基于矢量擬合的過孔等效電路提取方法

孔 繁 盛衛星 韓玉兵 王 昊 馬曉峰

(南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094)

引 言

隨著高速集成電路的快速發展，信號完整性問題[1]變得越來越復雜，單純的電路仿真不再能滿足精度的需要，而完整的電磁場分析建模又會使問題變得非常巨大，無論是對硬件中央處理器(Central Processing Unit,CPU)和內存的需求上，還是電磁場問題本身的復雜度和困難度上，都會大幅度增加解決問題的成本.如何在效率和精確性上取得平衡，在既能滿足精度要求，又能快速有效地進行信號完整性仿真，甚至更好地兼容電路域的信號完整性仿真正逐步成為信號完整性分析方法研究的熱點.高速電路的不連續情況會嚴重影響信號傳播的質量，而分析這些不連續情況則是電磁場建模中最為復雜的.例如印刷電路板上最常見的過孔結構，它的形狀結構復雜，穿越電路板平面層數多，為了得到精確的模型，其相對應的建模也必須是精細的，尤其是帶有色散材質的電磁分析，其計算量和分析過程是相當巨大的.但實際使用當中又常常希望能將這樣精細的建模的結果用于信號完整性分析中，甚至時域分析當中去.

現階段的很多信號完整性分析軟件(如ADS，HSPICE等等)都使用等效電路模型對高速互聯線進行快速的頻域和時域分析.使用電路模型仿真和使用全波的電磁模型仿真相比較有兩個優勢：第一，可以有效地和傳統的電子器件模型兼容；第二，使用電路模型仿真對計算機的硬件資源要求比較低，節省對CPU和內存的消耗.假如對整個電路板都采用全波建模仿真，其結果可以達到最精確，但是建模目標的相對物理尺寸跨度很大，建模的復雜度會非常高，仿真所需要的硬件資源會異常巨大，同時也會消耗很長的時間.在信號完整性分析的階段需要能夠在精確性和效率上做出平衡，在這樣的需求下，一種可行的方法是只針對感興趣的部分例如過孔結構這樣的局部采用測量或者全波的電磁場分析，得到其特性參數，進而獲得其行為描述的宏模型或者稱之為黑箱模型，將其看作是兩端口或者是多端口的器件.這樣的宏模型建立要遵循以下的原則：首先是因果性條件，一個實際器件有兩端口，當信號從一端輸入，另一端口要滯后一段時間輸出信號.第二是穩定性條件要求如果是帶限信號激勵，輸出的還是帶限信號.因此用一個有理函數來代替穩定系統需要滿足極點在S平面的左半平面,有理函數不能在虛軸上有多重極點.第三是無源性，無源性條件要求無源電路不產生能量，用系統函數H(s)來解釋，就是H(s)不含右半平面的極點,在虛軸上沒有多重極點,系數是實數,H(s)的實部對于所有的頻率都大于或等于零，即，Re(H(s))≥0.可以用來擬合宏模型的方法主要有基于Pade近似[2]的矩匹配法[3-4]、漸近波形估計法[3]、Krylov子空間變換法[6]、最小二乘估計法[7]、矢量擬合法[8-10].其中基于Pade近似的矩匹配法對矩的變化特別敏感容易不穩定，不能很好滿足第二點的要求，而漸近波形估計法和Krylov子空間變換法無法解決第三點無源性的問題，最小二乘法在零極點個數比較多的情況下無法應用.然而矢量擬合法都可以很好地滿足以上三個要求.矢量擬合法將網絡模型擬合為極點-留數型有理函數的形式，在擬合過程中保證極點都具有負的實部，滿足系統穩定的條件.而且擬合成的零點-極點型有理函數還可以利用阻抗綜合技術得到直觀的電阻、電感、電容的電路形式，這是其他方法都無法做到的，方便了后續用于時域方法[11]的仿真，也方便加入到電路仿真軟件中仿真分析.但是，已有的采用矢量擬合法建立宏模型的方法通過有理函數擬合建立RL等效電路[12]來實現參數向電路的轉換有一定的局限性，僅是通過對二端口模型spice型電路[13]建模走線的等效電路方法進行電路模型的建立，不能解決差分對過孔這樣的復雜結構.我們在使用矢量擬合的基礎上提出了新的模型形式，從而對單個過孔或者差分對過孔都能很好地擬合出電路模型.

在分析過孔問題時，電路模型的建立[14]是根據過孔的高度、孔徑尺寸、焊盤半徑等參數估算出過孔的電感值和焊盤的電容值來進行粗糙的過孔建模，此類方法的缺點是對于某些隨頻率變化的參數，在模型中無法考慮，在高頻情況下，此類模型不準確.使用準靜的矩量法計算過孔的等效電路模型[15]，能在較低的頻段下滿足仿真需要，得到的是簡單的過孔準靜的電感和電容的計算公式，組成簡單的П型等效電路模型，針對這種簡單П型等效電路可更進一步改進過孔等效電路模型[16-17]，當加入了地平面間的耦合電容，使得仿真的頻率有所提高，但過孔電感和焊盤電容的計算方式，仍可使用低頻下的計算公式，其地平面間的耦合電容公式是基于特定尺寸下測量值擬合出來的，適用范圍會受到限制.

本文提出了先精細建模得到過孔頻域參數再將其通過矢量擬合建立成等效電路的方法來解決單個過孔和差分對過孔的信號完整性分析方法.該方法根據過孔的全波模型，推導了一般的單個過孔的電路等效模型提取方法，并且推廣到差分對過孔的等效電路，該等效電路模型不僅可以精確仿真過孔的行為，還具有實際電路的物理意義.通過與專業電磁場分析軟件的分析結果對比，驗證了本文提取的等效電路的正確性，為大規模仿真含有過孔結構的信號完整性仿真提供了有效的方法.

1 理論分析

建模的主要思想是通過全波仿真軟件精細建模過孔的模型，第一步先得到過孔的導納參數或者散射參數.第二步導納參數(Y參數)經過變換可以得到用于等效電路擬合的參數，對于散射參數(S參數)的情況經過變換為導納參數之后同樣可以推導出用于等效電路擬合的參數.第三步將等效電路擬合之后的參數轉換為相應的具有物理意義的等效電路形式.

圖1 單個過孔等效電路

通過全波分析軟件得到導納參數之后，建立等效電路的時候是沒有直接的對應關系的.所以首先要建立從Y參數矩陣提取П型等效電路的方法，推導出用于擬合的參數形式，如圖1所示，對于單個過孔的結構可以看作一個二端口網絡.對于一般的二端口網絡Y參數為：

I1=Y11·U1+Y12·U2；

I2=Y21·U1+Y22·U2.

(1)

如圖1所示，可以得到相應用于擬合的參數YA、YB、YC與電流、電壓的對應關系如下所示：

I1=YA·U1+YB·(U1-U2)；

I2=YB·(U2-U1)+YC·U2.

(2)

對于不包含有源器件結構的網絡，如過孔這樣的結構是可以看作互易網絡的，而互易網絡有Y12=Y21，所以可以推導出:

YA=Y11+Y12;

YC=Y22+Y12;

YB=-Y12=-Y21.

(3)

對于差分對過孔，可以建立如圖2的等效電路結構來映射差分對過孔的Y參數矩陣.

圖2 差分對過孔等效電路

差分過孔結構包含了連接兩條走線的兩個過孔，每條走線的直通通路在1、3端口之間用一個П型等效電路來表示，相互靠近的近端端口(1、2端口)之間也使用一個П型電路來等效，對于遠端端口(1、4端口)之間為了表示出其耦合關系也用一個П型電路來等效.建立起圖2所示的等效電路后要推導出一般的四端口Y參數與之對應的表達式.這樣的等效電路結構包含了差分對所有的耦合信息，一般的差分對過孔的網絡電壓與電流的對應關系如下：

I1=Y11·U1+Y12·U2+Y13·U3+Y14·U4；

I2=Y21·U1+Y22·U2+Y23·U3+Y24·U4；

I3=Y31·U1+Y32·U2+Y33·U3+Y34·U4；

I4=Y41·U1+Y42·U2+Y43·U3+Y44·U4.

(4)

對應圖2的結構可以推出其對應端口用于擬合的參數的電壓與電流的表達式：

I1= (YA+YE+YI+YH)·U1+(-YE)·U2+

(-YH)·U3+(-YI)·U4，

I2=(-YE)·U1+(YB+YE+YF+YJ)·U2+

(-YJ)·U3+(-YF)·U4，

I3=(-YH)·U1+(-YJ)·U2+

(YD+YH+YG+YJ)·U3+(-YG)·U4，

I4=(-YI)·U1+(-YF)·U2+(-YG)·U3+

(YC+YF+YG+YI)·U4.

(5)

同樣對于差分對過孔這樣無源的結構，可以將其看作互易網絡處理，同時對照式(4)與式(5)，可以推導出具體的用于擬合的參數表達式：

YA=Y11+Y12+Y13+Y14，

YB=Y21+Y22+Y23+Y24，

YC=Y31+Y32+Y33+Y34，

YD=Y41+Y42+Y43+Y44，

YE=-Y12=-Y21，

YF=-Y24=-Y42，

YG=-Y34=-Y43，

YH=-Y13=-Y31，

YI=-Y14=-Y41，

YJ=-Y23=-Y32.

(6)

由此已經得到了全部的用于擬合參數的具體表達式，通過將其擬合成極點-留數型函數之后就可以對應的找出電路元件表達的具體形式.矢量擬合可以采用文獻[8]的方法，將對應的參數進行擬合，得到有理函數的形式,即

(7)

式中：s=jω，ω是角頻率； 常數項d和一次項e是實數；ak是極點，一般為實數或者共軛復數對；ck是第k個極點對應的留數；N表示擬合的全部極點的個數.對于常數項d和一次項e，可以對應為電阻和電容，電阻的阻值為1/d，電容值是e.經過擬合之后的N個有理函數的極點均在左半平面，經過整理可以分為M個實極點和(N-M)/2對共軛復極點的情況.

對于實數極點的情況可以表示為式

(8)

通過圖3所示的電感與電阻串聯支路的形式可以對應地找出電感與電阻的值.于是可以將Yr用導納的形式寫為

圖3 RL實數極點-留數對應等效電路

(9)

對比式(8)與式(9)，于是可以推出電阻、電感與極點和留數的關系：

(10)

對于極點和留數是共軛復數對的情況，等效電路形式如圖4所示.

圖4 共軛復數對對應的等效電路

為了找出RLC電路元件具體的數值，可以將共軛復數對的極點-留數有理函數的形式表示為

(11)

由圖4中的電路形式，其在復頻域的導納參數可以寫為

(12)

對比式(11)與(12)可以計算出所需要的具體的電路參數值:

(13)

至此已經可以根據擬合出來的零極點情況構成局部等效電路，再由局部等效電路構成П型等效電路模型.

圖5 綜合的局部等效電路

前面推導出的都是導納參數，所以電路是并聯關系，將M個實數極點和(N-M)/2個共軛復極點的電路全部并聯起來組成擬合出來的局部等效形式，如圖5所示.例如二端口網絡的П等效電路有三個局部等效電路，需要進行三次擬合，形成圖5形式的三條支路.如果是差分對過孔的結構則需要擬合出局部等效電路十個，將YA至YJ的所有支路構成局部等效電路組成如圖2所示的電路形式.這樣就完成了過孔等效電路的建模，之后可以方便地加入信號完整性電路仿真軟件中進行仿真.

2 實驗結果分析

使用本文推導的單個過孔電路模型提取方法，先對單個過孔的情況進行了仿真.在HFSS中對單個過孔的建模如圖6所示.

圖6 單個過孔的仿真模型

過孔穿越地平面需要有反焊盤保護來防止短路，一般反焊盤的半徑會大于焊盤半徑，這里建模時選擇了焊盤半徑rpad為0.7 mm，反焊盤半徑ranti比焊盤半徑略大為0.9 mm，過孔的半徑rvia為0.6 mm.整個過孔的高度h是0.63 mm，連接上下兩段微帶傳輸線，為了仿真需要微帶線不可能無限長，截取長度L為5 mm，線寬ω設定為0.6 mm，微帶結構填充介質相對介電常數為4.4.先通過這樣的精細建模仿真得到Y參數矩陣，再通過第一節中推導的公式，計算出需要擬合的YA、YB、YC參數，通過矢量擬合將這些參數擬合為極點-留數型有理函數.然后根據得到的極點和留數構造出等效電路，最后使用電路模型進行S參數的仿真，電路域的仿真結果再同HFSS仿真的S參數結果比較，從而驗證本文單個過孔等效電路的正確性.

針對需要擬合的YA、YB等參數，圖7(a)、(b)給出了矢量擬合的結果，可以看到原始YA或者YB參數的實部和虛部曲線在整個帶寬內都與擬合的有理函數穩和非常好，這說明了提取出的極點-留數型有理函數可以很好地模擬相應參數在頻段內的行為特性.為了縮減篇幅省略了YC參數的擬合效果圖，實際計算的YC參數擬合效果與YA，YB的一樣，得到的有理函數都能很好地還原原始參數的行為特性，為進一步提取出等效電路提供了保證.對應有理函數的極點和留數情況，使用式(10)、(13)可以計算出相應的電路參數，構成等效的電路，在電路域仿真S參數的結果可以在圖7(c)中看到，單個過孔等效電路的S參數與全波專業電磁仿真軟件HFSS的仿真結果一致，很好地證明了單個過孔等效電路的有效性.

(a) YA擬合結果

(b) YH擬合結果

(c) 等效電路與HFSS仿真的S參數比對結果圖7 單個過孔等效電路仿真結果驗證

差分對過孔(如圖8)的走線線寬為0.1 mm，線間距Sp為0.1 mm，兩個過孔之間的間距Vs為1.5 mm，由于過孔有焊盤和反焊盤，走線到連接過孔的位置就必須采用分叉的連接增加了線間距，過孔的半徑rvia為0.15 mm，焊盤半徑rpad為0.2 mm，反焊盤半徑ranti為0.4 mm，過孔連接上下兩段微帶線，過孔的整體高度h為0.45 mm，截取的走線長度L為2.6 mm，微帶線填充介質相對介電常數4.4.

圖8 差分對過孔的仿真模型

(a) YA參數擬合結果

(b) YH參數擬合結果

(c) YI參數擬合結果

(d) 等效電路與HFSS仿真的S參數比對結果圖9 差分對過孔等效電路仿真結果驗證

由圖9(a)～(c)部分的參數擬合結果可以看出，使用矢量擬合針對公式(6)中的YA、YH、YI參數的擬合效果很好.將擬合的有理函數按照之前計算等效電路的方法建立起等效電路，再仿真差分對過孔的S參數，由圖9(d)可以看出HFSS仿真結果和等效電路建立的模型的S參數仿真結果一致，因為在HFSS中針對局部的建模是精細的建模，因此差分過孔電路模型很好地保存了這些物理特性，在行為上完全能夠模擬過孔的傳輸特性，同時等效電路可以方便地加入任何電路仿真軟件中和其他電路元器件聯合仿真，適用于大規模的信號完整性仿真.

3 結 論

通過對二端口和四端口網絡參數的推導，導出了適用于建立單個過孔和差分對過孔的用于擬合的參數.再通過矢量擬合將相應的參數擬合成極點-留數型有理函數的形式，將抽取出來的極點和留數映射為相應的RLC局部等效電路，最后把局部等效電路組合成完整的等效電路模型.該模型保留了精細建模過孔的物理特性，在行為仿真上能夠替代全波模型用于電路仿真器中.文中提出的等效電路提取方法是針對使用精細建模方法或者實驗測量的基礎上，對已經得到的單個過孔或者差分過孔的導納參數進行擬合，使用該方法的頻率限制取決于精細建模方法所能達到精確計算結果的限制或者實驗測量儀器的帶寬限制.所以使用該方法進行正確建模的前提是得到精確的導納參數，該導納參數的頻帶范圍應該根據具體問題而分析.在信號完整性分析中一般認為信號的最高頻分量為上升時間或者下降時間的80%，相應的仿真所需精確的導納參數的帶寬應為最高頻率分量的3到5倍.例如本文中的10 GHz的過孔模型分析，適用于分析的信號上升或者下降時間不超過0.625 ns.相應的如果要進行信號完整性分析中的信號速度越快，上升/下降時間越短，則需要對更高頻率的導納參數進行計算或者測量.通過仿真驗證，過孔的等效電路模型仿真結果與HFSS仿真結果一致，證明了等效電路模型的有效性和正確性，該模型可以用于大規模的信號完整性分析.

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