動分析

陳松霆，吳志強

(天津大學 機械學院力學系，天津 300072)

目前，雙轉子結構已經在國內外的各種飛機發動機上得到廣泛應用，相對于單轉子結構，雙轉子的渦輪和壓氣機在減輕氣流喘振方面具有較大的優勢，而雙轉子反向旋轉有助于減小系統的陀螺效應，因此對反向旋轉雙轉子的研究具有一定的現實意義。同時在雙轉子旋轉系統中，內外轉子之間隨著轉速的變化必然會產生耦合作用，碰摩作為內外轉子之間相互作用的一種，也是各國學者研究的熱門方向。Ferraris和Lalanne等[1－2]對反向旋轉雙轉子動力學行為進行了預測分析。Muszynska 和 Mxjszynska 等[3－5]對轉靜碰摩現象進行了研究。國內也有很多學者對雙轉子系統和碰摩現象進行了理論和試驗的研究，羅貴火等[6－8]對反向旋轉雙轉子系統的響應和力學特性做了較為系統的研究。晏礪堂和岳國金等[9－10]對轉子碰摩特征進行了分析。本文則是對內外轉子之間無聯接軸承的雙轉子系統的碰摩運動現象進行研究，并分析各種系統參數對整個系統運動狀態的影響，為雙轉子發動機的設計提供一定的參考價值。

本文綜合采用了Ferraris的雙轉子模型[1]和岳國金的碰摩模型[10]，建立運動微分方程，并分析了系統的動力學行為，討論了粘性阻尼系數、碰摩剛度系數和支撐彈簧剛度對系統運動狀態的影響。

1 系統模型的建立

雙轉子碰摩系統的簡化模型如圖1、2所示。圖1模型參考了文獻[1]中的雙轉子模型，由兩個轉子構成，內轉子代表低壓轉子，外轉子代表高壓轉子。模型中轉子是對稱的，軸的橫截面是個定值。滾珠軸承在A，B，D支撐點處的剛度被假設成極大值，所以轉子在A，B，D處可看成是簡支，內轉子的軸半徑為R1，盤的半徑為R2，盤的厚度為H1;外轉子的軸內半徑為R3，外半徑為R4，盤的半徑為R5，盤的厚度為H2;在本文模型中雙轉子存在粘性阻尼系數λ;L，l1，l2，l3，l4含義如圖1所示;圖2為雙轉子在C點處的碰摩模型[6]，雙轉子之間可以認為是彈性接觸，該法向方向的彈性系數即碰摩剛度系數為kc，碰摩間隙r0如圖1上所示，且忽略摩擦引起的熱效應，同時外轉子在X和Z方向各有支撐彈簧kXX和 kZZ存在。

圖1 雙轉子模型Fig.1 Model of the dual-rotor system

圖2 C點處碰摩模型Fig.2 Rub-impact model at point C

1.1 轉子位移表達式

由文獻[1]知內轉子在x，z方向的線位移為:

角位移為:

外轉子假設為剛體，所以外轉子在x，z方向振動的線位移為:

角位移為:

由于g2是一個常數，所以:

上述表達式中q1，q2為內轉子軸的形心的水平和垂直位移;q3，q4為外轉子在 C點處軸心的水平和垂直位移。

1.2 碰摩力表達式

由于在本文中高壓轉子與低壓轉子之間的短時接觸被認為是彈性接觸，而且忽略摩擦引起的熱效應，如圖2所示，則假設碰摩轉子之間的摩擦服從庫侖摩擦定律，碰摩力[10]為:式中為兩轉子之間的間隙。

FN1，FT1，FN2，FT2分別為低壓轉子和高壓轉子在碰摩作用下受到的法向力和切向力。

將四個力在x，z方向投影后得到:碰摩對內轉子的作用力:

碰摩對外轉子的作用力:

1.3 不平衡質量產生的激振力表達式

激振力是由不平衡質量mu偏離轉動軸距離d產生的，當不平衡質量位于圓盤D1，y=l1處時，Ω1為內轉子轉速，力的表達式為:

當不平衡質量mu位于圓盤D2，y=l3處時，Ω2為外轉子轉速，力的表達式為:

1.4 系統的運動微分方程

由轉子動力學理論[11]和拉格朗日方程可推導出雙轉子系統的運動微分方程為:

其中:MD是圓盤質量;IDX，IDY分別是盤相對 x軸和y軸的轉動慣量;S是軸橫切面面積，I是軸對中性軸的截面慣性矩;P為轉子的重力;E是楊氏模量;ρ是材料密度;λ為粘性阻尼系數;下標1，2分別代表內轉子和外轉子。

2 系統振動分析

2.1 系統的參數

為了便于分析研究系統的振動響應，選取合適的系統參數就非常重要，本文雙轉子碰摩系統簡化模型[1]內轉子長度L=0.4 m，內轉子軸半徑R=0.02 m，內轉子盤的半徑 R=0.15 m，盤的厚度H1=0.03 m，外轉子軸的內半徑 R3=0.03 m，外半徑R4=0.035 m，盤的半徑R5=0.1 m，材料的彈性模量E=2 ×1011N/m2，材料密度 ρ=7 800 kg/m3，內外轉子初始轉角差φ=π/3，內轉子受到的重力P1=197.63 N，外轉子受到的重力P2=50.47 N，粘性阻尼系數選取λ=600 Ns/m做參考值[6]，支撐彈簧剛度選kXX=kZZ=8×106N/m做參考值，碰摩剛度系數選取kc=5×106N/m為參考值，碰摩間隙選r0=0.001 3 m為參考值，摩擦系數μ取0.1，雙轉子盤上的不平衡質量選mu1d=mu2d=10 g·mm為參考值，如果r大于等于r0，sta的值取1，否則sta=0。同時經過計算分析:A1=7.906 kg，A2=1.570 5 kg，a1=2.892 5 kg，a2=0.355 8 kg，k1=1.913×107N/m。

下面我們將采用Runge-Kutta法對系統進行數值求解，并對系統振動響應進行分析。

2.2 不同轉速下反向旋轉雙轉子的振動響應

選取內外轉子轉速比為1∶1.5，并計算轉子轉速在300～2 000 rad/s(即約為3 000 r/min～20 000 r/min)范圍內系統的振動響應，圖3和圖4分別是系統外轉子和內轉子的分岔圖，圖5(a)和(b)是內轉子分別在轉速900～1 050 rad/s和1 030～1 080 rad/s范圍內的分岔圖，分岔圖中橫坐標的數值代表內轉子轉速W與額定轉速w0=1 000 rad/s的比值，圖6(a)～(f)則是系統內轉子在不同轉速下的龐加萊截面圖，計算結果表明:雙轉子系統的內外轉子運動規律基本一致，當系統的內轉子轉速為300～940 rad/s時內外轉子的分岔圖都為一條曲線，內轉子龐加萊圖也近似為一個點，這表明雙轉子系統的運動狀態為周期運動，當內轉子轉速為940～1 070 rad/s時，系統的分岔圖形變得較為復雜，內轉子的龐加萊圖在內轉子轉速為950 rad/s時呈環狀圖形，這表明內轉子的運動狀態為擬周期運動，當內轉子轉速為1 060 rad/s時內轉子在此轉速附近范圍的分岔圖為兩條分岔曲線，龐加萊圖近似為兩個點，這表明內轉子在做倍周期運動，在此整個轉速區間內系統的運動變化趨勢為周期運動→擬周期運動→倍周期運動→周期運動，當內轉子轉速為1 070～2 000 rad/s時，系統的分岔圖又變為一條曲線，龐加萊圖則近似為一個點，這表明系統的運動狀態為周期運動。

圖3 外轉子分岔圖Fig.3 Bifurcation of external rotor

圖4 內轉子分岔圖Fig.4 Bifurcation of internal rotor

圖5 內轉子在碰摩區域的分岔圖Fig.5 Bifurcation of internal rotor in rubbing region

圖6 內轉子在不同轉速下的龐加萊截面圖Fig.6 Poincare of internal rotor at different speeds

圖7 (a)和(b)中只有W1一個頻率成成分，代表內轉子在不同轉速下的不平衡力頻率，與分岔圖和龐加萊圖相對應，表明在300～940 rad/s轉速范圍內系統未發生碰摩現象，保持周期運動狀態;圖7(c)中頻譜圖包含多個頻率成分，既有內轉子不平衡力頻率W1，外轉子不平衡力頻率W2，也含有兩者的混合頻率成分，以及分頻成分，再與分岔圖和龐加萊圖相對應，表明在此轉速系統發生碰摩，且非線性現象明顯，系統保持擬周期運動狀態;圖7(d)中只包含兩個頻率成分，內轉子不平衡力頻率W1和外轉子不平衡力頻率W2，且內轉子的振幅能量強度明顯大于外轉子的振幅能量強度，表明系統正逐漸脫離碰摩狀態;圖7(e)和(f)則表明系統脫離碰摩狀態，保持周期運動狀態。

從上面的分析結果可知，系統內轉子的一階臨界轉速約為1 000 rad/s，當系統的轉速接近臨界轉速時，系統發生共振，振動強度加劇，振幅變大，從而使內外轉子系統發生碰摩導致系統的運動狀態變的較為復雜，當內轉子的轉速繼續增大，系統開始脫離共振區域，系統的振幅開始減小，系統的運動又逐漸平穩。這對雙轉子系統的研究有重要的參考價值。

圖7 內轉子在不同轉速下的頻譜圖Fig.7 Spectrum of internal rotor at different speeds

圖8 碰摩時粘性阻尼系數不同時內轉子分岔圖Fig.8 Bifurcation of internal rotor for different damping coefficients

2.3 粘性阻尼系數對系統振動的影響

由于飛機發動機的工作環境變化較大，因此它的粘性阻尼系數一般不為定值，因此研究確定合適的粘性阻尼系數變化范圍對飛機發動機的安全運行有重要的參考價值。圖8(a)～(d)為雙轉子發生碰摩情況下粘性阻尼系數不同時內轉子的運動分岔圖，結果分析表明:隨著粘性阻尼的逐漸減小系統的運動狀態變得越來越復雜，而且保持系統平穩運動狀態的粘性阻尼系數變化范圍也在變小，系統在碰摩區域還容易出現徹底失穩現象。當λ≥450 Ns/m時，系統的運動狀態沒有發生太大的變化，當λ≤300 Ns/m時，系統在碰摩區域會出現徹底失穩的運動現象。

以上分析表明，在雙轉子系統中，要保持系統的運動狀態的平穩性，控制選取合理的系統阻尼參數是非常必要的，對雙轉子系統的設計有一定的參考價值。

2.4 碰摩剛度系數對系統振動的影響

本文雙轉子之間的相互作用主要是通過碰摩產生，因此研究不同的碰摩剛度系數對系統振動的影響是非常必要的，圖9(a)～(d)是外轉子系統在碰摩剛度系數不同條件下的運動分岔圖。結果分析表明:隨著碰摩剛度系數的增加，發生碰摩時外轉子系統的振動響應會逐漸變大，甚是會出現徹底失穩的運動現象。在圖9(a)和(b)中，當kc≥1×107N/m時，碰摩區域隨著碰摩剛度系數的增加有變大的趨勢，且外轉子系統由于在碰摩區域的X方向的振動響應值過大而導致在matlab中溢出而無法顯示，這表明外轉子在該碰摩區域容易出現徹底失穩的運動狀態;在圖9(c)和(d)中，當kc≤5×106N/m時，碰摩區域隨著碰摩剛度系數的減小有逐漸縮小的趨勢，外轉子系統在碰摩區域的運動狀態也變得較為平穩。

圖9 碰摩剛度系數不同時外轉子的分岔圖Fig.9 Bifurcation of external rotor for different damping coefficients

以上分析表明，雙轉子之間的碰摩剛度系數不宜過大，否則容易出現徹底失穩的運動現象，而且會導致碰摩區域變大，這對在雙轉子系統內外轉子聯接軸承的設計中選取合理的軸承剛度系數具有一定的參考價值。

圖10 支撐彈簧剛度系數不同時外轉子的分岔圖Fig.10 Bifurcation of external rotor for different support rigidity

2.5 約束彈簧剛度對雙轉子系統振動的影響

在本文雙轉子模型中，支撐彈簧主要作用在高壓轉子上，為了便于研究支撐彈簧剛度系數對系統運動狀態的影響，選取X方向支撐彈簧剛度kXX做系統變量，圖10(a)～(d)是外轉子系統在支撐彈簧剛度系數不同時的運動分岔圖。結果分析表明:支撐彈簧剛度系數過小容易導致外轉子徹底失穩。如圖10(a)和(b)，當kXX≥8×106N/m時，外轉子的運動狀態較為平穩，且在碰摩區域不會出現徹底失穩現象;圖10(c)和(d)，外轉子在整個轉速范圍內徹底失穩，因此在雙轉子系統的設計過程中，選取合適的支撐彈簧也是非常重要的。

3 結論

本文通過建立雙轉子碰撞摩擦運動模型，對系統的振動響應和運動狀態進行動力學分析，結論如下:

(1)雙轉子系統內外轉子發生碰撞摩擦時會產生復雜的力學現象，出現多種頻率成分，在一定的轉速范圍內會出現擬周期和近似倍周期等復雜的運動狀態;系統隨著轉速的增加在脫離共振區域后在一定條件下仍能保持較為平穩的周期運動狀態。

(2)隨著粘性阻尼系數的逐漸減小，轉子的振動響應有逐漸變大的趨勢，雙轉子系統的運動狀態在整個轉速范圍內也逐漸變得復雜，系統的碰摩區域也有變大的趨勢。

(3)在雙轉子系統的設計中，選取適當的碰摩剛度和支撐彈簧剛度對保持系統運動穩定性有重要的意義。

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