兩體量子模型的代數動力學方法求解

張新琴，夏秀文，羅小兵

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兩體量子模型的代數動力學方法求解

*張新琴，夏秀文，羅小兵

（井岡山大學數理學院，江西，吉安 343009）

引入廣義坐標和廣義動量，將非線性自洽兩體量子模型表述為經典不含時哈密頓系統并實現了去約束經典哈密頓量的正則化。量子系統的整體規范不變性，體現在去約束經典哈密頓量和哈密頓動力學關系的不變性中。利用代數動力學方法求解經典哈密頓方程，得到了兩體量子系統的六階近似分析解。

非線性自洽量子系統；正則變換；哈密頓量；代數動力學

對于一個非線性自洽量子系統，利用波函數來描述量子態，量子態演化滿足薛定諤方程；假定量子系統具有整體規范變換不變性，物理上很多系統都滿足這種對稱性，則無量綱化非線性薛定諤方程為：

其中，量子系統的哈密頓量(*,)不含時，稱該系統為非線性自洽量子系統。如此，量子系統的行為就歸結為求解非線性薛定諤方程問題；一般而言，非線性薛定諤方程難以求得精確解，因而對薛定諤方程（1）的分析廣泛采用數值計算方法；目前常采用數值算法主要有Runge-Kutta算法和辛幾何算法以及代數動力學方法[1]。

基于代數動力學方法求解常微分方程的思想，王順金等[2]發展了偏微分方程的數值求解算法，即泛函空間的代數動力學算法，并將其應用于線性和非線性薛定諤方程的求解。這種方法直接從分析薛定諤方程入手，通過引進泛函偏微分算子和時間演化算子，將方程（1）改寫為泛函偏微分方程，實現數值求解。代數動力學方法的正確性已經被印證，其數值求解的精確度也普遍優于其它數值算法。

而對于具有經典哈密頓量形式的量子系統，利用代數動力學方法可以很方便地判斷系統是否有精確解，在一般情況下可以給出系統演化的任意階精度解析解。這樣，就可以從量子系統的經典化哈密頓量和正則方程出發，尋求量子系統的精確解或近似解析解。本文以二體模型為例，分析求解了該非線性自洽量子系統六階近似解。

1 兩體模型的經典正則化

以兩體模型為例[4]，=2，假定非線性薛定諤方程滿足：

這個模型被用來描述雙勢阱中的隧穿現象，參量、分別描述了原子間的相互作用強度和兩能級的耦合強度，參數為兩勢阱能級之差；若參數不隨時間變化，則哈密頓量不顯含時間，該系統為非線性自洽量子系統。

很容易驗證，該系統可以被表述為經典哈密頓系統，經典正則化哈密頓量為：

H=-(1+2+2+1)/2-(1+1-2+2)/2+(1+1-2+2)2/4 (3a)

其中+=*(=1,2)；對波函數做幾率和相位變換：

經典化哈密頓量被表述為：

可見經典哈密頓量中與相位有關的變量自然地表述為相位差的形式，因而可以對波函數做規范變換分離出整體相位：

其中()=-2。記=1，=1-2，則經典化哈密頓量（3b）可以表示為：

這樣就得到了滿足正則方程的用正則變量表示的經典化哈密頓量；哈密頓量（3c）滿足哈密頓正則方程：

如此，就完成了把一個非線性自洽量子系統經典化為一個經典自洽哈密頓系統；量子系統規范變換后的解歸結為求解（6）式哈密頓正則方程，大大降低了量子系統的求解難度。利用代數動力學方法，可以得出（6）式的泰勒級數解，對于某些特殊系統，可以給出系統的精確解；對于一般系統，可以給出任意精度截斷的近似解析解。

將用分量整體相位后的波函數（5）式代入非線性薛定諤方程（2）式，可以得到整體相位的滿足：

值得注意的是，（7）式中量子系統經典化哈密頓量具有規范變換不變性H(+,)= H(+,) (=1,2)，但哈密頓正則方程（6）式不具有規范變換不變性。由于(+,) (=1,2)可以由（3a）式確定，因而（7）式實際為含有正則變量、的微分方程，只要對（7）式積分就可以得出整體相位。

2 代數動力學方法求解哈密頓正則方程

為了求解哈密頓正則方程（6），做變量代換：

則式（6）可以表示為：

微分方程（9a）轉化為偏微分方程：

其中，0、0為微分方程的初始條件。由此可得方程（9b）的解為：

其中，0=0(0,0)由量子系統的初始狀態確定；可得系統的時間演化算子為：

時間演化算符的六階近似[1]為：

若取量子系統的初始條件為0=0.5，0=0，在函數的收斂區域內六階近似解為：

其中各參數如下：

由此可得波函數的六階解析解為：

其中，、由（13）式給出。

3 兩體系統的整體相位和幾何相位

將波函數代入（7）式，可得整體相位滿足：

其中，

表征了該系統的幾何相位；

表征了該系統的動力學相位。

由于被積函數的表達式非常復雜，很難得出整體相位的解析解。取的初始值為0，和的初始值分別為/2和0，則可以通過代數動力學方法給出任意階近似解。引入時間平移微分算符為：

可得在收斂區間內整體相位的六階近似解為：

其中各參數如下：

利用代數動力學方法可得幾何相位1(,)在收斂區間內的六階近似解為：

其中各參數如下：

4 總結

引入恰當的廣義坐標和廣義動量，可以把量子系統嚴格地表述為經典哈密頓系統，這對分析和求解量子系統非常有意義。對于一個非線性自洽量子系統，通過引入廣義動量波函數幾率和廣義坐標波函數相位，量子系統被轉化為一個經典哈密頓系統，且(p,q)(=1，2，…，)為經典化后的不含時含約束哈密頓量的正則變量；由于波函數滿足歸一化條件，經典含約束哈密頓量中與相位有關的變量可以自然地表述為相位差變量，實現了去約束經典哈密頓量的正則化，獨立變量(,=-q) (=1,2，…,-1)為去約束哈密頓正則變量；去約束哈密頓量和哈密頓正則關系具有整體規范變換不變性。

從非線性自洽量子系統可以被轉化為經典哈密頓系統和去約束經典哈密頓量正則方程出發，利用代數動力學解法，實現了量子系統的任意精度分析求解，并利用該方法得到了兩體模型的六階近似解析解。

[1] 王順金,張華.物理計算的保真與代數動力學算法-II.代數動力學算法與其他算法計算結果的比較[J].中國科學(G輯),2006,36(1):14-37.

[2] 王順金,張華.物理計算的保真與代數動力學算法-IV.偏微分演化方程的代數動力學解法與算法[J].中國科學(G輯),2008,38(2):178-193.

[3] Steven Weinberg.Testing quantum mechanics [J]. Annals of Physics,1989,194(2):336-386.

[4] Liu Jie, Wu Biao, Niu Qian. Nonlinear evolution of quantum states in the adiabatic regime [J]. Physical Review Letters, 2003,90(17):170404-1~170404-4.

[5] Wu Biao, Liu Jie, Niu Qian. Geometric phase for adiabatic evolutions of general quantum states [J]. Physical Review Letters, 2005,94:140402-1~140402-4.

[6] 吳飆,劉杰.絕熱演化中一般量子態的幾何相位[J].研究快訊,2005,34:883-886.

[7] Liu J, Fu L B.Berry phase in nonlinear systems [J]. Physical Review A, 2010,81: 52112-1-052112-5.

[8] 王順金,張華.物理計算的保真與代數動力學算法-I.動力學系統的代數動力學解法與代數動力學算法[J].中國科學(G輯),2005,35(6):573-608.

USING ALGEBRAIC DYNAMICS METHOD TO SOLUTE TWO-MODE QUANTUM SYSTEM

*ZHANG Xin-qin, XIA Xiu-wen, LUO Xiao-bing

(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

As it well known, quantum system can be translated to classic Hamilton system strictly by using generalized coordinate and generalized momentum. Furthermore, we deal with a nonlinear self-consistent two-mode quantum system which shows that the Schrodinger equations can be described as classic Hamilton equations. Furthermore, the classic Hamiltonian and the Hamilton equations kept unchanged during gauge transformation. Taken advantage of algebraic dynamics, the quantum system can be solved analytically in 6thorder.

nonlinear self-consistent quantum system; canonical transformation; Hamiltonian; algebraic dynamics

1674-8085(2013)02-0028-04

O413.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.02.006

2012-09-22；

2013-02-06

國家自然科學基金項目(10965001)

*張新琴(1978-)，女，江西余江人，講師，碩士，主要從事凝聚態物理研究(Email: jgsuzxq@163.com);

夏秀文(1978-)，男，江西余江人，講師，碩士，主要從事凝聚態物理研究(Email: jgsuxxw@126.com);

羅小兵(1978-)，男，江西遂川人，副教授，博士，主要從事玻色愛因斯坦凝聚等方面研究(Email: lxbment@yahoo.com.cn).