帶有梯度項的非線性雙曲方程正解的爆破

宋士勤 唐樹喬

(亳州師范高等?？茖W校理化系，安徽 亳州 236800；安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230039) (亳州師范高等?？茖W校理化系，安徽 亳州 236800；東南大學數學系，江蘇 南京 211100)

帶有梯度項的非線性雙曲方程正解的爆破

宋士勤 唐樹喬

(亳州師范高等?？茖W校理化系，安徽 亳州 236800；安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230039) (亳州師范高等?？茖W校理化系，安徽 亳州 236800；東南大學數學系，江蘇 南京 211100)

研究了具有齊次Dirichlet邊界和變指標反應項的非線性雙曲方程ut-div(|u|p-2u)=|u|q(x)(p>2)在(x,t)∈Ω×(0,T)(T>0)內非負解的爆破性質，并運用特征函數方法得到方程解在有限時刻爆破的條件。

變指標；梯度項；非線性雙曲方程；特征函數方法；爆破

近幾年來，帶有變指標反應項的非線性雙曲方程的爆破問題開始慢慢步入人們的視野［1-5］。下面，筆者討論帶有變指標反應項和梯度項的非線性雙曲方程：

(1)

式中，Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區域；p>2；初值u0(x),u1(x)是非平凡的非負連續有界函數；連續函數q(x)則滿足條件：

(2)

1 預備知識

2 解的有限時刻爆破

Ω1={x∈Ω:|u(x,t)|<1}Ω2={x∈Ω:|u(x,t)|≥1}

于是：

根據Ω2的定義，可以得到：

(3)

由Poincaré不等式，當u∈C1(Ω)時，有：

(5)

(6)

考慮方程：

(7)的非負解產生爆破的條件，有如下結論：

定理2設Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區域，p>2,α>-1,q>1,q(x)是滿足條件(2)的連續函數，且u(x,t)是方程(1)的一個正解。那么對于任意的一個充分大的初值u0(x)，一定存在一個有限的時間T>0，使得u(x,t)在有限時刻T爆破。

證明類似于定理1的證明，有:

［1］Antontsev S N,Shmarev S I. Existence and uniqueness of solutions of degenerate hyperbolic equations with variable exponents of nonlinearity［J］.J Math Sci，2008，150：2289-2301.

［2］Bokalo M M,Pauchok I B.On the well-posedness of a Fourier problem for nonlinear hyperbolic equations of higher order with variable exponents of nonlinearity［J］.Mat Stud，2006，26：25-48.

［3］Antontsev S N,Shmarev S I. A model porous medium equation with variable exponent nonlinearity: existence,uniqueness and localization properties of solutions［J］.Nonlinear Anal，2005，60：515-545.

［4］Pinasco J P. Blow-up for hyperbolic and hyperbolic problems with variable exponents［J］. Nonlinear Anal，2009,71：1094-1099.

［5］Bai Xueli,Sining Zheng. A semilinear hyperbolic system with coupling variable exponents［J］. Annali di Mathematic Pura ed Application,2011,190 (3): 525-537.

［6］Alaa N，Pierre M.Weak solutions of some quasilinear elliptic equations with data measures ［J］.SIAM J Math AnaI，1993，24：23-25.

［7］ Glassey R T. Blow-up theorems for nonlinear wave equations［J］. Math Z，1973，32：183-203.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.07.002

O175.26

A

1673-1409(2012)07-N003-02

2012-04-16

安徽省自然科學基金項目(KJ2011Z258)；江蘇省基礎研究計劃(自然科學基金項目)(BK2010404)；亳州師范高等?？茖W校數學教育專業(安徽省省級特色專業建設點)。

宋士勤(1973-),男，1998年大學畢業，碩士，講師,現主要從事微分方程方面的教學與研究工作。

［編輯］ 洪云飛