一類具有Z2-等變性質的平面七次哈密頓向量場的全局相圖及其分類

李艷梅

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一類具有Z2-等變性質的平面七次哈密頓向量場的全局相圖及其分類

李艷梅

（楚雄師范學院數學系，云南，楚雄 675000）

應用微分方程定性理論，研究了一類具有Z2-等變性質的平面七次哈密頓向量場的全局相圖，對相圖進行了分類，并劃分了參數空間。

Z2-等變性質；七次平面哈密頓向量場；奇點；相圖

并對具體的系統

證明該系統有49個有限奇點，4個無窮遠奇點，并且隨著參數的取值的不同，系統的相圖也隨之改變，最終得到一些已知文獻中沒有出現過的新的相圖，其中＞1是一個參數。

1 奇點的性質

顯然，系統（1）具有49個奇點:

系統（1）的雅可比行列式是

其中

為了研究系統（1）的全局性質，先證明以下的一般結果：

在一、二象限內有兩個無窮遠奇點。

不難看出，(0,0)不是系統（5）的奇點。引理1得證。

于是，由引理1及上面的討論，關于系統（1），可以得到如下結果：

2 系統（1）的相圖

系統（1）的哈密頓量是

并且不難算得

定理 2

從而系統（1）的相圖如圖1(1)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(2)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(3)所示。

圖1(1)~(17) 系統（1）的相圖 Fig.1 (1)~(17) Phase portraits of the System (1)

(4)若則有奇點處的哈密頓量滿足關系

從而系統（1）的相圖如圖1(4)所示。

(5) 當時，于是，當時，奇點處的哈密頓量滿足下列關系之一

從而系統（1）的相圖如圖1(5)所示。

(6) 若時，有則奇點處的哈密頓量滿足關系

所以系統（1）的相圖如圖1(6)所示。

(7) 當時，。于是，當時，奇點處的哈密頓量滿足下列關系之一

所以系統（1）的相圖如圖1(7)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(8)所示。

所以系統（1）的相圖如圖1(9)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(10)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(11)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(12)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(13)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(14)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(15)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(16)所示。

從而系統（1）的相圖如圖1(17)所示。

[4] Li Jibin, Chan H S Y, Chung K W. Bifurcations of limit cycles in a6-equivariant planar vector field of degree 5[J]. Science in China, 2002,45(7)：817-826.

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[6] 李艷梅. 具有8-等變性質的平面七次哈密頓向量場的一般形式及其相圖[J].楚雄師范學院學報, 2010，25(12)：32-35。

[7] Li Yanmei. The Phase Portraits of a type of Planar Septic Hamiltonian Vector Field with2-Equivariant Property [J]. Journal of Chuxiong Normal University, 2011, 26(9):47-50.

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[9] 張芷芬,丁同仁. 微分方程定性理論[M]. 北京:科學出版社,1997:385-391.

CLASSIFICATION OF GLOBAL PHASE PORTRAITS OF A Z2-EQUIVARIANT PLANAR HAMILTONIAN VECTOR FIELD OF DEGREE SEVEN

LI Yan-mei

(Department of Mathematics, Chuxiong Normal University, Chuxiong, Yunnan 675000, China)

Based on the method of qualitative analysis of differential equations, we study the global phase portraits of a Z2-equivariant planar Hamiltonian vector field of degree seven. Furthermore, we classify its phase portraits and divide its parameter space.

Z2- equivariant property; planar Hamiltonian vector field of degree seven; singular point; phase portrait

1674-8085(2013)02-0007-06

O175

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.02.002

2012-08-22；

2012-12-20

云南省應用基礎研究項目（2008ZC158M）

李艷梅(1966-)，女，云南昌寧人，教授，主要從事非線性微分方程研究(E-mail: cxyanmei@126.com).