最優噪聲整形濾波器的設計

周靜雷，朱增友

（西安工程大學 電子信息學院，陜西 西安 710048）

最優噪聲整形濾波器的設計

周靜雷，朱增友

（西安工程大學 電子信息學院，陜西 西安 710048）

在需要對信號進行再量化的場合，可以通過加入dither來避免小信號再量化所產生的諧波失真，但同時會使噪聲功率增加。這種情況下，可以利用人耳的心理聲學特性，通過噪聲整形來降低噪聲的可聞性，提高實際的信噪比，改善音質。本文提出了兩種新的設計最優噪聲整形濾波器的方法-遺傳算法和非線性優化算法，并分別實現了原采樣率下和過采樣率下基于心理聲學模型的最優噪聲整形濾波的設計。結果證明，該方法靈活方便、實現效果良好。

dither；心理聲學；噪聲整形；遺傳算法；非線性優化算法；上采樣

在數字音頻應用中，經常會遇到信號的再量化。比如，對于20或24 bit的音頻文件必須先將其降16 bit才能在CD機上播放[1-2]。再如，在數字音頻信號處理中，任何一種處理都可以歸結為某種形式的濾波，而濾波過程中需要做大量的乘累積運算。對于一般的應用，比如采用定點DSP處理時，首先需要將濾波器系數截斷成定點，而且在運算過程中又不可避免進行多次四舍五入處理，這樣一來誤差不斷積累，會導致輸出端音質的嚴重惡化。因此，對于高端音頻應用，一般都是采用高性能的浮點處理器進行內部處理，處理完畢后再將結果按照需要降到相應的格式，如16 bit[3]。該過程也相當于信號的再量化。

再量化不可避免地引入誤差。當信號幅度較小時，由于再量化，在輸出端可能會產生嚴重的諧波失真，使聲音聽起來出現“怪音”；當信號幅度逐漸衰減到0時，由于再量化聲音會斷斷續續，極不自然。如果在再量化之前加入適當的dither（如 TPDF 型 dither）[2]，則可以消除諧波失真，并保留微弱信息，使聲音聽起來更加自然，但它同時會增加噪聲功率。這種請況下，可以利用人耳的心理聲學特性，通過噪聲整形將噪聲功率轉移到人耳不敏感的頻帶內，使接收到的總的加權噪聲功率最小，從而提高輸出端實際的信噪比。

噪聲整形技術的關鍵是設計出滿足心理聲學特性的噪聲整形濾波器。文獻[1][4]分別討論了利用希爾伯特變換和最小二乘理論實現非過采樣下噪聲整形濾波器的設計方法。本文首先利用遺傳算法完成了最優噪聲整形濾波器的設計，并將噪聲整形技術應用到上采樣處理中，實現了過采樣下最優噪聲整形濾波器的設計。此外，針對遺傳算法優化速度慢的缺點，還探討了采用非線性優化算法設計最優噪聲整形濾波器的方法，分別實現了原采樣率和過采樣下最優噪聲整形濾波器的設計。

1 噪聲整形的原理

噪聲整形的基本思想是根據人耳對噪聲的敏感程度隨著頻率的變化而不同的心理聲學特性，將大部分噪聲功率轉移到人耳相對不敏感的頻帶，從而使接受到的可聞噪聲功率最小[1-5]?；谛睦砺晫W的噪聲整形是根據聽覺加權曲線，通過反饋在量化過程中產生的噪聲，將噪聲譜整形成類似加權曲線的倒轉形式，從而使噪聲在整個頻帶上都具有相同的可聞性。聽覺加權曲線是用來近似不同頻率處噪聲的相對可聞性，常用的加權曲線有改進的E加權曲線和F加權曲線，文中將采用F加權曲線進行討論。由于F加權曲線在直流附近和高頻處的極大衰減，會導致此處未加權噪聲功率無法接受，因此一般在所有頻段加上一個小的正常數對其進行修正，這樣就得到修正的F加權曲線[1]。

噪聲整形的原理框圖如圖1所示。

圖1 噪聲整形原理框圖Fig.1 Schematic diagram of noise shaping

圖中，H（z）是誤差反饋濾波器也即噪聲整形濾波器，其單位脈沖響應記為 h（n），e（n）代表量化誤差信號，e′（n）是輸出端的加性噪聲，由圖中所示信號節點可以得到：

變換到Z域得：

可以看到，量化誤差信號被誤差反饋濾波器H（z）決定的系統 1-H（z）所整形，而輸入信號未受影響。 用 z=ejω代入（3）式可得輸出端噪聲信號的功率譜:

為了實現輸出端噪聲最小可聞，H（ejω）要設計成使得總的聽覺加權噪聲功率Nω最?。?/p>

其中：

用W進行規范化處理以保證當1-H（z）的幅度以對數表示時曲線在0 dB以上的面積跟以下的面積相等。

2 基于遺傳算法的最優噪聲整形濾波器的設計

由圖2可知，誤差信號只有在再量化后才可用，因此必須有一個采樣點的延時，故的一般表達式為：

當對于所有的i都有bi=0就對應著一種特殊的濾波器-FIR濾波器，由此可得到1-H（z）的一般形式如下：

其中，1-H（z）必須是最小相位濾波器[1-2，4]。 采用遺傳算法來求解最優噪聲整形濾波器的步驟為:1）將由式（7）、（8）決定的曲線進行開方，并將其作為目標曲線 T（f）；2）由（10）、（11）式，根據需要選擇適當的濾波器階數以及濾波器結構（級聯型或直接型），并將 z=ejw（w=2×pi×f/fs）帶入式中，求得 1-H（z）的含待定系數的幅度譜H（f）；3）在頻率軸上等間隔地取一定數量的點將它們離散化，將二者相對誤差的平方和（或取對數后的方差）作為適合度函數。由于1-H（z）必須是最小相位的，因此將零、極點距原點的距離小于1作為約束條件。設定合適的參數進行優化設計，通過若干次優化即可得到最優噪聲整形濾波器的系數。

圖2是在采樣率為44.1 kHz下，通過選擇k=10-4，α=0.5得到修正加權曲線 W′（ω），由式（7）、（8）得到的目標曲線。 圖3中虛線為利用遺傳算法優化得到的9階FIR噪聲整形濾波器H（z）所對應的1-H（z）的功率譜特性曲線?？梢钥闯?，實際設計曲線與目標曲線在低頻段吻合的比較好，在直流及高頻段有些許差別。

圖2 原采樣率下目標曲線Fig.2 Target curve of non-oversampling

圖3 原采樣率下實際設計曲線與目標曲線比較 （遺傳算法-9階FIR）Fig.3 Comparison of actual design curve and the target curve in nonoversampling （Genetic algorithm-9th FIR）

3 過采樣下最優噪聲整形濾波器的設計

在數字音頻信號處理中，上采樣（Upsampling）是一種重要的提升音質的手段。它是通過某種算法在以fs為采樣率的原始輸入相鄰樣點之間插入L－1個新的樣點，使輸出采樣率變成L.fs。通過上采樣可以將原量化噪聲功率分散到更寬的頻帶，從而減小聽覺頻帶內的噪聲功率，同時可以降低DAC后級聯的模擬低通濾波器的技術指標要求，降低其實現難度和成本。因此，目前的解碼系統在DAC之前一般都要先進行上采樣，但基本都是采用集成芯片實現，由于面積限制，其技術指標往往不能滿足高端音頻應用的需求。這種情況下可以考慮采用DSP或FPGA等來專門實現上采樣。由于上采樣中同樣需要做大量的運算，也需要對運算結果進行再量化處理。這時，可以加入處理并采用噪聲整形技術來進一步降低噪聲。這就需要考慮過采樣下的最優噪聲整形濾波器的設計。為簡便期間，文中僅討論2倍過采樣的情形。

由于以上采用的F加權曲線僅僅涉及到0～fs/2頻率范圍，因此必須將該曲線加以擴展，使之在0～fs內都有定義。一種簡單的方法是認為噪聲fs/2～fs在頻帶內具有相同的可聞性，根據“1－H（z）的幅度以對數表示時0 dB以上跟0 dB以下面積相等”的原則，便可得到2倍過采樣下的目標曲線（如圖4所示）。圖5中虛線是采用上述遺傳算法優化得到的實際設計曲線，它是24階的FIR濾波器?？梢钥吹皆诼犛X范圍內二者吻合的很好，在高于fs/2的頻段實際設計曲線有逐漸衰減的紋波出現。

圖4 2倍過采樣下目標曲線Fig.4 Actual design curve in 2 times oversampling

圖5 2倍過采樣下實際設計曲線與目標曲線對比（遺傳算法－24階FIR）Fig.5 Comparison of actual design curve and the target curve in 2 times oversampling （nonlinear optimization －10th IIR）

4 基于非線性優化算法的最優噪聲整形濾波器的設計

前面采用遺傳算法，利用FIR濾波器設計最優噪聲整形濾波器?？梢钥吹?，實際設計曲線與目標曲線在大部分頻帶內吻合的比較好，而在高頻段與目標曲線有些差距，尤其是在2倍過采樣下在高于fs/2頻帶內出現了紋波。理論上，可以采用更高階的濾波器來使得實際設計曲線與目標曲線更加吻合。然而，當待求濾波器系數比較多時利用遺傳算法優化起來會非常耗時且不容易得到滿意結果，并且濾波器階數太高會造成實時實現的困難。針對遺傳算法優化速度慢的缺點，下面采用另一種優化算法—非線性優化算法進行優化設計。非線性優化算法是以使輸出序列的均方差最小為優化準則進行非線性優化的，優化速度比較快；此外，由于噪聲整形濾波器只會改變噪聲譜，不會對有用信號造成影響，因此可以使用IIR型濾波器來代替FIR型濾波器以降低濾波器階數。

采用非線性優化算法實現時，1－H（z）采用級聯結構，且由于它的特殊性（見式（13）），每級的一般形式為[1 c1 c2 1 d1 d2]，c1、c2、d1、d2 分別為分子分母待定系數。 由于濾波器的系數均為實數，故其零極點或以共軛對形式存在或位于實軸上，因此將每一級的形式設為以下兩種形式之一：[1－2×x（1）×cos（x（2））x（1）^21－2×x（3）×cos（x（4））x（3）^2]或 [1－x（5）0 1－x（6）0]；其中，x（1）、x（3）、x（5）、x（6）表示零極點與原點之間的距離（半徑），x（2）、x（4）表示零極點與原點的連線與正實軸的夾角（相角），它們都是需要求出的參數。直接將半徑和相角作為待求參數，這樣有利于零極點位置的調整，能夠快速地得出正確結果。目標曲線的離散序列為，含待定系數的設計曲線的離散序列為，則返回值序列。

此外，還需要設定合適的邊界和起始點。這里，由于直接將半徑和相角作為待定參數，為了滿足最小相位條件，將半徑參數的邊界設為[0 1]，相角參數的邊界設為[0 π]，起始點均設為0，采用這種設置方式能夠快速得到最優結果。圖6、圖7分別是原采樣率下實際設計曲線以及它與目標曲線的對比，圖8、圖9分別是2倍過采樣下實際設計曲線以及它與目標曲線的比較。采用的均為10階的IIR濾波器，而1－H（z）的零極點都位于單位圓內部，因此它們是穩定的且是最小相位的。

圖6 原采樣率下實際設計曲線（非線性優化－10階IIR）Fig.6 Actual design curve in non-oversampling（nonlinear optimization－10th IIR）

圖7 原采樣率下實際設計曲線與目標曲線對比（非線性優化－10階IIR）Fig.7 Comparison of actual design curve and the target curve in nonoversampling （nonlinear optimization －10th IIR）

圖8 2倍過采樣下實際設計曲線（非線性優化－10階IIR）Fig.8 Actual design curve in 2 times oversampling（nonlinear optimization－10th IIR）

圖9 2倍過采樣下實際設計曲線與目標曲線對比（非線性優化－10階IIR）Fig.9 Comparison of actual design curve and the target curve in 2 times oversampling （nonlinear optimization －10th IIR）

可以看到，無論是在非過采樣還是過采樣下，采用非線性優化算法得到的實際設計曲線與目標曲線都非常吻合，且濾波器的階數都在可接受范圍內。2倍過采樣下的實際設計曲線，在高頻段沒有出現紋波，只有在直流附近與目標曲線不符，然而這正是我們想要的結果。因為，實際設計時我們舍棄了0～200 Hz頻段內對應的點，而采其余的點作為參考點進行設計以避免在直流附近出現大的未加權噪聲功率。實際設計曲線越接近目標曲線，經過整形后的噪聲譜的形狀將越符合近人耳的心理聲學特性，效果也越好。

5 結束語

再量化是數字音頻應用中經常面對的問題，通過在再量化之前適當的加入dither并采用噪聲整形技術不僅可以消除失真，保留微弱信息，改善聽感，并且可以最大限度地降低噪聲的可聞性。噪聲整形技術的關鍵在于基于心理聲學的噪聲整形濾波器的設計，本文提出的兩種設計方法，不僅簡便靈活，而且實現效果良好，可以應用在實際的數字音頻信號處理中。

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Design of optimal noise shaping filters

ZHOU Jing-lei，ZHU Zeng-you
（Electronic Information College， Xi'an Polytechnic University， Xi’an 710048， China）

In the occasion that signal needed to be re-quantified，adding proper dither can avoid the harmonic distortion generated in small signal’s re-quantization， but it will make noise power increase at the same time.In this case， we can take advantage of human ear’s psychoacoustic characteristics， apply noise shaping technology to reduce the noise’s audibility，then improve actual signal to noise ratio （SNR）and improve sound quality.This paper presents two new methods to design optimal noise shaping filters-genetic algorithm and nonlinear optimization algorithm，and realized the design of optimal noise shaping filters based on psychoacoustic model respectively under original sampling rate and over-sampling rate.It proves that these methods are flexible and convenient，can achieve good results.

dither；psychoacoustics；noise shaping；genetic algorithm；nonlinear optimization algorithm；upsampling

TN912.2

A

1674－6236（2013）04-0075-04

2012-09-14稿件編號201209094

陜西省教育廳專項科研計劃項目（11JK0548）

周靜雷（1978—），男，陜西西安人，博士，副教授。研究方向：聲頻信號處理，電聲學。