計算機理論教學對提高學生解決問題能力的探討

許發見

摘要：關鍵詞：教學改革；離散數學；實踐能力；教學模式

中圖分類號：G420文獻標識碼：A文章編號：1674-4853（2013）03-0104-05

計算機理論教學的內容偏重基礎性、理論性知識，不同于許多計算機課程的實用性，學生認為該課程對專業的學習無用，且又難學，影響了積極性。例如離散數學的內容廣泛知識點還比較分散，包括多個有一定關聯的分支，學生在學習時疲于應付各種概念定義，難以消化理解，更難以自學和提高。

其實之所以被稱為計算機專業基礎課，是因為離散數學在數據結構與算法分析、操作系統、數據庫、網絡與分布式計算、計算機圖形學、人工智能自動機、人機交互等許許多多的方面都得到了廣泛的應用。[1]這更要求學生學好它為后續學習打好基礎，所以需要針對離散數學的特性進行分析，然后在教學內容和模式上依據多年的教學經驗進行教學改革，希望能夠使得同學更好得接受和掌握離散數學的思想和學習方法，提高教學效果。

一、離散數學的特點

“離散數學”是計算機相關專業的專業基礎課程，課程概念繁多、理論性強、抽象深奧，學生學習興趣不高、難以入門和鞏固，教學效果不很理想。所以在“離散數學”教學中重點應該是幫助學生完成“從理論到實際”的轉變，使學生逐步掌握理論過渡到應用的方法過程；培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力、歸納構造能力和實踐創新能力。在開始的概論里，可以用一首自編的詩來概括離散的特征：

數學當作語文念，定理定義隨處見；

傳統概念重新建，應用模型很關鍵。

以下具體分析離散數學的一些特點、難點。

（一）概念和定理多且前后銜接緊密

每章節的內容都是建立在全新的概念之上，然后推理演繹出新的概念和定理等，接著就是這些定義定理的直接應用。經常概念就是定理，或者性質，甚至概念就是運算法則，所以掌握、理解和運用這些概念和定理是學好這門課的關鍵。要特別注意概念之間的聯系，概念也要和定理、性質聯系起來理解，再結合各種題型和數學模型來記憶。

（二）方法性強

離散數學要求的抽象思維和構造能力較高。通過對它的學習，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象構造能力和形式化思維能力，從而今后在學習任何一門計算機科學的專業主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。離散數學的證明題多，不同的題型會需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構造性證明法），同一個題也可能有幾種方法。特殊的題型有特殊的對應方法模型，必須專門強化記憶。

（三）入門難，概念的前后關聯強

由于是全新的概念或定義，且本身又非常抽象，初學者往往不能在腦海中建立起它們與現實世界中客觀事物的聯系，初學者不容易進入學習狀態。因此一開始必須準確、全面、完整地記住并理解所有的定義和定理。最好和已有的知識結構建立聯系，這樣才可能更好適應抽象的連綿不斷的概念，并為后續循序漸進的學習打下良好的基礎。例如，通過與學生已經熟練掌握的中學數學的比較來進一步分析離散數學的特點。其實中學學習的數學歸納法、排列組合就是典型的離散數學問題。然后進一步利用“面積證明勾股定理“的過程和“著色原理證明世界上任取6人必然有3人相互認識或者不認識“兩問題進行比較分析，它們共同點都是題目抽象且給出的條件少，通過巧妙借用構造特殊的圖形來完成證明；不同點是勾股定理證明是利用計算面積相等來完成，而后者是利用“著色模型“加上“鴿巢原理“再結合圖形空間結構關系來完成，總結出的區別是離散數學的問題一般和圖形的大小、長短、面積等數值無關，側重于考察問題關聯、變化、約束等內在邏輯關系。

（四）符號、圖形多

離散數學的經典內容包括命題邏輯、謂詞邏輯、集合、關系、代數系統、圖論等方面的基本知識。每章的概念、定理、證明、推導、解題等全部環節都需要用符號、中英文名詞術語等來表示，或者借助圖形來介紹說明。所以離散數學比其他課程要多花時間來記憶各種字符、符號、圖形，弄清楚其內在關系和演繹過程。例如集合、笛卡爾積、關系、關系閉包、等價關系、劃分等一系列的概念是一層層疊加起來的，后面的概念都是建立在前面概念基礎上的，必須弄清楚其來龍去脈，否則你直接說劃分是說不清楚的。當然借助對各種符號、圖形的理解也是有利于對概念的記憶。離散數學除了教給學生離散數學知識以外，更重要的是通過嚴格的訓練，逐步實現學生思維方式的數學化、符號化、計算機化。對于符號的掌握是非常重要的，因為全部的問題最后都是可以通過符號輸入指揮計算機來解決的。

（五）題型眾多且解題方法奇特

學數學就要做題目，學習不僅限于學習數學知識，更重要的還在于學習思維方法和解決問題的能力。數學的題目數量自然是非常多的，但題目的種類卻很有限。尤其是在命題證明的過程中，最重要的是要掌握證明的思路和方法，要善于總結和歸納，仔細體會題目類型和解題套路。例如在命題邏輯中判斷推理是否正確有真值表法、直接證法、間接證法或反證法等，需要多作練習，才可以較快地領悟其本質，能夠看出它所屬的類型及關聯的知識點，找到對應的模型，就不難選用正確的解決方法。例如前綴碼問題對應的就是最優樹模型，通過不斷積累模型來擴展解題思路。同時在記憶模型的基礎上通過相應的思維訓練提高思維變通性，進而提高解決問題的能力。

（六）章節內容差異大且解題思路難尋

集合、關系、邏輯、圖論和代數系統各章節自成體系，各部分內容差異很大，從概念到定理到解題方法大不相同。特別是離散數學證明題的方法性是很強的，如果知道一道題屬于哪個章節，該用什么知識點和方法，那離答案就不遠了。因此在平時的學習中，要勤于思考，善于總結，在離散數學學習的過程里對概念的理解是重中之重。當題目很抽象，不能夠很明確找到對應概念的時候，一些常規的解題思路也是需要強化給學生的，下面介紹幾種方法。

1.嘗試法。這是被運用比較廣泛的啟發法，使用所有你想到的操作手法，嘗試著看看能不能得到有用的結論或者邊界點、特例等，盡量離答案近一點，通過窮舉各種允許或不允許的可能性來尋找那些關鍵的性質。窮舉法也是本辦法的一個特例，窮舉法不一定就是最笨的辦法。

2.結論分析法。結論往往蘊含著豐富的條件，譬如對什么樣的解才是滿足題意的解的約束。借助結論中蘊含的內容，可以為題目提供更多信息量和縮小思考范圍。

3.縮放條件法（如刪除、增加、改變條件）。有時候通過調整題目的條件，我們往往迅速能夠發現條件和結論之間是如何聯系的。通過扭曲問題的內部結構，我們能發現原本結構里面重要的東西。

4.抽象具體法。求解一個抽象的題目先解決一個類似的具體題目，或者由具體到抽象。將問題泛化，并求解這個泛化后的問題。類似的題目也許有類似的結構，類似的性質，類似的解決方案。通過考察或回憶一個類似的題目是如何解決的，也許就能夠借用一些重要的點子。

5.對立面法或反證法。實在沒有辦法了，還可以列出所有可能跟問題有關的概念、定理或性質，來尋找和題目的聯系，發現思路，這是一種經常被使用的方法。

通過以上五個方面的特點分析和一些經驗對策的介紹，已經可以說明離散數學的教學難點和需要改進加強的環節。在教學中還可以進一步總結突出離散數學，其可以被看作是數學的前傳、是符號的語言，與一般的數學學習方法大不相同。

二、教學內容改革和模式變化

離散數學的教學目標重點是為進一步學習其他計算機課程打基礎，培養學生計算機模式的思維推理能力，提高學生利用數學知識和模型解決實際問題的能力。所有這些需要優化理論教學，重視實踐性教學環節，強調培養學生養成形式化思維和解決問題能力，使得學生在學習其他計算機應用課程時，遇上困難知道如何去理解問題、歸納推理、尋求解決方法。要以教師為主導來組織、引導學生的學習，特別是培養學生的學習興趣和自主學習能力。所以教學內容應該更豐富、媒體形式更多樣、手段更科學、理念更先進，模式更新穎。例如網絡教學、多媒體教學、啟發式教學、發現式教學、案例教學、游戲式教學等。

要達到上述要求，就需要拓展教學內容和空間，加強與后續專業課程的聯系與銜接。多結合實踐案例和游戲模型來提高興趣，多留些趣味、應用型的思考題，“積小錯為大錯、以游戲換經驗”，因為游戲多是有數學模型的，通過思考題來發現問題，積累分析解題的經驗，此外還需要突出重點，強調特點。由于補充了大量課外內容，所以在教學課時不夠的情況下可以舍棄一些次要內容以保障重點內容的教學質量，并且對簡單點的內容安排自學不做重點考核，這樣也可以提高自主學習能力。

（一）教學內容的組織和更新

離散數學教學內容比較“散”，而且難。講課時盡可能結合一些實際問題，特別是與計算機有關的問題，突出重點，強調前后聯系和概念關聯性。這樣既提高了學生的學習興趣，又使得學生更好地體會離散數學對研究計算機科學的重要性。例如圖論和集合論為數據結構和數據表示理論奠定了數學基礎，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進行抽象和描述的重要方法。在講解圖論中通路與回路概念時，給出它們在研究操作系統是否存在死鎖，自動機的初始狀態和結束狀態是否可達，程序設計語言中一個過程是否遞歸等方面的應用。數理邏輯是研究推理的學科，在人工智能、數據庫理論等的研究中有著重要的應用。激發學生學習的積極性，進一步加強學生理論聯系實際的能力。

在組織教學內容時注重離散數學與前后的計算機課程結合。即在課堂講解時，盡可能多地介紹離散數學與相關課程的銜接，讓學生清楚地認識到離散數學不是一門普通的公共數學課。例如，在數理邏輯部分講解命題聯結詞時，考慮到學生在先修課數字邏輯中動手設計過邏輯電路圖，以此為切入點進行類比講解。在集合論部分講解二元關系時，以后續選修課數字圖像處理中的二維直方圖為例進行講解。在圖論部分講解最小生成樹、最短路徑時，講清該知識點與后續必修課數據結構中相關知識點的關聯性。還可以介紹學科前沿的最新動態，直接體會課程的“實用性”，激發科研熱情、提高自主學習的興趣。

教學內容革新方面特別要注重與實際應用或可動手操作的相關實例的結合。包括各種游戲、案例、實際應用等，可以作為介紹概念時的引例或參照物，也可以作為課后趣味題、應用題、拓展題。還可以穿插結合心理學、人生觀、價值觀、挫折教育等方面的生活勵志故事，拓展教學內容和教學思路，開拓學生視野，增強他們理解、推理能力和參與社會實踐能力。同時考慮到學生基礎、學時限制等，適當降低傳統理論教學內容的難度，側重于基本概念、原理的應用。為保持課程教學體系的完整性，偏難的理論性內容選講、少講或簡單介紹，適當增加與計算機應用密切相關的實踐上機學時，對學生較感興趣或應用性較強的內容增設課外實踐環節，以興趣小組的形式延續課堂教學內容。（見表1）

（二）教學模式的選擇

教學模式是教學活動的基本結構，科學合理地選擇教學模式有助于優化教學過程、提高教學質量，常常能起到事半功倍的教學效果。

范例教學模式是指遵循人的認知規律，從個別到一般、從具體到抽象，從范例分析入手，逐步提煉、歸納和總結。例如通過幾個有趣的例子分別展示課程的4大模塊，即以“理發師悖論”為例引導出集合論模塊；以“警察斷案”為例引導出數理邏輯模塊；以“七橋問題”為例引導出圖論模塊；以“布爾邏輯電路”為例引導出代數系統模塊。但是僅僅請學生根據常識知識給出答案還不夠，還要通過這些例子生動地介紹離散數學的實際應用，激發學生學習興趣，然后才引出主題。并且在后續講解中保持類似的教學模式，利用上表里列舉的各種游戲、案例、實際應用、趣味數學和編程題目來講述一些知識難點，避免了一般理論性介紹的枯燥，能充分調動學生的學習積極性。

1.啟發式模式。以問題解決為中心，設定情境、提出問題，然后組織學生猜想或做出假設性的解釋，進而驗證并總結規律。例如，以“一筆畫”為出發點，啟發學生思考其特點，進一步總結出歐拉圖的定義和性質；在代數系統部分，以小學的加減乘除法為出發點，啟發學生思考這些運算的異同，從而引申出代數系統的一般性基本概念；以“九連環”游戲的重復操作過程來比擬對二叉樹的遍歷等等。用一個具體可見的模型或者問題來說明抽象復雜的新概念，這樣學生易于接受，并且不會因為一下子迷惑而產生抵觸情緒。

2.上機實踐模式。拓展編程，提高設計實踐能力和興趣。例如編寫程序對集合進行定義和操作，求兩個集合的交集，或求兩個集合的笛卡爾乘積；“八皇后”問題的程序設計，或者用做好的“八皇后”程序來分析其內部數據結構和算法；結合參加數學建?；駻CM競賽，這樣同學們就更重視了。

還可以演示某些手機在拍照的同時將GPS信息記錄的過程，通過這個過程來介紹數字水印、MD5、GPS和電子證據等計算機相關理論知識。然后利用計算機、數碼相機以及相關軟件進行模擬實驗驗證該過程。并且通過實驗課讓學生動手來制作數碼照片的數字水印、計算MD5值，利用數字隱藏軟件在數碼照片里隱藏數字信息。這一系列實驗即結合應用了信息安全技術，又增加了對電子證據證明力的理解。這樣的教學實驗過程簡單易懂又靈活多變，最主要是通過簡單的操作卻能夠馬上看見復雜的操作結果，又能夠幫助理解抽象的理論知識。這樣的的教學手段更能夠激發學生的學習熱情，進而增強學生解決實際問題的能力。

3.換位教學模式，可以讓學生備課、講課和點評，產生新鮮感和責任感，體會老師工作辛勞。通過換位可以站在對方的角度思考，體驗對方的想法，產生互動、共鳴。學生參與備課，在查閱材料的過程中去理解、深化內涵，拓寬外延，體驗“再發現”過程；分組備課、制作課件、講課，鼓勵各種新想法及創意，培養學生動手能力和團隊協作精神；同學間的補充、點評和考核，讓學生在實踐中吸取經驗教訓，更容易發現自己平時易忽視易錯的知識點；老師也可以站在學生的角度思考如何講解讓學生更容易接受，最后通過點評和總結起到畫龍點睛的作用。另外給敢于表現的學生加分鼓勵，因為“十次說教不如一次表揚，十次表揚不如一次成功?！睂@種形式的換位，可以加深學生對所學知識的理解，而且可以激發學生的學習興趣，更能培養和鍛煉學生的獨立思考能力、語言表達能力，成為學習的主人。營造一種人人參與的氛圍，還能活躍課堂氣氛、拉近老師和學生的距離，有利于培養學生綜合運用知識和解決問題的能力。

構建多維、多層、多方位教學手段，將課堂講授、專題討論、上機實習、課外自學等有機結合，鼓勵學生真正成為學習的主體。同時，打破一考定勝負的傳統考核機制，綜合考察學生在各種教學形式中的表現，課程考核采用總成績=筆試（50%）+平時成績（20%）+上機實踐（20%）+創新能力（10%）的形式，打造多維教學模式和評價體系。

三、總結

計算機科學的理論教學抽象程度高，需要進一步探索課程的教學改革，合理組織教學內容、有效選擇教學模式、高效運用教學手段、適當增加實踐環節，達到滿意的教學效果。以提高學生自主學習的興趣、培養學生自主學習的能力為突破口，進行教學革新，對學生后續課程的學習具有較強的現實意義。

另外，也要提高對教師的要求，教師不僅要有較深厚的計算機專業理論基礎，能把離散數學等基礎專業理論課程和其他課程結合，合縱連橫，講深講透，還要精心準備、收集選擇好的教學案例和素材，結合合適的教學方法和教學規律，有針對性選用啟發式教學方式。我院計算機專業自實施離散數學教學改革以來，以培養學生實踐動手能力和抽象思維推理能力為目標，教學內容的更新和多種教學模式激發了學生的學習熱情，增強了學生學習的主動性和解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1]吳濤，閔笛，關心. 離散數學教學改革探索[J]. 計算機教育，2010（18）：44-47.

（責任編輯：王小麗）