“巧去根號”求解不定積分

王會平

[摘要]本文通過一題多解舉例說明如何 “巧去根號”求解不定積分。

[關鍵字]不定積分 去根號 三角代換 變量代換

在求解被積函數表達式中含有根號的不定積分時，通常想辦法去根號。一般去根號的方法有湊微分法、三角代換法、到代換法、取最小公倍數法，例如被積函數中同時出現 ，通常取 ，如果被積函數中只出現一個根號，例如 便可去掉根號。但是，對于求解不定積分時經常碰到的一類例題，除了可以用上述方法“去根號”求解外，還有一種特殊的簡便的“去根號”方法卻不容易令人想到，例如下面的例題：

例 求解不定積分

解法1 注意到這里 因此，令

【注意】只要屬于此類型的不定積分，計算時均可采用上述方法，該方法簡潔，能夠快速計算出結果。另外，本題還可用湊微分法，三角代換法，根號整體變量代換法“去根號”求解。

解法2 （湊微分法）

解法3 （三角代換法）

本題還可以令 進行變量代換求解，但是對于本題而言計算有些麻煩，可以讓學生動手去試試，讓其與比較上述方法進行比較，此題選擇什么方法“去根號”求解更簡單方便。此題更適合選擇上述三種方法。

在計算帶根號的不定積分時，首先考慮“去根號”，如何簡單、快速地“去根號”求解出不定積分，是不定積分教學的重點和難點。在教學中，教師可著重選擇幾道典型例題，通過一題多解的形式比較“去根號”法的適宜性，這樣有利于發散學生思維，能夠讓學生領悟到不同的題目應怎樣選擇適宜的“去根號”方法，從而使得學生能夠熟練計算各種類型的不定積分，為學習后續知識奠定堅實的基礎。

[參考文獻]

[1]同濟大學數學系.高等數學（下）（第六版）[M]. 北京： 高等教育出版社， 2007.

[2]復旦大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1984：296～373.

（作得單位：昆山花橋商務城中專 江蘇昆山）