一類求解堆石混凝土結構溫度場分布的解析法

麥 戈，唐欣薇，唐照平

（1.仲愷農業工程學院城市建設學院，廣州 510225；2.華南理工大學亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640；3.中交第三航務工程勘察設計院有限公司，上海 200032）

一類求解堆石混凝土結構溫度場分布的解析法

麥 戈1，唐欣薇2，唐照平3

（1.仲愷農業工程學院城市建設學院，廣州 510225；2.華南理工大學亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640；3.中交第三航務工程勘察設計院有限公司，上海 200032）

堆石混凝土作為一種新型材料已應用于水利、港口、采礦等諸多工程結構，目前，對于這種材料的應用仍處于發展階段。為深入研究堆石混凝土的熱力學特性，根據堆石混凝土結構的特性，建立等效的計算模型，確定堆石混凝土溫度場的數理方程，并獲得材料溫度場分布的解析解。以一個堆石混凝土結構為例，借助Matlab的編程工具，分析了溫度變化特性。計算實例表明，該解析法可用于研究堆石混凝土材料溫度場的分布規律，為研究堆石混凝土材料的溫度場變化奠定了理論基礎。

堆石混凝土；溫度場；數理方程；解析解

1 研究背景

堆石混凝土是將大粒徑的塊石直接堆放入倉，然后從堆石體的表面澆筑無需任何振搗的專用自密實混凝土，并利用專用自密實混凝土高流動性、高穿透性的特點，依靠自重完全填充堆石的空隙，形成完整、密實、水化熱低、滿足強度要求的大體積混凝土。

堆石混凝土的施工技術與方法于2003年獲得了國家專利［1－2］，安雪暉等［3－6］針對這一新型材料開展了基本力學試驗研究。這一新型復合材料與普通混凝土相比，具有水泥用量較少，水化熱溫升較低，施工時連續拋石鋪填、連續灌注自密實混凝土，無需碾壓或振搗，可減少人工結構縫與施工縫，因而加快了施工建設進程，降低造價。

根據堆石混凝土的特性，不僅可將其推廣應用在堆石混凝土拱壩、重力壩、心墻堆石壩和堆石混合壩等大壩結構形式中，也可將其應用在圍堰、港口、海工、護坡、塊石膠結充填采礦等結構形式中，其應用前景廣闊，目前已在京郊西山試驗壩中獲得初步成功，此外，還應用于河南寶泉抽水蓄能電站副壩、四川宜賓向家壩水電站沉井回填等工程中［7－8］。

目前，采用這一復合材料建壩存在的主要問題是：針對堆石混凝土的各種綜合性能比如彈性模量、收縮性能、絕熱溫升等還需要進一步研究；并且針對堆石混凝土技術的施工工藝同樣需要作進一步研究，以便對其進行優化，建立更加完備的堆石混凝土施工方法。因此，這一新型材料應用仍處于發展階段。

本文立足于堆石混凝土的結構特征，建立合理的數理方程，對堆石混凝土結構溫度場的解析解進行求解，為研究堆石混凝土的溫度場變化規律奠定理論基礎。

2 問題描述

為了定性地研究堆石自密實混凝土結構的溫度場分布規律，可以將其近似簡化成圖1的形式求解熱傳導問題，其中區域1代表堆石體，可視為散熱材料；區域2代表自密實混凝土，可產生水化熱，引起自密實混凝土溫升。根據該結構及其材料的特點，

圖1 求解示意圖Fig.1 Sketch of simplified rockfill concrete for solution

可得到以下求解方程及約束條件：

熱傳導方程：

式中：k為導溫系數；β為放熱系數；q為導熱系數；u0為年平均氣溫；ur為堆石體的初始溫度；us為自密實混凝土的初始溫度；θ0為自密實混凝土的初始水化熱。

3 熱傳導偏微分方程的求解

本文采用參數的下標和區域編號一一對應。求解過程主要分3步。

（1）步驟1：求解使邊界條件齊次化的特解。

設u（r，t）＝v（r，t）＋w（r，t），其中w（r，t）為滿足方程和邊界條件的特解。為了使邊界條件的齊次化，并考慮到t→∞，u1（r，∞）＝u0，可令w1＝u0。則初始條件可記為：v1（r，0）＝u1（r，0）－w1（r，0），即v1（r，0）＝ur－u0。同理可令：w2（r，t）＝u0，則

v2（r，0）＝u2（r，0）－w2（r，0） 。

即v2（r，0）＝us－u0。

（2）步驟2：利用分離變量法，求解齊次方程的本征函數。

將v2（r，t）＝u2（r，t）－u0代入式（5），必然得到齊次化的邊界條件，即

由于式（2）含有非齊次項，因此可以先求齊次方程、齊次邊界條件的一般解為

采用分離變量的方法，即令v（r，t）＝R（r）T（t），對應的本征值為β2。對于每一個本征值β2n，通過方程和邊界條件，都可以確定出相應的Rn（r）及Tn（t）。由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的，把它們（任意有限）的特解疊加起來，只要級數具有一定的收斂性，便可以得到合理的一般解［9］，即v（r，t）＝

式（12），式（13）含An，Bn，βn3個未知數，結合方程的邊界條件和連接條件可得：

聯立式（14）至式（16）可以得到以上3個未知數。即

其中：

由矩陣行列式為0，可以確定βn，再將βn代入式（17）得到

由式（18）可解得系數An，Bn。則齊次問題的求解基本完成，可以得到相應的關于徑向r的本征函數組以及本征值。所求問題的解的形式為

（3）步驟3：將方程非齊次項及初始條件按本征函數展開，并最終得到方程的解。

對于式（2）的非齊次項，可以用齊次方程的本征函數展開，即

式中Rn具備正交函數的性質［10］，根據正交函數的性質，可得展開系數為

歸一化系數為

同理把初始條件按本征函數組展開得

利用正交函數的性質，可求得展開系數為

考慮到Tn＝A e－β2nt＋B e－mt（第一項是通解，第二項是特解），代入式（23）可得

綜上，可以得到式（1），式（2）在式（3）至式（7）約束條件下的最終解，即

式（25）即為本文給出的堆石混凝土溫度場分布的顯式解析表達式，在實際計算時，在給定了材料屬性后，利用Matlab軟件進行編程，依次對各待定系數及溫度場進行求解計算。

4 算例分析

為分析堆石混凝土材料溫度變化的規律，本文取一組堆石混凝土為算例，堆石體及自密實混凝土的計算參數如表1所示；溫度條件為：年平均氣溫u0＝20℃，堆石體初始溫度ur＝4℃，自密實混凝土初始溫度us＝15℃。自密實混凝土的水化熱溫升方程為θ＝24.0（1－e－0.09t）。計算時間取300 d，時步為1 d。計算結果如圖2和圖3所示。

堆石體以較低溫度（4℃）投放，堆石體外部被自密實混凝土包圍，而自密實混凝土產生水化熱，使得堆石體溫度不斷升高。從圖2中可以看出，越靠近外部的自密實混凝土（r越大），堆石體的溫度提高得越快，最終形成穩定的溫度場。

表1 堆石體及自密實混凝土計算參數Table 1 Calculation parameters for rockfill and self—compacting concrete

圖2 堆石體內部溫度場變化Fig.2 Variation of temperature field inside the rockfill

圖3 自密實混凝土內部溫度場變化Fig.3 Variation of tem perature field inside the self compacting concrete

由圖3可知，在自密實混凝土內部，由于受外部氣溫及堆石體的影響較小，水化反應引起溫度的升高（從20℃增加到26.78℃），隨著混凝土表面的不斷散熱，溫度場趨于穩定（r＝11.3 m）。而自密實混凝土的表面（r＝12.6 m）受外界氣溫影響較大，絕熱溫升幅度不大（從20℃增加到21.63℃），并隨著表面的不斷散熱，溫度場趨于穩定（與外界多年平均氣溫相近）。

5 結 語

針對堆石混凝土材料的自身特點，本文建立了等效的計算模型，確定了堆石混凝土溫度場分布的數理方程，并給出了溫度場分布的顯式解析表達式。以一個堆石混凝土結構為例，借助Matlab的編程工具，研究了堆石混凝土材料溫度場的分布規律，并最終形成穩定的溫度場，該成果為堆石混凝土材料溫度場變化的研究奠定了理論基礎。

［1］ 金 峰，安雪暉.堆石混凝土大壩施工方法：中國，30102674.5［P］.2003.（JIN Feng，AN Xue hui.Con struction Method for Rock Fill Concrete Dam：China，30102674.5［P］.2003.（in Chinese））

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［4］ 石建軍，張志恒，金 峰，等.自密實混凝土充填堆石體的試驗［J］.南華大學學報，2005，19（1）：38－41.（SHI Jian jun，ZHANG Zhi heng，JIN Feng，et al.Experiment on Self compacting Concrete Filling Rock fill［J］.Journal of University of South China，2005，19（1）：38－41.（in Chinese））

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［6］ 周紹青，石建軍，楊曉峰，等.神經網絡在自密實混凝土流動性能中的應用［J］.水利與建筑工程學報，2005，3（4）：42－45.（ZHOU Shao qing，SHI Jian jun，YANG Xiao feng，etal.Application of Neural Network in Prediction for Flowing Property of Self compacting Con crete［J］.Journal of Water Resources and Architectural Engineering，2005，3（4）：42－45.（in Chinese））

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［8］ 安雪暉，黃綿松，周 虎，等.堆石混凝土施工技術綜述［C］∥全國混凝土新技術及其工程應用技術交流會.中國：寧波，2007：23－31.（AN Xue hui，HUANG Mian song，ZHOU Hu，et al.Review of Construction Technology for Rock Fill Concrete［C］∥National Sympo sium on New Concrete Technique and Its Engineering Ap plication.Ningbo，China，2007：23－31.（in Chinese））

［9］ 吳崇試.數學物理方法［M］.北京：北京大學出版社，1999.（WU Chong shi.Methods of Mathematical Physics［M］.Beijing：Peking University Press，1999.（in Chi nese））

［10］M.N.奧齊西克.熱傳導［M］.俞昌銘，譯.北京：高等教育出版社，1983.（OZISIK M N.Thermal Conduc tion［M］.Translated by YU Chang ming.Beijing：High er Education Press，1983.（in Chinese） ）

（編輯：黃 玲）

An Analytical M ethod for Tem perature Field Distribution of Rock fill Concrete Structure

MAIGe1，TANG Xin wei2，TANG Zhao ping3
（1.School of Urban Construction，Zhongkai University of Agriculture and Engineering，Guangzhou 510225，China；2.State Key Laboratory of Subtropical Building Science，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China；3.CCCC Third Harbor Consultants Co.，Ltd.，Shanghai 200032，China）

As a new typematerial，RFC（rock fill concrete）has been applied to structures of hydraulic engineering，harbor engineering and mining engineering.At present，the application of RFC is still in the stage of development.To research the thermodynamic properties，an equivalentmodel is built according to characters of RFC structure.Themathematical equation for the temperature field of RFC is constructed，and the analytical solution of tempera ture field distribution is obtained.Taking an RFC structure as an example，Matlab is used as a programming tool to analyze the temperature properties of the structure.Results show that the analyticalmethod in this research could be used to study the temperature field distribution of RFC.It lays a theoretical foundation for the study of RFC temper ature field.

rock fill concrete；temperature field；mathematical equation；analytical solution

TU 37

A

1001－5485（2013）12－0097－04

10.3969／j.issn.1001－5485.2013.12.018 2013，30（12）：97－100，106

2012－11－28；

2013－01－23

國家自然科學基金青年基金（51109083）；中央高?；究蒲袠I務費專項資金（2012ZM0091）；華南理工大學亞熱帶建筑科學國家重點實驗室開放基金（2011KB28）

麥 戈（1970－），女，廣東廣州人，高級工程師，主要從事土木工程、環境工程的研究，（電話）13660215386（電子信箱）maige8821＠163.com。