邊坡動力可靠性分析方法的模式、問題與發展趨勢

劉 曉，唐輝明，熊承仁

（1. 中國地質大學（武漢）教育部長江三峽庫區地質災害研究中心，武漢 430074；2. 科羅拉多礦業大學 土木與環境工程系，美國 科羅拉多州 戈爾登 80401）

1 引 言

邊坡的穩定性問題是工程地質和巖土工程兩大學科中的基本課題之一。人類對邊坡穩定性的研究經歷了兩次飛躍:即從定性判斷到定量分析的飛躍，從確定性理論到不確定性理論的飛躍。

1776年法國工程師庫侖提出直線滑動理論，標志著邊坡穩定性評價開始進入定量評價階段[1]。20世紀50年代后，邊坡穩定性評價理論逐步形成了以極限平衡理論（limit equilibrium method，LEM）居主導，有限元（finite element method，FEM）、有限差分（finite difference method，FDM）等數值方法為輔的定量評價理論體系[2－6]?；诖_定性理論的這些方法，其缺點是沒有考慮巖土體物理力學性質客觀存在的不確定性，如材料參數（摩擦系數、黏聚力、重度等）的變異性和相關性，邊界條件的不確定性（例如邊界幾何、初始應力場、孔隙水壓力及外荷載的波動性等），以及理論模型的不確定性（所采用理論本身的近似性及其對不同邊坡實例的敏感程度）等。

對不確定性問題的研究是現今科學界的重大研究方向之一[7]。自1967年Crawford等[8]首次將可靠度理論應用于土坡穩定性分析以來，學術界正在經歷第2次飛躍，即逐漸接受不確定性的概念，在邊坡穩定性評價和設計中引入可靠性分析方法。邊坡可靠度分析方法是以獲取穩定系數的各種確定性理論為基礎，通過建立極限狀態方程，以可靠度指標和失效概率作為穩定性評價標準。因此，基于不確定性理論的評價指標體系本身涵蓋了確定性理論框架下的穩定系數，其來源于確定性理論，而又高于確定性理論，能更好地為工程決策提供依據。得益于計算機軟硬件性能的爆發性增長，許多在20世紀80、90年代被認為雖然有前途，但過于復雜、計算效率不高、不經濟的可靠度分析方法（例如Monte Carlo法），近年來獲得了迅速的發展[9－15]。與之相應，邊坡可靠性研究儼然已經成為巖土工程界的熱點之一。許多國家和地區的學術機構已經或正在編制相關風險分析的規范。在美國，風險分析已經被大壩設計委員會接受；在香港、法國等地的邊坡穩定分析和評價中，風險分析起著重要的決策作用。陳祖煜[16]指出:在滑坡和建筑物抗滑穩定分析中應逐步采用可靠度設計方法。

與結構工程發展的脈絡相似，邊坡可靠性研究將遵循從靜力學領域向動力學領域的擴展和深化。靜力學問題是動力學問題的特例，將邊坡可靠性研究拓展到更具一般性的動力學領域是大勢所趨，也是將研究不斷推向深化的必然選擇。特別是汶川大地震以來，全球范圍內6級以上地震頻發，地震進入高活躍期，這對邊坡工程界提出了新的挑戰。面對新興領域，有需求就會有動力，大規模復雜巖土體可靠性問題的研究需求，必將極大地推動可靠度理論與各種非線性優化方法的結合研究，這對帶動相關交叉學科的發展、催生新的學科生長點，具有重要的理論價值。

當前國際上對邊坡動力可靠性分析方法的研究總體上正處于初始階段。本文即是在這樣的背景下，總結邊坡動力可靠性分析方法的模式，分析存在的問題，對今后發展的方向提出預測。

2 靜力可靠性分析法的模式分類

2.1 模式分類的必要性

現有的邊坡動力可靠性評價理論和方法均是源自靜力可靠性理論體系，因此，有必要對邊坡靜力可靠性研究的理論構架進行回顧與總結，并在此基礎上對不同分析方法進行模式分類。

更重要的是，模式分類研究對于動力學領域還具有特殊的意義。與靜力學問題不同，由于動力學問題的規模大，因而對算法的資源消耗（程序執行所需要耗費的時間、所占用的內存空間等）敏感，特別是在時間消耗上十分巨大。這就需要借助“計算復雜性理論”（computational complexity theory）的分析手段對不同的可靠性分析方法在數字計算機上實現的困難程度進行衡量，進而從算法的“可計算性”（computability）角度篩選出適用的動力可靠性分析方法。開展可靠性分析方法的模式分類即是實現上述目的的前提和基礎。

以往涉及邊坡可靠性分析方法的研究，大多專注于方法的本身，即致力于如何改進或者提出新的方法等，鮮見有關模式分類的相關研究。這主要是由于在靜力條件下，各種算法的時間消耗和對內存空間的占用均在可承受的范圍內，甚至某些以極限平衡法為基礎的分析過程轉瞬即可完成，因而是否開展計算復雜度分析顯得并不十分迫切。與之相反，進入到動力領域，情況則大為不同:即便是簡單模型的動力反應分析都涉及大量復雜的計算過程，計算效率問題愈發突出，已經成為必須解決的現實問題。因此，當研究的領域從靜力問題拓展到動力問題后，開展不同可靠性分析方法的模式分類研究，進而評估不同模式的計算復雜度，已成為一種切實的需求。

2.2 邊坡可靠性分析的理論構架

在邊坡可靠性分析中，一般定義極限狀態方程為

式中:G稱為系統的功能函數；自變量R和S分別為結構的抗力和荷載效應，具體到邊坡穩定性問題，R和S可以概化為向量X，包含影響邊坡穩定性的各種參數（巖土力學參數、外部荷載等）；Fs為穩定性系數。由上式穩定系數的引入，可以清楚地看到，系統功能函數實際上反映的是系統所儲備的安全余量。當安全余量大于0時，系統處于穩定狀態；當安全余量等于0時，系統處于極限狀態；當安全余量小于0時，系統處于失效狀態，進而有如下定義:

式中:Pf為失效概率；f(X)為功能函數G的聯合概率密度分布函數。此外，還引入可靠度指標β，定義為功能函數的數學期望與標準差之比，即

式中:μG和σZ分別為功能函數G的數學期望與標準差。

邊坡可靠性分析方法是確定性的評價方法與可靠度理論相結合的產物。數學上，對不確定性問題最終都是轉換為若干確定性問題進行處理，總的解決模式是:以確定性分析方法為內核，外部嵌套可靠性分析方法。對于式（1）中獲取穩定系數 Fs的各種具體的實現方法，就屬于確定性分析方法的范疇，是可靠性分析的內核；而求解式（2）與式（3）中失效概率 Pf與可靠度指標β的各種方法則屬于外部嵌套的可靠性分析方法。

從數學建模的角度，內核所采用的確定性方法體現了研究對象的特有屬性，依據研究領域和對象的不同而表現出很大的差別；而外部嵌套的可靠性分析方法一般具有通用性，其功能是對內核函數的響應進行數據處理，它將內核視為“黑箱”，不必深究其內部的物理含義，只需獲得對應的輸入與輸出關系，即可實現可靠性分析。

2.3 邊坡可靠性分析的6種模式

目前邊坡可靠性研究中，所采用的確定性分析方法以傳統的極限平衡法占據主導地位，近年來數值方法有上升的趨勢[11－13,17－19]。前者以Bishop法、Morgenstern-Price法、Spencer法等為代表，后者以有限元法為代表。在可靠度分析方法方面，也可以歸為兩大類:一類是基于少量關鍵點采樣的方法，主要有一次可靠度法（first-order reliability mehthod，FORM，含中心點法和驗算點法等）、概率矩點估計法（point estimate method，PEM；Rosentlueth法）等；另一類是Monte Carlo及其衍生的隨機模擬方法。鑒于后者在理論上可以無限逼近真實解，從而獲得比第 1類方法更為精確的解答，因此，El-Ramly[20]將第 1類方法稱為近似方法。筆者認為，從原理上將第1類方法稱為“廣義點估計法”較為合適，既能表達其基于小樣本抽樣理論的特色，又可以與已有狹義的概率矩點估計法相區別。圖1(a)～(d)給出了兩種力學分析內核以及兩種外部嵌套的可靠性分析方法之間的兩兩組合模式。

圖1 邊坡靜力可靠性分析方法的6種組合嵌套模式Fig.1 Six nested models of slope static reliability analysis methods

值得注意的是，響應面（response surface）理論的引入使得可靠性分析的內核有了新的演化。極限狀態方程是描述邊坡可靠性問題的數學基礎，由于系統的復雜性，無論是采用極限平衡法還是以有限元為代表的數值方法，系統的極限狀態方程始終處于高度非線性的隱式形式。響應面法的目標即是用某種顯式的函數去擬合系統的極限狀態方程，一旦確定了響應面函數，就可以用其直接計算待求采樣點的函數值，也就是通過該函數來“代理”復雜的隱式內核，實現可靠度求解的簡化。圖 1(e)、(f)給出了以此為內核的兩組合模式。相比其他兩種內核（LEM與FEM），圖1(e)與圖1(f)模式不能直接通過內核獲取邊坡的穩定系數，需要先借助極限平衡法或數值方法來構建響應面，進而實現穩定系數的輸出。在這兩種可靠性分析模式中，響應面處于承上啟下的地位，因此，又可以將響應面看作是一種中間層次。圖2從數據流的視角給出了圖1中6種模式的數據流層次示意圖。

圖2 6種組合嵌套模式的數據流層次Fig.2 Level charts of data flow for the six nested models

響應面函數雖然并不直接反映物理力學意義，但它提取自LEM或FEM內核，并可將其替代，其優勢在于可以高效率地實現內核所具備的功能。

最初的響應面函數一般采用二次多項式擬合的方式[21]，由于其函數形式較為簡單，因此不僅效率高，而且使得外部嵌套的 JC法（廣義點估計的一種）模塊也有很好的收斂性，一度獲得了迅速的發展，但其簡單的函數形式同時也帶來泛化性能欠佳的缺陷。由于尋找適合的響應面需兼顧其精度和效率，其本質上是個高度非線性函數的擬合和泛化問題，因此天然地與當前機器學習領域的進展密切相關，近年來發展很快，已經涌現出采用神經網絡和支持向量機等新的響應面形式[18,22－23]來求解邊坡可靠性問題。

2.4 6種模式的時間復雜度分析

計算復雜度分為時間復雜度（time complexity）和空間復雜度（space complexity），時間復雜度用以度量算法執行的時間長短，而空間復雜度則是衡量算法在執行中所需存儲空間的大小，也就是對內存的消耗量。對邊坡可靠性分析方法而言，制約其實際應用的主要是時間復雜度，上述6種模式之間存在數量級上的顯著差別。各種組合模式算法的時間復雜度由其內核——邊坡穩定性分析方法與嵌套在外的可靠性分析方法共同決定。

首先，分析計算內核的時間復雜度。精確比較極限平衡法與數值方法的計算時間消耗是比較困難的，不同分析案例之間的測試結果會因為所采用的具體方法和參數的不同而存在較大的離散性。實際上，計算復雜性分析所關注的是數量級上的差別，并不需要過于精確的比較。根據筆者的實際測試，若以執行1次極限平衡分析為1個基準單位考慮，則有限元類的數值方法，其時間復雜度大致為1000個單位左右。

其次，分析外嵌分析方法的時間復雜度。對于邊坡可靠性問題，一般廣義點估計法對內核調用的需求在幾次至十幾次之間，一般不超過100次。因此，從數量級的角度，以10次來評價廣義點估計法是恰當的。至于蒙特卡洛法，由于循環次數與精度密切相關，不同的學者出于精度和效率的綜合考慮，所選取的循環次數有較大的差別，但從現有的主流研究成果統計，其循環的數量級一般為1000。

再次，如圖 1(e)、(f)所示，以響應面為內核的模式，其時間復雜度與前4種模式不同。圖1(e)、(f)兩模式的計算過程分為兩個步驟:第一，建立響應面；第二，以外嵌可靠性分析方法驅動響應面，實現可靠性分析。由于極限狀態方程已經顯式化，無論是配合廣義點估計法還是極限平衡法，一旦確立了響應面，則外部嵌套的方法所調用的是顯式方程，與前4種隱式內核相比，具有很高的效率。擬合系統的極限狀態方程需要的采樣次數的數量級一般為10，若采用極限平衡法，則構建響應面的計算復雜度為10個單位，若采用數值方法，則相應的計算復雜度為10×103=104個單位。由于響應面函數的高效率，使得外嵌可靠性分析方法所消耗的時間大大減少，與構建響應面的時間消耗相比，不在同一數量級。根據計算復雜度理論，圖1(a)～(d)模式的外層與內核對總體時間復雜度的貢獻表現為相乘的關系；而對圖 1(e)、(f)模式的兩個步驟而言，其時間復雜度表現為相加的關系，考慮到數量級上的差別，圖 1(e)、(f)模式中外層循環的時間消耗可忽略不計。

綜上所述，圖1對應給出了邊坡靜力可靠性分析方法6種組合模式的時間復雜度，以O表示。在已有的邊坡可靠性研究文獻中，大部分偏重方法的闡述，很少涉及到算法的復雜度分析，這主要是靜力問題對計算復雜度研究的需求不高所致。而本文在此開展計算復雜度分析，主要是為后續定量評估動力可靠性分析方法奠定基礎。

3 從靜力可靠性到動力可靠性

3.1 邊坡動力穩定性分析方法

與靜力問題類似，邊坡動力可靠性分析方法仍然遵循嵌套模式，確定性理論框架下的邊坡動力穩定性分析方法是動力可靠性研究的內核和基礎。為此，有必要對確定性理論框架下的邊坡動力穩定性評價方法的研究進展進行簡要概括。

地震和爆破震動作用下，人類對邊坡穩定性評價的需求是邊坡穩定性研究從靜力學拓展到動力學的直接驅動力。其分析方法主要有擬靜力法和數值法兩大類。其中，擬靜力法其實質還是靜力法，最大的缺陷是無法體現動力反應。

在動力破壞模式方面，鄭穎人等[24]認為，地震邊坡的破壞由潛在破裂區上部拉破壞和下部剪切破壞共同組成（簡稱拉剪破壞）。趙安平等[25]則依據水下爆破試驗結果提出了新的動力破壞模式:基巖與厚覆蓋層邊坡在地震力作用下因淺表層張拉而導致表層松散體流坍。但這種破壞模式還需要進行深入的研究和驗證。一個明顯的問題是，雖然爆破方式能模擬高頻和大振幅，但由于爆破試驗波有效持續時間太短（0.05 s），即便按模型相似比換算為原型條件下仍遠不足0.3 s[25]，這與地震波形動輒幾十秒至幾百秒的實際情況相差兩個數量級。顯然歷時太短也就不利于反映邊坡在整個地震歷程中的共振效應，而共振效應對邊坡動力穩定性的影響至關重要。相關模型試驗[26]、數值模擬[27－28]和實例研究[29]也表明，動力破裂面發育深度與靜力狀態下的最危險滑面大體相當，而并非淺表層破壞。鑒于此，本文傾向于認同拉剪破壞模式。

在評價指標方面，也主要有兩大類:①第1類是以Newmark[30]提出的基于永久變形的方法為代表，廣義上該類方法還包括基于質點震動加速度、速率和位移的評價指標[31]。這類指標的一個突出特點是:針對不同的具體案例，判斷系統失效與否的閾值差異很大，并無統一的標準。②第2類是以穩定系數為評價指標，體現了與靜力學問題的一脈相承。由于動力條件下，穩定系數成為一個隨時間變化的隨機變量，因此，如何給出類似靜力條件下的單值評判標準就成為一個問題。為此，張建海[32]、張伯艷[33]、薄景山[34]等提出以穩定系數時程中的最小值作為穩定性評價指標；吳兆營等[35]提出以平均安全系數作為評價指標；劉漢龍等[36]則是從概率分析和能量的角度出發，提出以最小平均穩定系數作為評價指標。相比較而言，以最小穩定系數作為評價指標顯得過于保守，因為隨機荷載下邊坡的瞬間失穩并不一定導致邊坡徹底破壞；而平均安全系數可能會高估邊坡的動力穩定性；最小平均穩定系數雖然最為合理，但仍然是基于確定性理論框架，其評價結果缺乏風險層面的考量，這就引出了邊坡動力可靠性。

3.2 邊坡動力可靠性分析理論構架的特點

與靜力問題相比，雖然邊坡動力可靠性分析的極限狀態方程仍然沿襲式（1），但有兩個突出的特點:①動力荷載作為一種外部荷載，以隨機變量的形式在向量X中予以反映，即動力的隨機特性也會影響邊坡的動力可靠性評價結果。若僅僅著眼于巖土參數的隨機性來討論邊坡的動力可靠性是不夠的，因為即使是同一個邊坡，在不同的地震波形輸入條件下仍然會表現出不同的可靠性。而在靜力問題中，外部堆載、構造應力場等一般是不變的，并且由于重力加速度為常量，使得對重力場的考慮實際上轉化為巖土體密度的函數加以處理。因此，在邊坡靜力可靠性分析中，對自變量X實際上往往只需要考慮巖土體的物理力學性質即可。②靜力穩定系數升格為動力穩定系數。在靜力條件下，式（1）中穩定系數 Fs是隨自變量X變化的一個單一變量。而在動力條件下，對每一個任意確定的系統輸入X，穩定系數都升格為一個隨機過程 Fs(t)。這就使得需要定義某種動力穩定系數，使之在整個動力反應時間域內具備綜合評價能力。

3.3 邊坡動力可靠性分析方法

如前所述，邊坡動力可靠性分析中，對不確定性的考慮實際上包含巖土參數和動力荷載兩大類，據此可將當前邊坡動力可靠性分析方法劃分為3種類型。

3.3.1 僅考慮巖土參數的不確定性

擬靜力法（或稱為等效荷載法），是一種用靜力學方法近似解決動力學問題的簡易方法，其基本思想是在靜力計算的基礎上，將動力作用簡化為一個慣性力系附加在研究對象上，該方法實際上只考慮巖土參數的不確定性。在此指導思想下，圖1中靜力可靠性分析方法的6種組合嵌套模式都可以自由地遷移到動力領域，并且不會造成計算復雜度的增加，其原因在于擬靜力法的實質仍然是靜力法。

由于與靜力可靠性分析方法天然的兼容性，目前，基于擬靜力法的邊坡動力可靠性分析方法處于主流地位，2000－2012年SCI-E收錄的關于邊坡動力可靠性評價方法的文獻無一例外全部是基于擬靜力法，見表1。

表1 2000－2012年SCI-E收錄的邊坡動力可靠性評價方法的4篇文獻的模式分類與計算復雜度Table 1 Pattern classification and computational complexity of the 4 SCI-E citations which focused on slope dynamic reliability methods and were published during 2000 to 2012

3.3.2 僅考慮邊坡動力反應

由于極限平衡法對刻畫邊坡的動力反應存在理論上的障礙，所以應采用有限元為代表的數值方法來分析其動力反應。對于動力學問題，即便是在確定性的巖土力學參數條件下，穩定系數也表現為一個隨機過程。因此，研究動力問題自然地需要借助概率論的相關方法。

目前，包括邊坡穩定性問題在內，考慮可靠度的動力穩定評價方法，都或多或少吸收了 Rice[39]和Coleman[40]的“超越概率”思想，即以邊坡的隨機動力響應過程δ(t)在規定的時間內，不超過限值δ= a 的概率來定義結構的動力可靠度，而失效概率的定義則恰好與之相反。具體的動力響應過程δ(t)可以取為穩定系數，也可以是質點震動加速度等類似的指標。楊仕教等[41]采用動力有限元方法，以爆破震動速率為評價指標，以國標 GB6722-2003規范[42]規定的允許震動速率的最大值為限值，分析了云南某鉛鋅礦高陡邊坡的動力可靠性。劉紅帥等[43－44]采用動力有限元方法，分析穩定系數時程曲線的概率分布特性，并汲取超越概率的思想，提出了在指定失效概率水平下，通過反算限值 Fr= a 來作為動力穩定系數。

總的來說，上述動力可靠性評價方法的實質是對某種物理量（如穩定系數、位移等）的動力響應隨機過程進行概率分析，進而提取相關統計量的特征值。很顯然，在不同的地震波形輸入條件下，同一邊坡表現出不同的動力可靠性，而上述方法實際上只考慮了某種特定動力波形，也就是說，將邊坡的動力可靠性分析結果僅僅視為對某種特定動力荷載過程的響應，并且在此過程中并未涉及到巖土力學指標不確定性的影響，從這個意義上來說，這種動力可靠性評價方法對式（1）中自變量 X的考慮是不完備的，因此，就有了下面將要闡述的第3類邊坡動力可靠性分析方法。

3.3.3 同時考慮巖土參數的隨機性和邊坡動力反應

考察圖1所示的6種模式，都具備考慮巖土力學參數隨機性的能力，但其中能克服擬靜力法的固有缺陷、實現動力反應分析的是圖 1(c)～(f)4種模式（其中圖 1(e)、(f)兩種模式的響應面應采用數值方法構建）。

如3.2節所述，在動力條件下，對每一個任意確定的系統輸入X，穩定系數都升格為一個隨機過程 Fs(t)。這就使得需要采取“降維”的方法消去時間尺度，通過定義某種動力穩定系數，使之在整個動力反應時間域內具備某種綜合評價能力。劉漢龍等[36]提出的最小平均穩定系數，以及劉紅帥等[43－44]提出的在某種指定失效概率水平下的動力穩定系數能夠符合上述綜合評價的需求。

必須指出的是，這種綜合評價是對時間尺度的綜合，也就是說，其目的是將隨機過程降維，使之能套用式（1）。至于影響邊坡穩定性的各種參數的不確定性影響，則是通過圖1(c)～(f) 4種模式之一的求解來實現。

至此，這種動力可靠性評價方法最終具備了如下兩個重要特性:①體現了邊坡巖土體的動力反應；②考慮了巖土體物理力學性質的不確定性。目前，采用此方法的研究成果還十分缺乏，唐輝明等[45]采用此方法對汶川地震區邊坡的動力可靠性進行了評價，效果良好。

4 2000－2012年SCI-E文獻統計

筆者統計了2000－2012年SCI-E收錄的致力于邊坡和滑坡可靠性分析方法研究的46篇主要文獻，涉及的主要研究內容分布如表2所示，其合計情況見表3，多角度分類餅圖見圖3，具有如下幾個特點:

（1）如圖 3(a)，靜力領域仍然是研究者最為關注的，而動力問題研究程度較低，僅有 4篇文獻[15,22,37－38]，只占8.70%，并且這4篇文獻全部基于擬靜力法，見表1。

（2）如圖3(b)，極限平衡法以其易用性強的特點，仍然居于主導地位，數值方法只占20.83%。

（3）如圖3(c)，按圖1所列的6種嵌套模式分類，涉及模式圖1(a)和圖 1(b)的成果在數量上超過一半，這主要是由限平衡法居主導地位造成的。

表2 2000－2012期間SCI-E收錄的46篇有關邊坡和滑坡可靠性評價方法的文獻主要研究內容分布Table 2 Distribution of main research contents of the 46 SCI-E citations which focused on slope &landslide reliability analysis methods and were published during 2000 to 2012

表3 表2中46篇文獻主要研究內容合計Table 3 Summation table of main research contents of the 46 citations in Table 2

圖3 表2中46篇文獻研究領域的多角度分類餅圖Fig.3 Pie charts on multiple-perspective classification of research fields based on the 46 citations in Table 2

（4）如圖 3(d)，在滑動面形態分類上，表面上看，非圓弧成果的數量大幅超過了圓弧滑動。這主要是借助強度折減法自適應定位滑動面的緣故（強度折減法具有刻畫非圓弧滑動的能力），并不能說明涉及非圓弧滑動面搜索的技術方法已趨成熟并獲得大量應用。25篇非圓弧成果中，11篇是指定滑動面，8 篇[11－12,17－19,21,62,68]借助強度折減法自適應定位滑動面，而僅有6篇[9,53,60,63,65,69]涉及非圓弧滑動面搜索。實際上，涉及非圓弧滑動面搜索技術的難點在于滑動面形態的數學描述和搜索結果的全局優化，這一直是土質邊坡穩定性分析的重要問題之一[77－83]。

（5）如圖 3(e)，在體系失效模式方面，考慮有限個潛在滑動面（單滑動面和多滑動面）的情況占了一半，另有19.15%的成果借助強度折減法來回避滑動面的搜索問題，只有12.77%的成果涉及了難度最大的非圓弧滑動面搜索。

（6）如圖 3(f)，考慮巖土性質空間變異性的研究成果明顯偏少。

此外，從時間的尺度分析，2011－2012年關于邊坡可靠性評價方法的研究明顯升溫，涉及的文獻數比2006－2010年的總和還要多。46篇文獻的年度分布柱狀圖見圖4。

圖4 表2中46篇文獻年度分布柱狀圖Fig.4 Annual distribution histogram of the 46 citations in Table 2

5 存在的問題

與靜力可靠度分析方法的研究水平相比，現有的動力可靠度分析方法的研究水平明顯偏低，突出表現在以下3個方面。

5.1 對不確定性考慮不足

如3.3節所述，現有的動力可靠性評價方法大多局限于兩大類:①忽略動力反應，采取擬靜力法使問題高度簡化為靜力求解；②對某種物理量的動力響應隨機過程（例如，穩定系數時程）進行概率分析，進而提取某種特征統計量。前者的缺陷是顯而易見的，而后者最為明顯的缺陷是對不確定性的考慮很不充分。

首先，并未考慮巖土物理力學性質指標的不確定性，并且這種不確定性應當包含模糊性和隨機性兩種成分?？紤]巖土參數的不確定性幾乎是可靠性分析的標志性需求，因此，在動力可靠性分析中仍然沿用確定性的力學參數無疑是不完整的。

其次，并未考慮整個動力過程中最危險滑動面空間位置的變化，這實際上涉及體系可靠度的問題，在5.2節中將詳細闡述。

再次，對失效狀態的劃分也并未引入模糊理論，而是采取一刀切的模式（穩定系數小于1，即判為失效），因而也不甚合理。

對不確定性的考慮是可靠性研究的靈魂，在特征物理量響應的不確定性、巖土力學性質的不確定性、最危險滑動面的不確定性、失效狀態的不確定性這4個方面，當前的動力可靠性研究還僅僅停留在第1個方面，能同時涵蓋全部4個方面的研究尚屬空白。

5.2 體系可靠度求解方法的爭論對動力領域的影響

在邊坡可靠度分析中，對存在多個滑動面的情況，應作為一個體系來考慮[55,84－89]。對于巖質邊坡來說，受控于大的結構面，一般認為潛在滑動面的數量是有限的，但對土質邊坡來說，潛在的滑動面可以是無限多個，從系統可靠性的觀點，土質邊坡系統可以概化為無限多個滑動面組成的串聯體系，任意一條滑動面失穩都將會造成系統的整體失穩。

實際上，邊坡體系的可靠度問題無論是在靜力還是動力領域都是前沿問題。而且，由于動力問題中瞬時最危險滑動面的空間分布位置存在很大的跳躍性，表現為一個隨機過程，這使得體系可靠度問題在動力領域表現得更為突出。

總的來說，當前針對邊坡體系可靠度問題有 4種處理方法，各種方法之間并不等效。至于何種方法更適用于邊坡系統，則存在爭議。

第 1種方法，為了簡便起見，以某個滑動面上的可靠性指標作為系統的評估值。眾多學者[1,20,90－93]提出了與最小可靠度指標對應的“概率臨界滑動面”（critical probabilistic surface）的概念，并以此滑動面的可靠度近似作為體系的可靠度。其中 Hassan等[92]提出的搜索概率臨界滑動面的一種簡單方法，受到了廣泛的關注，但因缺乏理論依據而受到質疑[94－96]。吳振君等[97]采用Low 等[98]提出的FORM優化解法，并結合廣義簡約梯度法與Hassan等[92]的簡化方法做了對比。

第2種方法，是以巖土均值變量所對應的“最危險滑動面”（critical slide surface，也稱為臨界滑動面）為對象進行可靠性計算。謝桂華等[99]以費倫紐斯圓弧滑動為力學模型，采用遺傳算法搜索了均值指標對應的最危險滑動面，并給出了其可靠度指標和失效概率。吳振君等[97]指出，該方法實際隱含了“邊坡體系的失效概率等于邊坡在此確定性滑動面上的失效概率”這一假定。祝玉學[100]認為，這種近似在大多數情況下是滿足工程精度要求的。但在動力條件下，情況則明顯不同，根據劉曉等[28－29]的研究，最危險滑動面的位置隨著動應力場的變化表現出很大的差異性。而該方法所指的最危險滑動面是固定的、靜態的，若應用于動力問題，其理論依據不足。

此外，學術界存在一種觀點，對于上述“最危險滑動面”可以采用強度折減法進行“自適應”（或稱為“自動”）定位，從而回避復雜的滑動面搜索作業[11－12]，但根據劉曉[28]的研究，這種自動定位的滑動面與滑動面搜索結果并不總是保持一致，而是略有差別。這主要是由于強度折減前后應力路徑的不同，造成邊坡應力場的重分布，從而表現出應力場的輕微變化。如果說一般靜力分析中，應用強度折減法定位最危險滑動面還并不需要特別關注這種應力場的變化，而一旦進入到動力領域，這恰恰是動力研究所需要密切關注的，因為動應力場在整個反應時程內往往表現出波瀾壯闊的改變。所以強度折減法并不能替代各種滑動面搜索方法，其動力問題的適用性還需要進行更為深入的理論和實踐探索。

第3種方法，對每次隨機抽樣的參數組合，搜索穩定系數最小的滑動面，分別得到一個確定性的臨界滑動面及其對應的最小穩定系數，N次模擬后便可計算體系破壞概率和可靠指標[97]，顯然，這種方法借鑒于Monte Carlo方法的思想，其理論依據是大數定理。

第4種方法，是一個窄區間來鎖定系統的可靠度的變化范圍。由于各滑動面失效模式之間并不是彼此獨立的，而是存在相關性，李典慶等[87]指出，若不考慮邊坡各失效模式之間的相關性，會明顯低估邊坡體系的可靠度。但這種相關性很難直接定量描述，為此Moses等[101]、Cornell[102]提出的區間法，給出系統可靠度指標的上下限。Ditlevsen[103]將區間法進一步改進，縮減了區間的范圍。理論上可以證明系統失效概率的下限不低于組成系統的各“元件”的最高失效概率，只有在各“元件”的相關性大到呈現出“包含關系”的極端情況下，才取等號（此時系統退化為“單一元件”系統），上述規律在很多學者給出的實例研究中[56,86,104－105]都得到了體現。區間法大多應用于評估有限個失效模式，但對于土質邊坡這樣的無限串聯系統，區間法的實現則存在數學上的困難。

對于方法4，有嚴密的數學推導作為理論基石，其發展的方向首先是如何使得評估的區間盡量的壓縮，提高精確度。而前3種方法的正確性，學術界一直存在爭論[97]。Chowdhury 等[106]、Hassan 等[92]、陳祖煜[1]都曾指出，方法1和方法2得到的滑動面并不總是一致，并且Hassan等[92]認為，方法3因為得到的結果不是針對某條特定的滑動面，因而沒有物理意義。實際上，這恰恰是其優勢所在:方法 3的特點是著眼于串聯體系的全局，不受“邊坡體系的破壞概率必須對應某一滑動面”這一潛在思維慣性的影響，所得的評價指標并不拘泥于某一特定滑動面，因而更具有全局的觀念。早在 1971年Cornell[102]就將串聯體系的規律概括為:存在多個失效模式的體系，其總的失效概率大于其中任意一個失效模式的失效概率。通俗的說就是:串聯系統可以比構成它的“元件”擁有更高的失效概率。因此，持“概率滑動面”觀點的方法 1，顯然是在搜索失效概率最大的“元件”，進而將這個元件的失效概率默認為系統的失效概率；而方法2則是以某一固定“元件”的失效概率作為系統的失效概率。顯然，這兩種方法都存在低估系統失效概率的可能。

與致力于相關性的解析思路（方法 4）不同，李典慶等[87]采用一種效率高于Mote Carlo法的自適應重要抽樣（adaptive importance sampling，AIS）抽樣方法來求解邊坡體系可靠度問題，并且指出:隨機抽樣這類方法的優勢是其本身不受失效模式之間相關或獨立條件的限制，表面上看沒有考慮模式之間的相關性，但實際上在計算過程中自然滿足了功能函數間的相關性。持類似觀點的還有El-Ramly等[20]和Altarejos-Garcia等[46]，他們依據Monte Carlo法的普適性和高精度，將其作為檢測和標定其他方法的準繩。因此，筆者認為，以Monte Carlo法的為依據的“方法3”理論上比其他3種方法更合理。而且，Monte Carlo方法的普遍適用性也決定了當系統由從有限的串聯體系過渡到無限串聯體系，也無論是靜力問題還是動力問題，都可以獲得求解。

關于方法3，其研究的空白點表現在兩個方面:首先缺乏理論上強有力的證明。雖然其合理性可以從有關學者的成果[87,97,99]中窺見一斑，但總體上缺乏完整的證明。其次在于技術實現上的瓶頸，搜索穩定系數最小的滑動面，特別是有限元等數值方法下的非圓弧滑動面搜索問題，從來就不是一個簡單的問題。即便是確定性領域的最危險滑動面搜索這個問題本身而言，已經是邊坡研究的前沿之一。如果在可靠度分析中考慮“動”滑動面，將毫無疑問的嵌套這一具有相當難度的前沿問題?，F有的可靠度研究大多是建立在對“定”滑動面的巖土力學參數隨機分析上的，即使涉及滑動面搜索，也大多是在極限平衡框架下執行圓弧滑動面搜索算法。目前在數值方法理論框架下的，考慮非圓弧滑動面搜索的邊坡可靠度研究成果[45]還十分少見。當問題上升到動力可靠性領域，則意味著在整個動力反應時程之中，要針對大量的瞬時應力場執行平行的搜索作業，實現起來更加困難。

邊坡體系可靠度求解方法的爭論對動力領域的影響比靜力領域要顯著得多。如果說靜力問題中，不同的體系求解方法之間所關注的滑動面（概率臨界滑動面和最危險滑動面）的空間分布位置在大部分案例下具有趨同性，但并不能總是保持一致，那么在動力時程的任意瞬間，這兩者的差別是顯著的、不斷變化的、并貫穿于整個動力反應時程。這種顯著的差異源于不斷變化的動應力場的瞬時應力分布規律與常規重力場有很大的不同。

5.3 計算效能不足

當前，制約邊坡動力可靠性研究向前發展的一個重要問題是計算效能的不足。動力問題與生俱來的復雜性，對硬件的計算能力提出了近乎苛刻的要求。當前，即便是確定性理論下的邊坡動力穩定問題，其計算的時間開銷已經很大，而動力可靠性分析需要循環嵌套這種確定性的動力分析，因而時間復雜度呈指數增長，計算效率成為關鍵問題之一。

根據實例研究[28－29]，在當前主流PC工作站環境下，針對二維邊坡進行基于數值方法的動力反應分析，其耗時以小時計；與之相比，執行靜力數值分析的耗時以分鐘計，效率相差超過10倍。據此估算，如果將圖1(c)～(f)4種模式應用于動力分析，則計算復雜度和時間消耗估值見表4。

表4 固定滑動面條件下動力可靠性分析的時間復雜度Table 4 Time complexity of dynamic reliability analysis in the condition of fixed sliding surface

如前所述，鑒于極限平衡法對研究動力問題的局限性，表 4中并未列出圖 1(a)～(b)兩種模式。在圖1(c)～(f)4種模式中，最為精確的當屬圖1(d)模式。這可以歸為內、外兩個方面的原因:該模式以數值方法為內核，對描述確定性框架下的動力學問題已經不存在理論上的困難；而且，正如El-Ramly等[20]所倡導的，Monte Carlo法本身的精確性能夠很好地滿足可靠性分析的要求。而圖1(c)、(e)模式所采用的廣義點估計法除了因為引入簡化假設使得計算精度較差外，更面臨可能計算不收斂的障礙，例如在極限狀態函數比較復雜的情況下，JC法容易陷入不收斂。

在邊坡靜力可靠性領域，Griffith等[68]提出的方法可視為圖1(d)模式的代表，受到了廣泛的關注，Wu[107]認為，其代表了一類典型的分析方法。但遺憾的是，近年來并未見有與圖1(d)模式相關的動力可靠性研究成果問世。筆者認為，制約該模式向動力學領域拓展的主要原因并不是理論上的障礙，而是計算效能的不足。在保守估計下，表4中列出的分析時間已經超過100 d(2400 h)，超出了常規巖土仿真分析所能承受的極限。必須指出，表4中所列舉的還僅僅是固定滑動面條件下的復雜度，如果考慮體系可靠度問題，則還需要在算法中嵌套進行滑動面的動態搜索，這無疑將大大增加計算的復雜度。因此，進行動力可靠性研究必須高度重視算法的效率，計算效能的瓶頸將使得理論可行的方法在實際運用中失去意義。

6 邊坡動力可靠性研究的發展趨勢

以目前的研究水平，邊坡動力可靠性研究發展趨勢可以歸納為以下3個方面。

6.1 對不確定性的考慮趨向全面和深入

當前，動力可靠性研究還未涉及巖土力學性質和邊坡失效狀態的不確定性，而在靜力問題中這兩個領域已有相關成果。鑒于隨機性和模糊性是不確定性的兩種最主要的表現形式。因此，動力可靠性研究的趨勢之一是在巖土體物理力學性質的描述上繼續深化隨機理論，除了以常規的一維隨機變量進行描述外，運用隨機場理論來刻畫空間變異性的研究[108]將逐步受到重視。例如，對二維邊坡，巖土力學性質的空間變異性需要用二維隨機變量來描述。目前考慮空間變異性的研究成果總體上較少，并且其中大部分局限于采用極限平衡法。而實際上，由于理論構架限制，極限平衡法僅僅只能反映滑動面上的巖土力學參數的空間變異性，而對其在整個邊坡內的空間變異性則視而不見。相反，以有限元為代表的數值方法則不存在上述問題。目前采用數值方法開展考慮空間變異性的邊坡可靠性研究的代表性文獻見于Wang[76]、Griffiths[12,68]、Huang[11]等，總的來說，還比較少見，究其原因除了算法比較復雜、沒有通用的商業程序可供借鑒和推廣以外，實際應用中野外樣本采集數量過少、往往達不到刻畫空間變異性的最低要求，也是制約其應用一個重要的原因。隨著研究的不斷深入和邊坡可靠性評估對精細化要求的提高，未來在此方面的研究必然會受到應有的重視。

趨勢之二是將模糊性與隨機性整合。這種整合表現在兩個方面，即考慮巖土物理力學性質隨機場的模糊性和邊坡失效（破壞）狀態判識的模糊性。對于邊坡來說，模糊性是具有更深刻、更普遍意義的不確定性。模糊數學在表達人類的經驗、定性描述等模糊的概念方面比經典的隨機理論有較強的優勢。例如，在對邊坡失效狀態的判別上，采用模糊判別顯然比依據穩定系數“一刀切”地將邊坡狀態劃分為“穩定”、“極限平衡”和“破壞”3種類型要合理得多，但遺憾的是，近13年來的SCI收錄的邊坡可靠性文獻沒有一篇涉足此領域（見表 2）。實際上，在同時考慮邊坡巖土體力學性質的模糊隨機性和極限狀態的模糊性方面，賈厚華等[109]較早地給出了實現方法，但該文獻還未來得及進一步考慮隨機場的模糊性?？梢灶A見，未來的邊坡動力可靠度研究也將借鑒靜力可靠度的發展脈絡，朝著精細化的方向發展，逐步實現模糊性與隨機性的深入整合。

6.2 對體系可靠度的研究趨向重視

邊坡的體系可靠度問題由來已久，它實質上涉及最危險滑動面的空間定位問題，如果說在靜力條件下還可以用近似的方法，以巖土性質處于均值條件下所對應的最危險滑動面作為系統固定的破壞面，以利于簡化處理，則在動力條件下，最危險滑動面天然地具有顯著的空間離散性，使得動力可靠性問題若沿用上述近似解法，必然存在相當大的誤差，并且如5.2節所述，這種誤差的指向性是導致低估系統的失效概率，偏于危險。因此，必須著力解決體系可靠度的理論和實踐問題，研究的趨勢分為理論和實踐兩個方面。

在理論研究方面，學術界在“搜索什么樣的滑動面？是動態最危險滑動面還是概率滑動面”這個問題上存在爭論。盡管當前的研究表明“方法 3”最趨合理，但解決爭論的關鍵在于從理論上進行強有力的證明。這是今后邊坡體系可靠度理論研究的趨勢之一。

在具體實踐方面，如何定位最危險滑動面？這無論是對確定性問題還是不確定性問題，也無論是對靜力問題還是動力問題，都是無法回避的基本問題。在靜力分析領域，上述問題亦是邊坡研究的前沿方向之一，目前的趨勢可以概括為3個“過渡”:由簡單的圓弧滑動向非圓弧滑動過渡、由傳統的基于極限平衡理論向基于數值方法的應力場理論過渡、由傳統的非線性優化方法向新興的群體智能優化方法過渡。第1種過渡反映了對滑動面幾何形態刻畫精度的需求正在提高，從圓弧滑動到非圓弧滑動，是一種跨越。非圓弧滑動其本身可退化為圓弧滑動的模式，因而更具有一般性。第2種過渡則反映了邊坡穩定性分析的內核正趨向復雜化，特別是當問題延伸到動力分析領域，采用數值方法已成為一種必要。遺憾的是，表1中收錄的4篇有關動力可靠度的文獻[15,22,37－38]全部基于擬靜力法（以極限平衡法為內核），不具備真正意義上的動力反應分析能力。第3種過渡則主要體現在滑動面搜索技術的進步?；趹龅幕瑒用嫠阉髁鞒炭梢悦枋鰹橥ㄟ^數值計算引擎（有限元或有限差分等）獲取應力的時間-空間場，然后依據滑動面應力和抗滑力的積分算法來評估任意滑動面的穩定系數，而滑動面搜索技術即是要采取某種優化方法尋找穩定系數最低的滑動面。目前所應用的優化方法已經逐步從梯度法、牛頓法等常規方法[1]向群體智能方法[18－28,29,78－83]過渡。

6.3 提高計算效率

考察圖1(c)～(f)4種模式應用于動力領域，由于廣義點估計法在精度和收斂方面的缺陷，因此，應考慮從圖 1(d)和圖 1(f)兩種模式中優選，也就是需要重點研究外部嵌套方法為Monte Carol的模式。

經典Monte Carol方法是可靠性分析的有力武器，但用于隨機有限元（或有限差分等）這樣一類數值分析領域，即圖1(d)模式，則面臨巨大的效率瓶頸:不僅在于因計算耗時大而顯得很不經濟，而且在于因耗時超過所能承受的限度而使得很多有價值的分析工作雖然在理論上不存在困難，但幾乎無法應用于復雜案例的實踐。尤其是動力分析領域，由于所采用的數值分析方法的高度非線性和離散性，再加之考慮模型參數的模糊和狀態的模糊，極限狀態曲面呈現出隱式、高維度的特點，巨大的計算量導致Monte Carol隨機有限元模擬的效率問題尤為突出。

解決Monte Cralo模擬的效率瓶頸，可以從兩個方向尋求解決的辦法:提升硬件性能，或者改進算法。顯然短期內提升硬件性能是不現實的，根據摩爾定律，計算機的運算速度不可能在短期內獲得數百倍的性能提升，而且只靠提升硬件，實質上是回避問題，而不是解決問題，無法從本質上改變算法低效的現狀。因此，根本出路在于找到更高效的算法。

構建新算法的關鍵在于，必須降低可靠度分析方法對采樣點規模的依賴，否則問題的求解將會因為耗時過長而成為空談?？紤]到極限狀態曲面實際隱含在求解的步驟之中，若能僅以少量采樣點為代價，將隱式極限狀態曲面近似的擬合，得到極限狀態方程的顯示表達，并作為Monte Carlo模擬的內核，從而構建新的快速隨機模擬方法，則效率問題將得以解決。這就是圖 1(f)模式的核心思想。該模式的時間復雜度主要由響應面擬合的時間消耗決定，一旦確定了響應面，則Monte Carlo模擬本身驅動響應面所消耗的時間與之不在一個數量級，可忽略不計。依據表4，圖1(f)模式的時間復雜度比圖1(d)模式要低兩個數量級，效率提升十分可觀。

尋找一種滿足精度要求的、高效率的響應面代理方法是改進傳統的Monte Carlo隨機模擬方法的關鍵所在。這個問題實質上屬于多維空間中極限狀態曲面的擬合和泛化的研究范疇，其目標是在有限的訓練樣本條件下，獲得高性能的響應面（精度高、泛化速度快）。從已有的相關研究成果來看，已有使用神經網絡或支持向量機擬合極限狀態曲面的報道[22－23,45]，特別是學術界公認支持向量機有比神經網絡更優異的泛化能力，而且計算速度快，這對動力學問題的大規模特點來說，正適得其所?？梢灶A見，作為高效率的技術手段，未來以這些優秀非線性方法將會越來越多地應用于邊坡動力可靠性分析的實踐。

7 結 論

（1）靜力學問題是動力學問題的特例，邊坡可靠性研究從靜力學領域逐步拓展到更具一般性的動力學領域是大勢所趨，這也是研究不斷深化的必然結果?，F有的邊坡動力可靠性評價理論和方法均是從靜力可靠性理論體系發展而來。邊坡靜力可靠性分析方法可劃分為6種組合嵌套模式，其中4種可拓展到動力反應問題，各種模式的算法時間復雜度在數量級上存在顯著的差別。

（2）當前，邊坡動力可靠性評價方法研究總體上正處于起步階段，突出的問題表現在3個方面:①對不確定性的考慮還不夠全面。在特征物理量響應的不確定性、巖土力學性質的不確定性、最危險滑動面的不確定性、失效狀態的不確定性這4個方面，當前的研究僅僅停留在第1個方面，能同時涵蓋全部4個方面的研究尚屬空白。②邊坡體系可靠度求解方法的爭論對動力領域的影響顯著。③動力問題對計算效能的需求大大高于靜力問題，計算效率問題成為制約動力可靠性研究的技術瓶頸。

（3）未來邊坡動力可靠性評價方法的發展趨勢歸納為3個方面:①對不確定性的考慮將趨向深入。在巖土體物理力學性質的描述上，運用隨機場理論來刻畫空間變異性的研究將逐步受到重視。而且模糊性與隨機性將期待獲得深入的整合。②針對邊坡體系可靠度求解方法存在爭論的問題，今后從理論上進行強有力的論證是解決爭論的關鍵。在體系可靠度的求解的具體實踐上，將朝著分析方法精細化、考慮的不確定性因素復雜化的方向發展，將會更為廣泛地與新興的群體智能優化算法相結合，分析結果將更趨于合理。③高性能計算在動力可靠性分析中具有重要地位，在解決動力可靠性研究的計算效率問題上，以Monte Carlo法內嵌響應面法的模式具有良好的發展前景。通過吸收非線性學科的相關優秀算法作為高效率的響應面代理手段，將會極大地推動邊坡動力可靠性分析方法的發展。

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