基于亥姆霍茲方程最小二乘法的運動聲源識別研究

楊德森，郭小霞，時勝國，胡 博

(哈爾濱工程大學 水聲工程學院，哈爾濱 150001)

有些噪聲源是伴隨運動產生的，使得它們的輻射噪聲帶有多普勒效應，傳統的聲源識別方法對此類噪聲源失去了作用，很難有效的識別定位噪聲源。鑒于近場聲全息不僅能用二維信息重建出三維空間的聲場量，而且由于利用了瞬逝波信息，還具有高空間分辨率，能夠準確重建聲場量等優點，國內外學者展開了對聲全息方法在運動聲源識別中應用的研究。

在國外，Kim和 Park等［1－5］利用移動框架技術對行駛車輛的聲場進行了分析，并且應用于車輛加速運動的聲場研究中，同時針對相位誤差比幅值誤差更容易引起輻射聲場發生扭曲變形的問題，提出通過修正系數來降低聲源移動速度所產生的相位誤差的方法。Ruhala和Swanson［6］進行了運動介質中的平面聲全息技術研究，提出了適用于運動介質的格林函數形式。在國內，楊殿閣、羅禹貢等［7－8］提出了基于近場聲全息理論的運動聲源識別方法，采用時域多普勒消除原理和近場聲全息重建原理對運動聲場進行重建分析，以上研究都實現了對運動聲源的準確識別。整體上看，運用聲全息方法對運動噪聲源的研究都是通過對信號進行消除多普勒效應處理后，運用合適的重建公式重建噪聲源的聲場信息。

考慮到移動框架技術可以快速得到空間離散采樣點，并且HELS方法是適用于任意形狀聲源的重建方法，具有實現過程簡單，計算量小且重建結果精度高等特點［9－12］。本文建立一種組合算法，應用于任意形狀運動聲源的聲場重建。該方法首先利用移動框架技術分析獲得已完成幅值及相位修正的空間離散聲壓值，然后運用HELS方法對聲場進行重建，完成對任意形狀運動聲源的聲場分析。

1 基本原理

1.1 移動框架技術

本方法引入三個坐標系，見圖 1［1－2］。

圖1 測量坐標系Fig.1 The measurement of coordinates

假設圖中(x，y，z)為參考坐標系，(xm，ym，zm)為水聽器陣所在的測量坐標系，(xh，yh，zh)隨目標運動的全息面坐標系。對于任意時刻t，三個坐標系中的各個值之間滿足以下關系:

定義測量坐標系與全息坐標系的相對速度為:um/h=um－uh，三個坐標系下的聲壓滿足:

其中pmic(xm，ym，zH;t)表示水聽器測量的聲壓;phol(xm+um/ht，yh，zH;t)表示全息面的聲壓。大多數情況下令xm=0，此時水聽器固定不動而目標運動，式(2)可簡化為:

可以看出上式給出了測量信號與全息坐標系的關系，等式的左邊是水聽器接收的隨時間變化的聲壓信號，信號中存在多普勒頻移，等式的右邊是與測量信號在時間上相對應的全息坐標。為進一步分析水聽器測量的聲壓與全息面的聲壓在空間上的內在關系，對全息面上的聲壓作時域傅里葉變換:

式中的Phol表示頻率為fh的聲壓的空間分布。對其作空域傅里葉變換得到聲壓的空間波數譜:

式(6)就是移動框架技術的基本理論公式。式(6)左邊表示測量信號的時域傅里葉變換，右邊的被積函數表示波數譜在x方向的多普勒偏移。

然而這個方法只適用于單頻率的聲源，當聲場是由一個單頻的點聲源發出的，則式(6)可簡化為:

對式(7)作時域反傅里葉變換:

將式(8)代入式(7)可得:

這是移動框架技術的重要推導式，該式說明:當已知聲源頻率時，全息面上聲壓的空間分布值可由水聽器接收的時域信號乘以ej2πfht獲得?？梢娨苿涌蚣芗夹g能夠快速的將時域信號轉化為空間平面離散點的信號，滿足HELS方法的數據要求，就可以將該處理后的數據作為HELS方法的輸入，構成基于運動聲源的組合HELS算法。

1.2 HELS算法

在密度為ρ0，聲速為c的無限流體介質中，考慮任意結構體的聲輻射。參考上節坐標系，利用HELS方法我們可以寫出任意點的聲壓p(，ω)［9］:

其中Ψj是坐標系下的基本函數。例如在球坐標系下Ψj可以寫成:

其中k=ω/c為聲波數，hn是球漢克爾函數，Pn，l是連帶勒讓德函數，變量 j，n，l的關系為:j=n2+n+l+1，l由－n變化到n。

如果矩陣是病態的，方程(12)可以通過奇異值分解求解，否則，可以利用廣義求逆的方法求得系數Cj，表示為:

一旦明確了系數Cj，就能夠利用方程(10)重建聲壓。

2 仿真研究

選取最有代表性的點聲源進行仿真研究，仿真模型如圖1所示，有一點聲源以1 m/s的速度由原點沿x軸向x軸正向做勻速運動，運動時間為1.6 s，即x軸的掃描范圍為(0－1.6 m)，定義聲源與測量線陣的最小距離為測量距離:zm=0.1 m(λ/6)。用一個固定的12元均勻線陣采集含有多普勒效應的時域信號，水聽器間隔為0.075 m(λ/8)，線陣幾何中心的位置坐標設為(x=0.8，y=0，z=0.1)，則 y 軸方向的掃描范圍為(－0.412 5 m－0.412 5 m)，相當于聲 源 的位 置 為(x=0.8，y=0，z=0)。雙聲源時兩個聲源的位置為(x=0.6，y=－0.2，z=0)與(x=1，y=0.2，z=0)。為了比較聲場重建精度，假設靜止聲源幾何中心與線陣幾何中心都位于z軸上，并將正橫距離zh=0.05 m平面上的聲壓值作為理論值。

為了直觀的表示聲場重建精度，令ps為測量得到的聲壓理論值，pr為計算得到的聲壓重建值，定義聲壓幅值的相對百分比誤差為:

表1 單聲源不同頻率時的聲場重建聲壓幅值誤差Tab.1 Reconstruction error of sound pressure as different frequency from single source

由表1可以看出該組合算法尤其適用于球形聲源，聲場重建精度很高，可以分析的聲源頻率范圍很寬，因為HELS方法是基于球面波疊加近似聲場的原理，對于單個點聲源和球形聲源能夠得到很高的相似度也就能夠獲得很高的聲場重建精度。

表2 雙聲源不同頻率時的聲場重建聲壓幅值誤差比較Tab.2 Reconstruction error of sound pressure as different frequency from double sources

由表2可以看出當聲場為存在多個噪聲源的復雜場時，該組合算法對聲源的頻率有一定的限制，只能夠較準確重建聲源頻率小于等于2.5 kHz的聲輻射場，但是能夠保證準確識別定位噪聲源，所以該組合算法能夠分析任意形狀運動噪聲源的輻射聲場。

3 試驗研究

3.1 運動聲源全息試驗測量

本試驗在消聲水池中進行，測量模型的參數選取與仿真研究一致。這里選取的頻率為 2.5 kHz、3.15 kHz、4 kHz、5 kHz、6.3 kHz。參考上述的參數選取原則，該試驗如圖2，圖3所示，

將球形發射換能器固定在一個吊放桿上，以它的幾何中心為參考坐標系的原點，水面距聲源1.8 cm，聲源距離陣列正橫位置的距離(z軸)為:zm=0.05 m(0.1 m，0.15 m)，陣列在 x 方向的運動范圍為:－0.8 m∶0.8 m。首先在機械架的標尺上做好標記，經過多次測量得到運動走架運動速度為2.67 cm/s，因為速度誤差對聲場重建有很大的影響，所以要盡量保證運動走架為勻速運動。

按照已經設置好的坐標系，雙聲源分布情況為:(－0.2，0.2，0)和(0.2，－0.2，0)其中大球距離水面1.6 m，小球距離水面2.0 m，如圖3所示。

3.2 試驗數據處理與結果分析

3.2.1 單聲源的重建結果

圖4(a)、給出了單聲源頻率為2.5 kHz時的聲場分布情況。圖4(b)給出了聲場中聲壓的重建分布圖，可見該組合算法能夠精確的識別定位噪聲源。由表3可以看到重建聲場的聲壓幅值相對誤差均在10%以下，而且重建誤差不隨頻率線性變化，只是在某一點有最小值，符合最小二乘法的特點。因為這次試驗選用的是球形發射換能器，正符合亥姆霍茲方程最小二乘法(HELS)的適用范圍，球面波疊加能夠更好的近似聲場，所以說該方法尤其適用于分析球形運動噪聲源的輻射聲場。

表3 不同頻率時的重建聲壓幅值誤差Tab.3 Reconstruction error of sound pressure as different frequency

圖4 f=2.5 kHz的聲壓理論參考值與重建值Fig.4 Theoretical and reconstruction value of sound pressure at frequency f=2.5 kHz

3.2.2 多個聲源的重建結果

由圖5可以看出，多個運動聲源的輻射聲場較單個聲源要復雜的多，不僅有聲源還會出現疊加峰，此時運用組合聲全息方法對聲源頻率有一定的要求:在該測量模型下，當聲源頻率小于等于2 500 Hz時雖然存在一定的幅值誤差但是能夠較精確的識別聲源位置，重建聲場的聲壓幅值誤差為23.984 8%，但是當聲源頻率大于2 500 Hz時聲場重建精度驟增，重建的聲壓分布不能反應兩個聲源的大小與位置，聲場重建誤差接近100%已經失去意義。這個結果與仿真研究相符，因為兩個點源排列類似于一個長型聲源，當聲源比例偏離(1∶1∶1)時，球面波擴展的收斂速度減慢，所以已經不能完備的近似聲場，所以獲得的聲場重建結果較差。

圖5 f=2.5 kHz的聲壓理論參考值與重建值Fig.5 Theoretical and reconstruction value of sound pressure at frequency f=2.5 kHz

3.2.3 不同測量面大小的反演結果

對于運動聲源來說，只要保證足夠的運動時間就能夠保證運動方向的測量面尺寸，所以這里只討論陣列方向的長度對分析運動聲場的影響。分別討論當測量陣陣元個數為n=12，10，8，6個時的聲壓場重建精度及定位分析。假設兩個聲源面的大小為0.4×0.4，則這三種情況下測量陣方向上陣列面與源面的比值為:2.06，1.69，1.31，0.94。

圖6 陣列面與源面之比為1.31時聲壓理論值與重建值Fig.6 Theoretical and reconstruction value of sound pressure as Sm/Sh=1.31

表4 不同測量孔徑時的聲場重建誤差比較Tab.4 Sound pressure amplitude error under the different ratio of measuring surface and source surface

由圖6可見，當測量面與聲源面比值為1.31(低于聲場變換聲全息的要求)時就能夠較好的識別和定位噪聲源，由表4看到當兩個面比值為2.06時聲場重建幅值誤差反而較小平面的誤差稍大，這是因為該工況下研究的聲源頻率為2.5 kHz，此時測量環境已經不滿足無限空間的條件，所以池底和水面的反射波對基陣兩端陣元的測量信號影響較大，減小測量面時是去除了兩端的陣元，相當于減小了反射聲波對聲場的影響，所以聲場重建精度有小量的提高。而且兩個面比值為1.69與1.31的聲場重建結果相差不大，誤差都僅為23%左右。試驗結果表明該組合方法對測量面尺寸的要求比較低，。所以該組合聲全息方法能夠利用小孔徑陣列獲得較高的重建精度，為其工程應用提供了方便。

4 結論

本文研究了MFAH與HELS組成的組合聲全息方法，并通過試驗驗證該方法能夠實現對任意形狀運動目標的噪聲源識別定位及聲場重建分析。通過選取不同參數的分析結果得出如下結論:

(1)該組合方法僅適用于較低頻率，頻率較高時傳遞矩陣的奇異性較嚴重得到的數值解也就越偏離理論值，誤差越大。

(2)該組合方法能夠重建任意形狀噪聲源的輻射聲場，并且能夠保證一定的重建精度。

(3)該組合方法對測量面的要求較低，測量面與聲源面比值僅為1.3就能夠獲得較好的重建結果而且與兩個面的比值為2的結果類似，能夠實現小測量面、快速識別定位運動噪聲源，這一優點非常有利于該組合聲全息方法在工程中推廣應用。

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