湯保新 潘永強 路培國
(1.揚州大學土木工程系,江蘇 揚州 225127;2.江蘇省建筑設計研究院,江蘇 南京 210000)
結構可靠度計算常用的方法有一次二階矩法[1],有條件則采用高次高階矩法以提高計算精度,如二次二階矩法與二次四階矩法,這類方法需要計算功能函數的偏導數,計算采用迭代法,計算結果為可靠指標,不是直接的失效概率,而且隨著功能函數的非線性程度的增大,計算精度有所減小。結構可靠度的計算也采用蒙特卡羅法,計算量大,一般用于各種可靠度近似方法的校核。當極限狀態函數有顯式表達式而且隨機變量不多的簡單情況,亦可采用數值積分法,但當失效區域是一般不規則或是多連通或不連通的獨立區域時,數值積分法亦有一定困難。如果可以求得極限狀態函數的前幾階矩(一般為四階矩或五階矩),則可采用擬合概率密度函數方法近似計算失效概率。擬合的函數有最大熵密度函數[2]和多項式密度函數[3],前者物理意義明顯,計算較復雜,后者沒有直接的物理背景,計算較簡單。
本文對極限狀態函數求得前幾階矩,再用最大熵法擬合其概率密度函數,近似計算失效概率。
已知極限狀態函數為Z=g(X)=g(x1,x2,…,xn),隨機向量X的概率密度函數為f(X),則Z的各階原點矩為:
式(1)可通過數值積分求得。f(X)可視為權函數,采用高斯積分法,計算效率和精度較高。如正態分布、指數分布、均勻分布,相應的權函數為 e-x2,e-x,1,可分別選高斯·埃爾米特(Gauss-Hermite)、高斯·拉蓋爾(Gauss-Laguerre)、高斯·勒讓德(Gauss-Legendre)積分點。
顯然,這里規定m0=1是合理的。
根據最大熵原理,極限狀態函數的概率密度函數為:
式(2)中a0,a1,…,aN為待定系數;N為矩的最大階數,一般取4~5階矩即能獲得良好的效果[2]。
這里,z的各階原點矩也可采用積分形式表示為:
式(3)中待定系數有N+1個,方程有N+1個。
式(3)為非線性方程組,可轉化為無約束優化問題,采用優化算法求解:
式(4)中ωk為加權系數,為使式(4)各項的量綱一致,可取ωk=。
優化算法的初始點可按正態分布給出,即:
解出待定系數,就可以得到概率密度函數。
對式(2)積分得到極限狀態函數的失效概率:
注意,實際問題的解應與用中心點法計算的可靠指標的近似值 β≈μz/σz,按正態分布換算的失效概率 Φ-1(- μz/σz)相差不會很大。
例1:已知非線性極限狀態方程g=567fr+0.5H2=0。f服從正態分布,μf=0.6,δf=0.131;r服從正態分布,μr=2.18,δr=0.03;H服從對數正態分布,μH=32.8,δH=0.03。試求失效概率[1]。
1)用數值積分求極限狀態函數的前4階原點矩:
2)經計算,待定系數初始值為:
用優化算法求出待定系數:
3)求失效概率。這里的積分下界限取為μz-5σz=-320.870 9。失效概率Pf=0.025 951(換算為可靠指標β=1.944 0)。
作為對比,采用4階原點矩計算的結果見表1。
例2:已知極限狀態方程 g=1.8 - x1- x2=0,其中,x1,x2∈[0,1],其聯合概率密度函數為 f(x1,x2)=2-x1-x2。試求失效概率[1]。
計算方法同例1,結果列于表1中。
表1 計算結果匯總表
本文采用數值積分求得極限狀態函數的前幾階矩,擬合極限狀態函數的概率密度,求解失效概率。計算表明:1)采用四階矩與五階矩的計算結果相差不大,所以實用中可以采用四階矩。2)數值積分的界限一般取為μ±5σ,即可滿足工程精度要求。3)與多項式擬合法相比,計算精度變化較小,數值較穩定,所以適用性較好。
[1]趙國藩,金偉良,貢金鑫.結構可靠度理論[M].北京:中國建筑工業出版社,2000.
[2]章 光,朱維申,白世偉.計算近似失效概率的最大熵密度函數法[J].巖石力學與工程學報,1995(8):18-19.
[3]鄧 建,李夕兵,古德生.結構可靠性分析的多項式數值逼近法[J].計算力學學報,2002(11):26-30.
[4]李慶揚,王能超,李大義.數值分析[M].武漢:華中工學院出版社,1982.
[5]王淑云,方保镕,王如云.數值分析方法[M].南京:河海大學出版社,1996.