邊坡滑面正應力構成及分布模式選擇

盧坤林 ，朱大勇 ，楊 揚

（1.合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230009；2.合肥工業大學 安徽省土木工程與材料省級重點實驗室，合肥 230009）

1 引 言

極限平衡法一直是邊坡工程中最常用的穩定性分析方法，歷經多年發展，到目前已相當完善。在整個發展的過程中，學者們一直將多余未知量的假設選在條間作用力或作用位置上[1]，直到Bell[2]、朱大勇[3]和鄭宏[4]等將研究視線轉到滑面正應力的分布模式上來，他們將滑面正應力分布假設為含兩個待定參數的函數，根據整個滑體的3 個平衡條件，建立了含安全系數和兩個待定參數的3 個方程組，通過數學推導獲得了安全系數的顯示解答。該方法與其他嚴格的條分法相比，求解過程更便捷、易于編程實現且不存在收斂性問題。

筆者認為，恰當合理的滑面正應力分布模式是獲得安全系數正確解答的前提，劉華麗[5]和鄭宏[6]等均對此有過探討。目前，關于滑面正應力的假定模式，Bell[2]提出的公式為

朱大勇等[3]則提出的公式為

朱大勇等[7]推導出的公式為

楊明成[8]的公式為

鄭宏等[4]的公式為

上述假定模式中的 λ1和 λ2均為待定參數， xa、xb為滑面兩端點x 坐標，其他均為已知函數(量)，具體意義請查閱對應的參考文獻，此處從略。另外，為了表述統一，符號也作了調整。

由于不同學者采用的假設模式各異，為了規范假設模式，完善此類極限平衡法的理論基礎，還需要對滑面正應力的假設模式進行進一步研究。本文首先分析了滑面正應力的構成以及各組成部分對滑面正應力的貢獻大小，據此建議了具有理論基礎的滑面正應力分布模式。

2 滑面正應力修正法的基本過程

本節旨在介紹基于滑面正應力假定的極限平衡法基本過程，更詳細地分析可見朱大勇[3]或鄭宏等[4]的相關研究論文。

圖1 為具有一般形狀滑動面的邊坡，滑面為y = s ( x)，坡面為 y = g ( x)。單位寬度的土條重為w( x )，水平地震慣性力為 kcw( x )， kc為地震影響系數。坡面上作用有 qx( x )和 qy( x )的水平和豎向荷載?；嫔系恼龖图魬Ψ謩e為 σ( x)與τ ( x)，孔隙水壓力為 u ( x )。

在滑面 y = s ( x)上，由摩爾-庫侖強度準則：

式中：sF 為安全系數；c、φ 分別為滑面黏聚力與內摩擦角。

根據滑體的靜力平衡條件，可建立水平、豎向以及繞任意一點（xc，yc）力矩的3 個平衡方程：

式（7）～（9）構成了關于安全系數的平衡方程組，若能確定滑面正應力 ( )xσ 的分布，求解式（7）～（9）即可得到安全系數。

3 滑面正應力σ (x)的構成分析

圖2 為滑體中任一土條的受力分析示意，其中E 和T 分別為條塊間水平和豎向作用力， h 和ht分別為條塊高度和條間力作用點高度，條塊寬度為Δx，其他符號意義同前。假定條塊的寬度無限小，兩個方向的平衡方程分別為

根據式（6）的摩爾-庫侖強度準則，式（10）、（11）改寫為

式中：ψ0= tanφ /Fs， c0= c /Fs。

圖2 普通土條受力分析 Fig.2 Forces acting on a general slice

由式（12）和式（13）可得

由式（14）可見，滑面正應力由兩部分組成，一部分為滑體體積力和坡面外力對滑面正應力的貢獻（記為0( )xσ ）；另一部分由土條間作用力對滑面正應力的貢獻（記為1( )xσ ），則式（14）簡記為

其中：

由式（16）、（17）可知， σ0( x)在滑面已知前提下屬于已知函數；因無法準確獲得條間作用力的具體分布模式， σ1( x)仍不能準確得到。目前，極限平衡分析方法中瑞典法假設所有條間力為0、簡化Bishop 法假定條塊間作用力為水平、簡化Janbu法假定條塊間的剪應力為0、Spencer 法假定條間力傾角為一個常數、Morgenstern-Price 法（簡稱M-P法）則假定條間法向力和剪切力之間的關系為T ( x) =λf ( x ) E ( x)。下面以算例來討論這些條間力分布模式下的滑面正應力 σ( x)以及 σ0( x)和 σ1( x)的分布。

所舉算例邊坡如圖3 所示，有兩個潛在的滑動面，即圓弧形和一般形狀滑動面。邊坡共有4 個地層，其物理力學參數列于表1。此外，邊坡還受水壓力和地震力作用，地震影響系數為0.1。

圖3 邊坡剖面圖及滑面 Fig.3 Cross-section of slope and slip surface

表1 邊坡地層參數 Table 1 Properties of slope soils

采用已有的條分法對條間作用力的假設，分別計算了簡化Bishop 法、簡化Janbu 法、Sarma 法、Spencer 法、M-P 法和嚴格Janbu 法共計6 種模式，根據每個土條平衡條件可獲得滑面正應力 σ( x)以及兩個貢獻分量 σ0(x)和σ1(x)的分布，并將每種假設情況的計算結果繪在一張圖中便于比較，如圖4、5 所示。

由圖4、5 可知：①滑體體積力和坡面外力對滑面正應力的貢獻(0( )xσ )占主導地位，土條間作用力對滑面正應力的貢獻(1( )xσ )是非常有限的。②滑面正應力 ( )xσ 以及0( )xσ 和1( )xσ 均為單值、連續、近似光滑的曲線（尤其是圓弧滑面），所以能夠構造適當的函數予以逼近擬合。

4 滑面正應力分布對安全系數的影響

對于嚴格滿足所有平衡條件的極限平衡法，不同條間力的假設對安全系數的影響較小。Duncan[9]指出，對圓弧滑面安全系數變化幅度小于5%，任意形狀滑面安全系數變化幅度也在13%以內。換言之，條間力的假設不同將會影響滑面正應力的分布，由此可間接得到：只要滿足所有平衡條件，滑面正應力的分布對安全系數的影響也較小。

劉華麗等[10]采用了五點插值的3 次樣條函數構造了不同的滑面正應力分布形式，討論了滑面正應力分布對安全系數的影響。研究結果表明：滿足全部平衡條件下，滑面正應力分布的兩個極端安全系數相差在19%以內，若再考慮條間力的合理性檢驗，則降低到7%?？梢?，在滿足平衡條件和合理性的前提下，滑面正應力的分布對安全系數影響不顯著。

圖4 各條間力假定模式下的滑面正應力分布(圓弧滑面) Fig.4 Normal stress distributions of circular slip surface with different calculations

圖5 各條間力假定模式下的滑面正應力分布(一般滑面) Fig.5 Normal stress distributions of general slip surface with different calculations

討論上一節中算例在各種滑面正應力分布下的安全系數，表2 僅給出了滿足所有平衡條件的滑面正應力及對應安全系數。計算結果可見，在滿足平衡條件和力學合理性的前提下，不同的滑面正應力模式間的安全系數最大相差4%以內。

某均質的、無體重的、受垂直均布表面荷載的斜坡，其基于塑性力學的解已經得出[11]。如圖6 所示，斜坡高度為10 m，坡角為45°，抗剪強度參數 分別為c=10 kPa、φ=30°。斜坡頂部的最大垂直超載為111.4 kPa。

表2 不同滑面正應力分布下的安全系數 Table 2 Safety factor corresponding to different distributions of normal stresses

圖6 構造滑面正應力分布與解析解分布對比 Fig.6 Comparison of normal stress distribution between analytic solution and that of constructed slip surface

滑面正應力假設模式采用式（2）計算，得出的安全系數是1.032，與理論分析的結果(1.000)相比，誤差較小，推力線位置也非常吻合，但滑面正應力的分布曲線與理論解答完全不一致，如圖6 所示。再次說明只要滿足平衡條件，滑面正應力分布對安全系數影響不顯著。

綜合前人研究結論及本節算例結果，可以得到如下結論：在滿足平衡條件和力學合理性的前提下，安全系數對滑面正應力分布不甚敏感。當然，這一結論仍是經驗性的，目前還缺少嚴格的數學證明。

5 滑面正應力分布函數的構造

為了方程組（7）～（9）能夠求解，必須構造滑面正應力分布函數。筆者認為，恰當的構造函數應該考慮滑面正應力分布的力學構成、力學合理性以及對安全系數解的穩定性。因此，建議采用以下構造函數：

式中：0( )xσ 由式（16）確定； ( )f x 為逼近函數，為了式（7）～（9）的求解，可含有兩個待定參數。

式（18）中第1 項為滑體體積力和坡面外力對滑面正應力的貢獻分量，第2 項為土條間作用力對滑面正應力的貢獻分量，因無法準確獲得，采用逼近函數 ( )f x 來近似反映。

前文研究已經表明，滑體體積力和坡面外力對滑面正應力的貢獻分量占主導地位，土條間作用力對滑面正應力的貢獻分量占次要地位，因此，構造函數以占主導地位的0( )xσ 為核心函數，采用含有兩個待定參數的 ( )f x 逼近1( )xσ 是符合實際力學構成的。

前文研究還得出了安全系數對滑面正應力的分布不敏感的結論，同時逼近函數 ( )f x 對滑面正應力的貢獻是非常有限的。所以，無需過分追求 ( )f x 與真實分布1( )xσ 之間的吻合度，可以選用線性函數逼近：

筆者所在的課題組曾研究過[12]，采用線性逼近函數能夠較好地滿足條間力的合理性檢驗，有時僅在端部小范圍不能滿足，一般通過設置拉裂縫予以消除（這也是符合實際情況的）。

由于安全系數對滑面正應力的分布不敏感，因此，對構造函數的微小擾動不會造成安全系數大幅變化，即式（18）的構造函數還滿足解的穩定性要求。

6 討 論

6.1 關于逼近函數f(x)的作用

滑面正應力分布中的逼近函數起到了兩方面的作用。一是反映土條間作用力對滑面正應力的貢獻分量；二是調節滑面正應力的分布，使其滿足所有的平衡方程。

結合圖6 成果，筆者認為，第1 個作用非常有限，似乎也沒有必要非常精確逼近；而第2 個作用則非常必要。已有研究表明，嚴格極限平衡法得到的安全系數差別不大，而與不能夠完全滿足所有的平衡條件得到的安全系數差別卻比較大。為了滿足所有平衡方程，采用 ( )f x 調節滑面正應力的分布，以便得到準確度較高的安全系數，因此， ( )f x 亦可稱為修正函數。

6.2 關于σ 0(x)的選擇

朱大勇[7]和劉華麗等[5]分別討論了0( )xσ 的選擇對安全系數的影響，結果表明：0( )xσ 的選擇對圓弧滑面安全系數影響為5%以內，一般形狀滑面能夠達到15%。為了消除0( )xσ 的選擇帶來的不確定性，本文建議采用式（16）來計算0( )xσ 的分布。

7 結 論

（1）滑面正應力由滑體體積力（含坡面外力）和土條間作用力這兩部分貢獻分量構成。其中，滑體體積力（含坡面外力）貢獻分量占主導地位，而土條間作用力的貢獻分量較小。

（2）在滿足平衡條件和合理性的前提下，安全系數對滑面正應力分布不敏感。因此，在滑面正應力分布函數的構造上無需過分追求與真實分布之間的吻合度，可采用以占主導貢獻地位的滑體體積力（含坡面外力）貢獻分量為核心函數，選用含兩個待定參數的修正函數來逼近土條間作用力貢獻分量的分布。

（3）建議了一種滑面正應力構造函數的模式，使滑面正應力的假設模式規范化，避免了不同構造函數對安全系數的影響，完善了此類極限平衡法的理論基礎。

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