幾乎周期點稠密系統的研究

付 瑤，李 楠，范欽杰

（1.吉林師范大學 數學學院，吉林 四平 136000；2.吉林師范大學 博達學院，吉林 四平 136000）

0 引 言

1972年洛倫茲發表了《蝴蝶效應》的文章后，激發啟了人們對混沌學研究的濃厚興趣?；煦绮粌H是非線性系統普遍存在的現象，而且是非線性動力系統所固有的特性。同時，混沌學也不是獨立存在的一門學科，它與其它各門科學之間相互依靠、相互促進。而且混沌是無處不在的，在實踐生產中應用是非常廣泛的。隨著混沌理論研究的逐漸深入，拓撲熵大于零已經被廣大學者作為刻畫系統復雜程度的一個重要指標。它是迄今為止唯一的拓撲共軛數值不變量。并且在研究問題過程中也存在一定的局限性，所以僅僅用拓撲熵來刻畫系統的復雜程度是不夠的。于是廣大學者開始把目光轉移到了系統的中心測度上。

已有的成果表明：一個緊致系統全部重要的動力性態完全集中在它的測度中心上［1］，所以研究極小系統的性態就能夠滿足需要。從而在極小系統基礎上，構建了幾乎周期點稠密系統。這對更深入研究緊致動力系統的本質有重要地啟示作用，也揭示了幾乎周期點稠密集與Li－Yorke混沌的關系.

前期的研究成果已經對幾乎周期點稠密系統的混沌性有了一個初步認識，經過對問題深入的探討，筆者對這個系統的動力性態進行了進一步的研究。

1 基本概念

設X為緊致度量空間，f：X→X為從X到自身的連續映射。

定義1［2］稱y∈X為x的ω極限點，如果存在正整數的子序列｛ni｝，使ni→∞。x的所有ω極限點的集合叫作x的ω極限集，記作ω（x，f）。

定義2［3］稱x是幾乎周期點的，如果對任意ε＞0，存在整數N＞0，使得對任何q≥0，存在整數r，q＜r≤q＋N滿足d（fr（x），x）＜ε。f的全體幾乎周期點的集合記作A（f）。

定義3［4］稱M?X為（相對于f）極小集，如果M是f的非空不變閉集且M中不存在f的非空不變的真子集。如果X本身是極小的，則稱f為極小映射。

定義4［5］稱f為（拓撲）傳遞的，如果對X的任何非空開集U，V，存在n＞0，使得fn（U）∩V≠?。稱軌道在X中稠密的點為f的傳遞點。

定義5［6］設f是度量空間（X，d）到自身的連續映射，x，y∈X。如果滿足：

則稱x，y為f的Li－yorke對；如果一個不少于兩點的子集中任何不同兩點均是f的Li－yorke對，則稱該集合為f的Li－yorke混沌集，或簡單地L－Y混沌集；如果f有一個由不可數多點構成的L－Y混沌集，則稱它為Li－yorke混沌。

2 主要結論及證明

引理1［7］緊致系統（X，f）總存在極小集。

引理2［10］設M是X的非空閉子集且f（M）?M，則M極小當且僅當?x∈M＝M。

引理3 設x∈A（f），則x∈A（f）當且僅當x∈ω（x，f）且x∈ω（x，f）是極小的。

證明見文獻［8－9］。

引理4［10］下述條件等價：

1）f是極小的；

2）若ω（x，f）?X閉的，且對f不變，則ω（x，f）＝X或ω（x，f）＝?。

證明 1）?2），設ω（x，f）?X閉，且對f不變。又設因此

2）?1），設x∈X。顯然是X對f不變的非空閉子集是極小的。

引理5［10］若X緊致，則f傳遞當且僅當存在x∈X使得ω（x，f）＝X。

證明 令x∈X使得ω（x，f）＝X，同時，令U，V為X中的任意非空開子集。于是存在n＞m＞0，使得即有f是拓撲傳遞的。

另一方面令f是拓撲傳遞的。對任意的n＞0，存在半徑為的有限多個開球覆蓋X。當n取任意正整數時，所得這些開球覆蓋可寫成序列：U1，U2，…。對任意的正整數k，這個集合均是X的稠密開子集。因此知X是完備的，則根據Bairc綱定理［11］，存在。因為x的軌道穿過每個Uk，于是orb（x，f）在X中是稠密的。此時f拓撲傳遞蘊涵著f（X）＝X。則存在y∈X使得f（y）＝x。若y∈orb（x，f），則x是周期點且ω（x，f）＝X。否則y∈ω（x，f），這蘊涵x∈ω（x，f），于是ω（x，f）?orb（x，f）。進而這是因為ω（x，f）是閉集。從而也有ω（x，f）＝X。

定理1 設（X，f）為緊致系統，若x∈A（f）（x∈X）且＝X，則f中存在Li－Yorke混沌。

證明f：X→X是連續自映射：ω（x，f）→ω（x，f）的轉移自映射＝X，而ω（x，f）由文獻［12］中定理1說明存在SS混沌集。顯然存在Li－Yorke混沌集。所以f中存在Li－Yorke混沌集，定理得證。

定理2 若幾乎周期點稠密系統具有混合性，則該系統是Li－Yorke混沌的。

引理6［10］設（X，f）為緊致系統，則f是拓撲混合的，蘊涵f是Li－Yorke混沌的。

定理2的證明 根據引理6的敘述，顯然知道定理2成立。

定理3 設（X，f）為緊致系統，若x∈A（f）（x∈X）且＝X，則f是拓撲遍歷的。

證明 根據文獻［13］中推論3顯然可以得到f是拓撲傳遞的，設U，V是2個非空開子集，U，V∈（X，f），肯定?n＞0，可以有f－n（U）∩V≠?。由＝X知?x∈A（f）∩f－n（U）∩V，即有x∈V滿足fn（x）∈U。同時，根據f－n（U）的連續性可以判斷，存在x的鄰域D?V，使得f－n（D）?U。而且x∈X，x∈A（f），于是?L使得即f是拓撲遍歷的。

3 結 論

拓撲動力系統和遍歷理論的研究是相輔相成的，其中一者研究的突破和進展或新思路新方法，必然促進另一者相關理論的發展。因為拓撲動力系統可以自然的視為一個保測系統；并且任何遍歷系統都具備相應的拓撲表示。同時，它們的基礎理論有很多著極為相似的表述。而且拓撲方法在研究中有其局限性。純拓撲方法不能解決這類問題，但是應用遍歷理論的有關知識和方法卻可以對問題繼續討論。所以在研究問題時，對拓撲遍歷性也進行了討論。

以往的研究都是集中在對整個系統的動力性態上，而筆者的創新之處就在于研究系統中心測度的性質，從而推斷整個系統的性質。于是經過努力證明了Li－Yorke混沌集在幾乎周期點稠密系統中存在的條件；說明了混合的幾乎周期點稠密系統的混沌性態；闡明了該系統的拓撲遍歷性。同時在問題研究的過程中發現想要找到產生Li－Yorke混沌的充分必要條件并不容易，所以希望通過筆者的研究能夠把已有的結果建立起聯系，并簡化相關的結論。

以往的研究都是集中在對整個系統的動力性態上，而筆者的創新之處就在于研究系統中心測度的性質，從而推斷整個系統的性質。于是經過努力證明了Li－Yorke混沌集在幾乎周期點稠密系統中存在的條件；說明了混合的幾乎周期點稠密系統的混沌性態；闡明了該系統的拓撲遍歷性。同時在問題研究的過程中發現想要找到產生Li－Yorke混沌的充分必要條件并不容易，所以希望通過筆者的研究能夠把已有的結果建立起聯系，并簡化相關的結論。

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