理解概念熟練應用靈活構造
——談自主招生考試中的導數備考

●

(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

理解概念熟練應用靈活構造
——談自主招生考試中的導數備考

●虞金龍

(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

導數是中學教材中函數內容的一種重要補充，導數的概念和求導公式有許多獨特的表現形式，因此也是自主招生中對基礎知識和基本技能考查的重要內容之一，在自主招生備考時，應理解概念、熟練應用、靈活構造.

1 理解概念

主要包括理解導數的定義，熟記求導公式、導數的四則運算法則、復合函數求導法則，并能運用上述公式與法則進行求導計算.

(2000年上海交通大學自主招生試題)

解由導數定義知

(2008年華約自主招生試題)

解由已知得

…

累加得

即

評注本題主要考查導數定義式中極限的概念.

例3已知f(x)滿足：f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)，又f′(0)=1，求函數f(x)的解析式.

(2000年上海交通大學自主招生試題)

解取x=y=0，則f(0)=0.令x=y≠0，則

從而

(1)

由f′(0)=1知，對a∈R，有

在式(1)中，令n→+∞，則

即

且當x=0時，f(0)=0.

例4過點(-1,1)的直線l與曲線y=x3-x2-2x+1相切，且(-1，1)不是切點，則直線l的斜率是

( )

A．2 B．1 C．-1 D．-2

(2011年華約自主招生試題)

解設曲線的切線(即直線l)的切點為P(x0,y0),則由導線的幾何意義得，直線l的斜率為

從而直線l的方程為

因為直線l過點(-1，1)，所以

又因為點P(x0,y0)在曲線上，所以

式(2)+式(3),得

即

亦即

因此x0=1,k=-1.故選C.

2 熟練應用

主要包括利用導數確定函數的單調性、求函數的極值與最值，特別是能用導數的方法解決關于函數性質的綜合性問題.

例5現有如下2個命題：

命題p：函數f(x)=x3+ax2+ax-a既有極大值，又有極小值；

命題q：直線3x+4y-2=0與曲線x2-2ax+y2+a2-1=0有公共點.

若命題p或q為真，且命題p且q為假，試求a的取值范圍.

(2009年浙江大學自主招生試題)

解命題p：由f(x)=x3+ax2+ax-a，知f′(x)=3x2+2ax+a.f(x)既有極大值，又有極小值，即f′(x)有2個不同的零點，即Δ=(2a)2-12a>0,解得a>3或a<0.因此，當a>3或a<0時，命題p為真.

評注命題p：函數f(x)=x3+ax2+ax-a既有極大值，又有極小值的等價條件是f′(x)=0有2個不同的零點，從而去求出命題p為真時a的取值范圍.

圖1

例6設f(x)=eax(a>0)，過點P(a,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，則△PQR的面積的最小值為

( )

(2010年華約自主招生試題)

評注求函數導數時要運算準確，本題是復合函數求導，表示出三角形面積函數之后，再次求導，求出函數的最小值，把抽象的問題轉化為具體、熟悉的問題，數形結合，相得益彰.

(1)若f′(x)+7a=0有2個相等實根,求f′(x)的解析式；

(2)f(x)在R上單調遞減,求a的范圍.

(2009年華約自主招生試題)

f′(x)=ax2+2bx+c，

即

f′(x)+9x=ax2+2bx+c+9x.

2b=-3a-9,c=2a.

因為f′(x)+7a=ax2-(3a+9)x+9a=0,f′(x)+7a=0有2個相等的實根，所以

Δ=(3a+9)2-36a2=0，

整理得

a2-2a-3=0，

解得

a=-1或a=3(舍去)，

從而

2b=-6，c=-2，

即

f′(x)=-x2-6x-2.

(2)由第(1)小題，知f′(x)=ax2+2bx+c=ax2-(3a+9)x+2a，要使f(x)在R上單調遞減，只需滿足ax2-(3a+9)x+2a≤0在R上恒成立即可，故

解得a的范圍為

評注本題考查三次函數的導數、極值點及單調性的應用，是高考和自主招生相接軌的基本問題之一.

例8設a為正數，f(x)=x3-2ax2+a2，若f(x)在區間(0,a)上大于0，則a的取值范圍是

( )

A．(0,1] B．(0,1) C．(1,+∞) D．[1,+∞)

(2011年復旦大學自主招生試題)

評注本題主要應用導數分析函數f(x) 的單調性和最值情況，解題的關鍵點在于借助導數分析出函數f(x)在(0,a)上為減函數，再解一個三次不等式即可.

例9已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c.

(1)當b=1時，若函數f(x)在(0,1]上為增函數，求實數a的最小值.

(2010年中南財經政法大學自主招生試題)

解(1)當b=1時，f′(x)=3x2+2ax+1在x∈(0,1]上恒有f′(x)≥0,從而

即

亦即

因此

x1=-2x0或x1=x0(舍去).

評注本題主要考查學生是否能用導數的方法解決一些函數性質的綜合性問題.

3 靈活構造

在自主招生考試中，還需要學生掌握一種重要的解題方法——構造函數解決問題.該方法往往難度大,涉及面廣,靈活性強，需要不斷嘗試與探索.

(2010年南開大學自主招生試題)

于是

f″(x)=-sinx+x.

評注此例是最常見的構造函數的問題，求導以后，很自然地得到所要構造的函數.

(2003年中國科學技術大學自主招生試題)

令g(x)=xlnx-(x-1)，則

g′(x)=lnx+1-1=lnx，

g(x)=xlnx-(x-1)>g(1)=0，

從而

由此可得f(x)嚴格單調遞增.

評注此例的關鍵是將指數式轉化為對數式，然后構造函數來證明，有一定的難度.

(2009年華約自主招生試題)

證明構造函數y=f(x)=x2n，n∈N*，因為y′=2nx2n-1，y″=2n(2n-1)x2n-2≥0,所以f(x)是(-∞,+∞)上的凹函數,于是

即

此例可推廣為更一般的結論：

證明因為f(x)=xk(x∈(0,+∞),k≥1)，當k=1時，f″(x)=0，當k>1時，f″(x)=k(k-1)xk-2≥0,即f(x)=xk(x∈(0,+∞),k≥1)是凹函數.由琴生不等式

得

評注該題推廣后，難度和靈活度更大了，達到了數學競賽試題的難度.

從歷年的自主招生試題來看，對導數的考查頻率較高，而且考查難度較大.備考時要以不變應萬變，以理解概念為本，熟練運用導數的知識掌握常規的問題，特別要多在利用函數構造法方面下功夫，才能取得更好的成績.