WSN中的分布式壓縮感知

呂方旭，張金成*，石洪君，王 泉，王 鈺

(1.空軍工程大學防空反導學院，西安710051;2.空軍大連通信士官學校信息網絡系，遼寧大連116600)

無線傳感器網絡WSN(Wireless Sensor Network)是由具有傳感能力、計算能力和無線通信能力的微型節點，以無線多跳路由方式通信的自組織網絡。它能夠協作地實時監測、感知和采集各種環境對象的信息，在軍事和民用中應用非常廣泛［1－3］。然而無線傳感器網絡體積小、攜帶能源有限，因此其計算、存儲、通信能力都比較弱，當大規模部署時，整個網絡的生存周期比較短。在信息驅動的協作跟蹤［4］時，如果將原始數據發送到處理能力較強的簇頭中計算，終端節點的通信能耗開銷增大，整個網絡的生存周期非常短。如何在保證監測信息不丟失的同時，降低數據傳輸量，是降低通信能耗的一種主要手段。近年來提出的壓縮感知［5－8］(Compressed Sensing)技術，其以遠低于奈奎斯特采樣定理的情況下獲取少量數據，然后利用重構算法對原始信號進行恢復，這為資源受限節點的采集和通信能耗的降低提供了解決辦法。文獻［9］利用壓縮感知理論將節點采集得到的數據進行壓縮傳輸，降低了通信能耗;文獻［10－11］利用時空壓縮感知的辦法將多個節點采集的數據進行聯合壓縮傳輸，進一步降低了通信能耗，但這些都不是真正意義上的壓縮感知。文獻［12］進行了壓縮采樣的研究。由于傳統壓縮感知技術的實現對硬件資源要求比較高［13］，無法直接將其應用于節點資源受限的無線傳感器網絡。文獻［14］提出了一種較好的解決思路，即隨機壓縮采樣的思想。

本文主要研究了隨機壓縮采樣的實現方法和分布式壓縮感知這兩方面的內容。首先，在研究隨機壓縮采樣的基礎上，提出了用定時器控制ADC進行隨機壓縮采樣的實現方法，實驗表明該方法有效可行。然后，提出了分布式壓縮感知算法。該算法將隨機壓縮采樣序列根據節點合理拆分，由各節點按采樣子序列進行采樣，最后利用各節點的采樣值和CoSaMP算法實現對原始信號的精確重構。

1 壓縮感知理論概述

壓縮感知是Donoho等人在2006年開創的信號處理新理論。壓縮感知的基本思想是將壓縮與采樣合并進行，首先采集信號的非自適應線性投影，即計算信號的測量值。然后根據相應的重構算法由測量值重構原始信號數據。若測量值的數據小于原始數據，則能獲得壓縮數據量的效果。它主要包括信號的稀疏表示、觀測矩陣設計和信號重構3個方面。

壓縮感知的先決條件是信號是稀疏的或者信號在某種變換下可以稀疏表示。即在一個信號中或者信號在某種變換下，如果只有k個元素是非零的，則該信號是k稀疏的。一般來說，普通的信號在時域都是非稀疏的。因此，要應用壓縮感知，首先要對信號進行變換，以找到信號的稀疏域，一般信號在小波基、傅里葉基和余弦基中都是稀疏的。

觀測矩陣就是對信號的一種獲取方式，它的設計是壓縮感知的主體，從物理上可以理解為信號在觀測矩陣下的信號獲取，信號也在投影的過程中被壓縮。尋找一個滿足約束等距性RIP(Restricted I-sometry Property)條件的觀測矩陣Φ∈RM×N(M?N)，對信號x執行一個壓縮觀測，即:

就可以得到M個線性觀測y∈RM，這些少量線性投影中包含了重構信號x的足夠信息。各分量表示如圖1所示。

但是有限等距離性質的等距離常量是很難計算的，文獻［8］指出，只有Donoho提出的相關性判別理論，即互相關系數可以較為直觀的判別某一測量矩陣的形態?；ハ嚓P系數可以由式(2)求得:

圖1 壓縮采樣各分量示意圖和矩陣表示

信號重構是已知測量值y和測量矩陣Φ來恢復原始信號x。從y中恢復x是一個解線性方程組的問題，從方程(1)上看，這似乎是不可能的，因為這是一個未知數大于方程個數的病態方程，存在無窮多個解。但是x在Ψ下可以稀疏表示，記CS信息算子ACS=ΦΨ，因此式(1)可以表示為

雖然從y中恢復θ也是一個病態問題［15］，但是因為系數θ是稀疏的，這樣未知數個數大大減少，使得信號重構成為可能。文獻［16］認為:只要矩陣ACS滿足RIP條件，則可以證明θ可以通過求解最優l0范數問題精確重構，即:

式中，‖·‖0表示l0范數，即向量θ中非零元素的個數。

2 隨機壓縮采樣

2.1 隨機壓縮采樣的基本思想

傳統的壓縮采樣工程實踐［12］是利用M路ADC對信號進行隨機線性投影來進行壓縮采樣，它是通過構建多路平行的信號采集支路，每個支路均由隨機信號發生器和積分電路組成，其中隨機信號發生器必須產生足夠高頻率的服從伯努利分布的±1信號。這種方法雖然降低了采樣速率，但隨機信號發生器仍需在奈奎斯特頻率下產生隨機數，不但增加了能量而且硬件實現較高，在無線傳感器網絡中無法直接使用。文獻［14］的隨機壓縮采樣，為壓縮感知在無線傳感器網絡中的應用提供了思路。

本文在隨機壓縮采樣理論的指導下提出用定時器控制ADC進行隨機壓縮采樣，即定時器按照隨機采樣序列對波形進行隨機抽取。如圖2所示，圖2(a)是傳統的采樣過程，它利用等間隔的采樣序列對信號采樣，其過程可以看作是信號在標準單位矩陣I(I是等間隔采樣序列的矩陣表示形式)上的投影;圖2(b)是隨機壓縮采樣過程，它利用隨機采樣序列對信號采樣，其過程可看作是信號在Sample(Sample是隨機采樣序列的矩陣表示形式)上的投影。

圖2 兩種采樣過程

隨機壓縮采樣過程中，利用一路ADC，根據隨機采樣序列對信號進行隨機抽取，然后將采樣值xd在觀測矩陣Φ中投影，最后利用重構算法進行重構，各分量的矩陣表示如圖3所示。

圖3 隨機壓縮采樣各分量示意圖和矩陣表示

在這里我們定義隨機采樣率為:

其中Ttotal表示采樣時間，M表示這段時間內隨機采樣的個數。

2.2 無線傳感器網絡中的隨機壓縮采樣技術

本節研究了無線傳感器網絡中壓縮感知技術的實現方法。無線傳感器網絡中，終端節點一般由包含傳感能力、處理能力和無線通信的微小節點組成。目前常用的集成芯片有CC2430、CC2530等，由它組成的節點的資源和計算能力非常有限，但它內部含有較高精度的定時器，可以完成隨機壓縮采樣任務;簇頭節點一般具有較大的存儲空間且可包含DSP芯片，能夠完成較為復雜的重構算法。其信號處理流程圖如圖4所示。

圖4 無線傳感器網絡中的壓縮感知流程圖

具體步驟如下:

第1步 在簇頭中生成隨機采樣序列ti，i∈{1，2，…，M}，其中 t0=0，ti=ti－1+ τ，τ 滿足 N(N/M，M2K2/N2)的高斯分布，且τmin＞TADC(即隨機壓縮采樣的最小采樣間隔必須大于ADC的最小采樣周期)。這里N/M代表不同稀疏度下的平均采樣間隔，K為信號的稀疏度，M為該稀疏度下隨機壓縮采樣次數。存儲隨機采樣序列，并發送一份拷貝到簇頭節點;

第2步 在終端節點中，定時器根據采樣序列控制ADC進行隨機壓縮采樣，獲取隨機采樣值xd(M)，并將其發送至簇頭節點;

第3步 在簇頭節點中，接收xd(M)，然后根據隨機采樣序列 ti，i∈{1，2，…，M}，將 xd(M)內插(N－M)個0，得到 xd(N)，并在觀測矩陣 Φ∈RM×N中進行降維隨機投影，最終獲得y(M);

第4步 在簇頭中根據y(M)和ACS利用Co-SaMP重構算法進行重構。

在實際的應用中，隨機壓縮采樣一定要注意的關鍵問題，即生成的隨機采樣序列的最小間隔必須大于ADC的最小采樣周期，這樣才能保證ADC的正常工作。

2.3 無線傳感器網絡中單節點的隨機壓縮采樣實驗

實驗平臺使用TI提供的CC2530芯片和ZStack－CC2530 －2.3.1 －1.4.0 協議棧。終端節由包含CC2530芯片的節點和外圍電路組成，簇頭由包含CC2530芯片的協調器和PC機組成。采集過程在終端節點中完成;重構算法在PC機中的MATLAB中完成，簇頭中包含CC2530芯片的節點，負責數據和命令的無線收發。實驗結構拓撲圖如圖5所示，其中B節點時終端節點，節點A和PC機組成簇頭節點。

圖5 實驗結構拓撲圖

實驗中，ADC選用11 bit的量化精度，其采樣周期 TADC=68 μs［17］，原始信號是由 F40 型數字合成函數信號發生器產生的正弦信號，頻率是5 kHz，Vpp=800 mV，直流偏置是500 mV。隨機采樣點數M=50，恢復信號的采樣頻率是Fs=25 kHz，長度N=300。觀測矩陣是M×N的隨機矩陣，稀疏基是N×N的傅里葉基。ADC的等效采樣頻率faverage≈4.1 ksample。

實驗結果如圖6所示。圖6(a)是從示波器測得輸入信號波形的放大圖，圖6(b)是示波器觀察原始信號的頻譜和全局波形圖，圖6(c)是ADC隨機采樣后，發送到PC機在MATLAB中顯示的隨機采樣波形圖，圖6(d)是隨機采樣波形和重構信號波形的對比，圖6(e)是重構信號的全局波形圖，圖6(f)是重構信號的頻譜圖。

本實驗根據4.1 ksample的采樣頻率下獲取的少量的隨機測量值，如圖6(c)所示，重構出5 kHz的正弦信號(e)。從圖6(a)和6(e)可以看出，重構信號的幅值和原始信號基本相同;從圖6(b)和6(f)可以看出重構信號的頻率沒有失真。實驗結果表明，在無線傳感器網絡中，利用定時器控制ADC進行少量隨機測量后，可以實現對信號的準確重構。同時，本實驗結果表明，利用低速的單個ADC對高頻信號的獲取是可行的。

圖6 壓縮感知信號實驗圖

3 分布式壓縮感知

3.1 分布式壓縮感知模型

根據隨機壓縮采樣的物理過程，如圖2(b)所示，可將含噪信號的隨機采樣模型表示為:

其中xd為隨機壓縮采樣后的觀測值，Sample為隨機采樣矩陣，es表示采樣前信號混入的噪聲，eADC表示ADC的量化噪聲。本文在研究過程中假設es和eADC都是白噪聲，且將式(6)化簡為:

在分布式壓縮采樣過程中，首先將Sample拆分成r(r表示節點個數)個子矩陣，節點根據拆分后的采樣序列進行隨機采樣;然后將各節點的采樣值按拆分規則進行組合，得到隨機觀測值xd;最后將xd在觀測矩陣上進行投影，得到壓縮觀測值y。其模型如下所示:

式(8)中Samplei表示第i個節點的隨機子采樣序列，ei表示第i個節點采樣時的噪聲，其中Sample=Sample1∪Sample2∪…∪Samplen且? =Sample1∩Sample2∩…∩Samplen。

3.2 無線傳感器網絡中的分布式壓縮感知技術

在分布式壓縮感知模型的指導下，結合1.3節描述的硬件平臺，本節具體討論了無線傳感器網絡中分布式壓縮感知的實現方法。具體步驟如下:

第1步 在簇頭中生成隨機采樣序列ti，i∈{1，2，…，M}，其中 t0=0，ti=ti－1+ τ，τ滿足 N(N/M，M2K2/N2)的高斯分布，且 ti－ti+r＞TADC(即隨機壓縮采樣序列的間隔r個的差值必須大于ADC的最小采樣周期)。

第2步 根據式(8)，將隨機采樣序列拆分成r個隨機采樣子序列tj×r+n(i=j×r+n，i是隨機采樣序列的下標，j是隨機采樣子序列的下標，r是節點的總數，n是節點的序號)，并將其發送至各終端節點。

第3步 在各終端節點中，定時器根據各自收到的隨機采樣子序列控制ADC進行采樣，得到隨機采樣值xdn(M')(表示第n個節點的隨機采樣值，長度為M'=M/r)，并將其發送至簇頭節點。

第4步 簇頭根據拆分規則生成聯合隨機采樣序列 xd(M)，然后根據隨機采樣序列 ti，i∈{1，2，…，M}，將xd(M)內插N－M個0生成xd(N)，最后在觀測矩陣Φ∈RM×N中進行降維隨機投影，獲得壓縮值y(M);

第5步 在簇頭中根據y(M)和ACS利用Co-SaMP算法進行信號重構。

對比1.3節的隨機壓縮采樣步驟，分布式壓縮感知步驟中增加了隨機采樣序列的拆分和測量值的組合。在實際應用中，為了保證ADC的正常工作，同樣拆分后隨機采樣子序列的最小間隔必須大于ADC的最小采樣周期。從3.1節可知，在采樣序列一定的情況下，隨著節點數的增加，各節點的采樣子序列間隔會增加，且遠大于ADC的采樣周期，因此分布式壓縮感知算法比單路ADC的隨機壓縮采樣適用范圍更廣，可以在更低采樣速率下完成高頻率信號的采集。

在實際應用中，分布式壓縮感知算法同樣存在問題，雖然節點中高精度的定時器能夠控制ADC嚴格按照采樣序列采樣，但多個節點能否按照采樣序列進行協同采樣是分布式壓縮在實際應用中要解決的問題。實際上，只要保證在每一次采樣時，各個節點中的定時器能夠同時啟動就能實現他們之間的協同采樣。在臨時簇中，由于參與分布式壓縮感知的節點與簇頭的距離都比較近，因此在確保分布式節點進入準備采集狀態后，簇頭通過發送脈沖命令幀的方法同時啟動星型網絡中各節點的定時器。

3.3 分布式壓縮感知仿真實驗

本節仿真實驗對比了分布式壓縮采樣機制和傳統壓縮采樣機制的重構效果。分布式壓縮采樣實驗中，2個節點參與分布式壓縮采樣，由于分布式探測目標時各節點距離目標的位置不同，因此假設節點的信噪比分別為30 dB、40 dB。信號源是5個正弦信號的疊加，頻率分別為 300 Hz、700 Hz、2 kHz、9 kHz和12 kHz，幅值為0.5～1的隨機數，相位是0～π之間的隨機數。壓縮采樣過程中，采樣序列長度M=50，子序列長度為25，恢復信號的采樣頻率Fs=25 kHz，長度N=250。觀測矩陣是M×N的隨機矩陣、稀疏基是N×N的傅里葉基。單節點的等效采樣率faverage≈2.5 ksample。傳統壓縮采樣實驗中，節點的信噪比35 dB，原始信號、觀測矩陣和稀疏基都同分布式壓縮感知相同，等效采樣率 faverage≈5 ksample。圖7和圖8分別是兩種壓縮采樣的重構結果。

對比可以發現，分布式壓縮采樣保留了原始信號有用的信息，因而在重構過程中能夠保證較高的重構精度。分布式壓縮感知的重構精度沒有經典壓縮采樣的重構精度高，那是在采集時，兩節點有10 μs左右的啟動延遲，但它依然能夠在包含優30 dB的輸入信噪比時達到10－3的量級，同樣保證了很高的重構精度。最重要的是，在不同輸入信噪比的情況下，分布式壓縮感知能夠以遠低于隨機壓縮采樣的采樣速率實現精確重構。

圖7 分布式壓縮采樣重構結果

圖8 經典壓縮采樣重構結果

3.4 無線傳感器網絡中的分布式壓縮感知實驗

實驗中兩個節點參與分布式壓縮感知，兩節點的啟動延遲可以達到2 μs以下，其余實驗平臺同2.3節描述一樣，結構拓撲圖如圖9所示。PC機和節點A作為簇頭，完成采樣子序列的分發，采樣值的接收以及信號的重構;終端節點B和C是分布式采樣的兩個節點，它們各自在定時器的控制下按照隨機采樣子序列進行采樣。實驗中，ADC選用11 bit的量化精度，其采樣周期TADC=68 μs，原始信號是信號源產生的5 kHz正弦信號，幅值Vpp=800 mV，直流偏置500 mV。每個節點的隨機采樣個數是25個，恢復信號的采樣頻率是Fs=25 kHz，長度N=250。觀測矩陣是M×N的隨機矩陣，稀疏基是N×N的傅里葉基。節點中ADC的等效采樣頻率faverage≈2.5 ksample。

圖9 實驗結構拓撲圖

實驗結果如圖10所示。

實驗中根據兩個節點以2.5 ksample的采樣速率隨機抽取了25個值，如圖10(b)所示，重構出以25 ksample采樣率采集的5 kHz的信號，如圖10(c)所示。從圖10(a)和圖10(c)可以看出，重構信號的幅值和原始信號基本相同;從圖10(a)和圖10(d)可以看出重構信號的頻率沒有失真。實驗結果表明，本文提出的分布式壓縮感知算法，能夠在星型網絡拓撲結構中以1/10的標準采樣率下獲得的少量數據實現信號的精確重構。

圖10 分布式壓縮感實驗結果

4 結論

本文針對壓縮感知在無線傳感器網絡中的應用，首先在分析隨機壓縮采樣思想的基礎上提出了用定時器控制ADC進行隨機采樣的方法，然后提出了分布式壓縮感知算法。該算法將壓縮感知理論應用于無線傳感器網絡平臺，即在少量的觀測數據下實現對信號的精確重構。仿真和實驗結果均表明該方法具有很好的性能，具有非常重要的應用價值。

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