基于混合高斯模型和相似度的閾值分割

郭 紅

（重慶郵電大學信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065）

基于混合高斯模型和相似度的閾值分割

郭 紅

（重慶郵電大學信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065）

閾值分割法在圖像分割中是一種最為簡單和有效的方法，然而如何選取合適的閾值實現有效分割，目前還沒有統一的方法。結合信息論與圖像的空間信息，提出一種新的閾值優化算法。首先建立圖像的混合高斯分布（GMM），然后利用強度的類不確定性和相似度函數特性定制出目標函數，優化出局部閾值，從而獲得高效的分割效果。實驗結果表明，與大津法（OSTU）相比，該算法能夠成功分割出模糊的邊界，并且能夠將圖像中的各個組織有效的分割出來。

閾值;混合高斯分布;類不確定性;相似度函數;目標函數

圖像的邊緣含有非常豐富的圖像信息。在圖像信號的采集、傳輸和處理過程中將不可避免地引入各種類型的噪聲，導致圖像的邊界模糊，因此如何有效地從模糊、噪聲干擾的圖像中檢測出邊緣是一個有意義的課題。傳統的邊緣提取方法較多，但仍存在許多問題。閾值分割是進行圖像邊緣分割的一種最常用，同時也是最簡單的圖像分割方法。它通過設定不同的特征閾值，把圖像分成若干類。許多閾值分割方法根據一維灰度直方圖或二維灰度直方圖從背景中提取感興趣的目標［1-3］;最大類間方差法［4］通過最大化類間方差選取一個全局最優閾值;Kittler和Illingworth等人提出的最小誤差法［5］將圖像像素分類后誤差率最小的值確定為圖像閾值;信息論中熵指信息的不確定性，作為最佳準則引入閾值分割算法［6-7］中，并得到了很好的閾值分割效果，但是它沒考慮圖像的空間相關性，所以若不同圖像直方圖相同，那么得到的閾值也相同;基于模糊連接度的圖像分割算法也已經廣泛地運用到醫學圖像的分割中［8-9］，能夠很好地處理醫學圖像的模糊性和圖像噪聲。

圖像的數據量比較大，其密度函數會有單峰或多峰，并呈現不規則狀;對于復雜的圖像，尤其是醫學圖像，一般來說圖像的密度函數都是多峰的，比較復雜。所以用高斯混合模型（GMM）估計出來的結果更接近圖像的真實分布，能夠很好地刻畫圖像分布的細節。因此，本文通過建立高斯混合模型對圖像進行建模，結合類不確定性和相似度函數特性選取最佳閾值進行分割，以獲取高效的分割效果。

1 閾值的優化函數

本文提出的改進閾值分割法主要是能量函數的定制，能量函數有兩部分組成:1）基于信息論的相關特性，本文通過建立混合高斯模型，求物體的類不確定;2）基于圖形學的相似度，用于區域的計算，該方法依據高的類不確定性估計出物體的邊界，分割出不同組織區域。在任何圖像位置中，高的能量在類不確定性和相似度同時高或低的地方。最后，該方法的基本原理源于假設模糊圖像邊界，在最優分割下，高的類不確定性的像素出現在物體邊界上。

1.1 建立GMM模型，推導類不確定性

GMM混合分布模型的建立如圖1所示。

圖1 混合高斯模型的概率分布（截圖）

在高斯混合分布中，閾值將其分為前景區域和背景區域，本文中選取K=7個高斯模型。

數字圖像可以被表示成一個有序實數對ζ=C，（）f，在這里C表示圖像域，f表示一個強度函數，即f|C→［IMIN，IMAX］，這里的［IMIN，IMAX］表示像素強度最小和最大值。通常，在二維圖像的像素域C中，像素點一般用矢量p，q，r表示C的元素，在三維或高維中，則另有表示。根據閾值和各混合高斯模型中的均值，將高斯模型分為前景區Fo，t和背景區Fb，t。

對前景區域中的高斯分布，根據公式（3）求出該像素點離各個高斯分布的distance，distance最小，那么該像素點就屬于那個高斯分布

那么該像素點強度值為g，在前景區域的概率為

式中:p代表高斯概率密度函數;表示像素p的混合高斯模型中第i個高斯分量的權重，滿足;這里分別表示第i個高斯分布的均值及協方差，協方差定義為其中σ表示標準差，I表示單位矩陣，那么該像素點落在背景區域中的概率，可以用同樣的方法求出，所以，強度值為g的像素點落在背景區域中的概率為

定義θ不依賴于像素的強度，表示屬于Fo，t的像素的概率，（1－θ）表示Fb，t的像素概率。通常情況下，θ被稱為密度函數

因此，任何像素點強度值為g的概率，表示為p（g），計算如下

用貝葉斯準則定義前景和背景類的像素點，強度值為g的后驗概率，分別為

根據分類的不確定性，隨著強度值g的像素值落入前景或背景類的圖像域C中，根據后驗概率熵公式，稱為類不確定性，它的估計根據香農和韋弗的熵方程

根據以上的描述，任何給定的強度閾值t，計算像素點的強度密度概率f（g）

1.2 歸一化的相似度

1979年將模糊連接度概念引入圖像處理中，并提出了它的框架和對象表示，模糊空間的概念如下:設n維歐式空間Rn被n組相互垂直的超平面分割成一些超立方體，這些超立方體稱為空間元素，當n=2時，這些空間元素稱為像素。模糊空間的概念是設這些超立方體的中心坐標為n元的整數，則它對應于Zn中的一個點Zn上的模糊關系α是自反的、對稱的，（Zn，α）被稱為模糊數字空間［10］，一般 α 的隸屬函數 μα（c，d）（c，d∈Zn）是c，d距離‖c－d‖的遞減函數。ζ=（c，f）被稱為模糊數字空間（Zn，α）上的場。

考慮到每對相鄰點的整體信息，相似度函數用如下公式計算

1.3 目標函數

為了求取閾值，定制出目標函數Q為

通過公式可以看出:1）不確定性高，且模糊相似度大時，目標函數值大，式中第一部分起主要作用;2）當不確定性值和模糊相似度低時，目標函數值大，式中第二部分起主要作用，只有一個大一個小，目標函數才能達到最小。目的是優化目標函數使其值最小，從而找到閾值t。

1.4 閾值優化方法

ITK（Insight Segmentation and Registration Toolkit）是一個開源，跨平臺的圖像分割框架，里面有大量的前沿算法，廣泛用于圖像配準和分割。在描述閾值t優化方法時，利用ITK中的vnlpowell這個類來實現。

本文后面的搜索空間僅僅是二維的，powell算法不需要計算導數，在每一維中使用brent算法迭代搜索，搜索速度比較快，局部尋優能力極強，在局部搜索中精度要高于其他的優化算法［11-12］，所以采用powell法來優化閾值與梯度參數。

2 實驗結果

為了驗證本算法的性能，本文利用合成圖像與實際圖像進行了測試，并與ostu算法結果進行了比較（見圖2～圖5）。圖2為2D腦區域圖像，加入了混合高斯噪聲并且對圖像進行了模糊和噪聲處理。從圖中可以看出不確定性值與像素的亮度成正比，在邊界上不確定性高，能夠更清晰地分割出不同組接口。

從圖6～圖9中可以清楚看出，通過這種方法，可以把灰度圖不同的組織，根據優化出來的局部最優閾值，清楚地分割出來，達到應用到醫學圖像的目的，從而提高了臨床醫生對人體內部病變部位的觀察，提高了確診率。

圖9 不同組織分割效果

3 結束語

近年來，自動選取閾值的圖像分割算法在圖像分割中應用效果很好，而基于信息論熵理論的閾值自動選取算法，對圖像分割的效果也得到了很好的驗證。本文自動選取閾值的算法，給出了算法的數學推導過程及優化策略，從形式上看直觀、簡潔，并且在醫學圖像的應用中，也取得令人滿意的結果，它能將醫學圖像中的不同組織分割開來。本文應用到的類的不確定性，將信息論的特征應用到圖像中，將圖像中的有用信息最大限度地保留下來，而且類不確定性這一特征也可以應用到其他的一些算法中，下一步將對此進行研究。

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Threshold Segmentation Based on GMM Model and Similarity

GUO Hong

（Chongqing Key Laboratory of Signal And Information Processing，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

Threshold segmentation method in image segmentation is one of the most simple and effective methods，but how to select appropriate threshold to achieve effective segmentation is still not unified method at present.Based on information theory and image space information，a new threshold optimization algorithm is put forward.Firstly，image mixed Gaussian distribution（GMM）is established，and by using the intensity of the class uncertainty and similarity function characteristic custom out the target function，the local threshold value is optimized，so as to achieve efficient segmentation effect.The experimental results show that compared with the OSTU，the proposed algorithm can successfully segment fuzzy boundary and image of each effective organization segmentation out.

threshold;GMM;class uncertainty;similarly function;target function

TN911.73;TP391.41

A

【本文獻信息】郭紅.基于混合高斯模型和相似度的閾值分割［J］.電視技術，2013，37（3）.

國家自然科學基金項目（61071196）;教育部新世紀優秀人才支持計劃項目（NCET－10－0927）;信號與信息處理重慶市市級重點實驗室建設項目（CSTC，2009CA2003）;重慶市自然科學基金項目（CSTC，2009BB2287;CSTC，2010BB2398;CSTC，2010BB2411）

郭 紅（1984— ），女，碩士生，主研圖像處理。

責任編輯:時 雯

2012－09－11