基于改進離散S變換算法的常規通信信號分選識別模型＊

（1.合肥解放軍電子工程學院404室 合肥 230037）（2.安徽省電子制約技術重點實驗室 合肥 230037）

1 引言

通信信號偵察處理領域，對通信信號的檢測和參數識別的處理方法，人們越來越多的采用時頻分析的方法。目前常用的時頻分析方法主要有：短時Fourier變換（STFT）、Gabor變換、小波變換、Wigner-Ville時頻分布、Cohen類時頻表示等。其中，最具代表性的是STFT 和小波變換［1］。

對時頻分析方法而言，時頻分辨率是衡量其算法優劣的重要指標。STFT 雖然能夠借助濾波器組快速實現，但其時頻分辨率固定；小波變換雖然能夠實現多尺度分析，但由于變換的冗余性使其不存在惟一的逆變換［1～2］。由于離散小波變換相鄰時頻窗的兩倍變化特性，對通信信號處理而言實際是不適合的，因此，大多采用連續小波變換處理。而連續小波變換又沒有快速算法實現。

因此，1996年，Stockwell 在結合連續小波變換和STFT 優點的基礎上，引入寬度和頻率成反向變化的高斯窗，提出了一種新的時頻變換方法-S變換［2］。該方法是一種介于短時傅里葉變換和小波變換之間的時頻分析方法，由于該方法具有多尺度聚焦性，時頻分辨率與頻率相關，且與其傅里葉譜直接聯系等優點，在信號處理領域受到了極大重視，并在多個領域進行了廣泛的應用。本文在研究S變換基本原理的基礎上，針對目前常用的離散S變換算法進行了分析，指出了其在實現過程中存在的問題，提出了改進的離散S變換算法，以減少離散S變換的運算量，并基于離散S變換快速算法建立了同時多目標通信信號分選識別模型。

2 傳統離散S變換算法

信號h（t）的S變換定義為［2～5］

式中a為常數。由上式可見，若令，則在S變換中，信號變換的窗函數為

其高度和寬度隨頻率而變換，這樣就克服了STFT 中窗口高度和寬度固定的缺陷。

信號h（t）可以由S變換S（τ，f）進行重構，其逆變換為

由信號h（t）的S變換和逆變換表達式，可以得到其頻譜表達式H（f）為

由式（1）、（3）和（4）可以得到，信號h（t）的S變換結果可以用信號的Fourier變換表示，即：

式中，H（f）信號h（t）的頻譜，β為頻率，控制頻域中的高斯窗在頻率軸上移動。

由上式可以看出，對離散信號而言，信號h（t）的S變換可以采用高效的快速傅里葉變換算法和卷積定理實現。

設對接收到的信號h（t）以采樣時間間隔T進行采樣，采樣點數為N，得到信號h（t）的離散序列：

在文獻［6～9］中，令f→n／NT，τ→kT，則S變換的離散表示形式為

其中，k代表時間采樣點，n代表頻率采樣點。由式（6），得到離散S變換的計算步驟［6～9］。

在文獻［6～9］的S變換離散表示式中，采用FFT 實現了S變換的快速算法。但在式（6）中，由于令f→n／NT，即頻率采樣點是按照Fourier變換的頻率采樣點選取的，而忽略了窗函數w（t）在頻率域的影響，使得表達式存在以下三個問題：

1）頻率采樣點n的取值不符合物理意義。n的取值是按照Fourier變換的頻率采樣點選取的，即以Fourier變換的頻率分辨率作為頻率采樣點間隔。而在S變換中，由于窗函數w（t）的影響，頻率采樣點的選取應以w（t）頻窗的寬度作為頻率間隔。

2）n取值范圍及步進不合理。式（6）中的n的取值從1～（N-1），步進為1／NT，實際為FFT 變換的頻率分辨率。對S變換而言，窗函數w（t）的頻窗本身就反映了頻域中的頻率分辨率。為了保證各頻點對應的頻窗無縫并且無冗余的覆蓋分析頻段，頻率步進應為各頻率對應的頻窗寬度。反映頻率f變化的n的取值，應根據所分析的頻段范圍和頻窗寬度確定。在實際應用中，頻窗寬度應該比取N點FFT 變換對應的頻率分辨率數值要大，否則窗函數w（t）在時窗包含的時域點數要大于N。由此可以得到，離散S變換中頻率采樣點的個數應該小于（N-1）。

3）m取值范圍不合理。式（6）中的m取值從0～（N-1）。然而由于在頻域中w（t）窗函數的存在，對頻窗以外的卷積是不必要的，因此，m的取值范圍應該縮小，取值范圍應該是頻窗的寬度。

從以上討論可知，式（6）中的m和n的取值，將無端增大計算的運算量。將冗余的運算量去除的關鍵就是必須考慮窗函數w（t）頻窗的影響。

3 改進的離散S變換算法

對窗函數w（x）而言，其中心w0與半徑Δw分別為［11］

可得信號w（t）的頻窗為

首先來看離散頻率點n的取值。

由于f點的頻窗寬度即為f點的頻率分辨率，根據處理信號的系統頻率分辨率需求，由式（8），在處理信號頻率最大的情況下，求等于頻率分辨率的值，得到式（8）中參數a的值。這樣，在確定a值的情況下，不同的頻率點均能滿足系統分辨率要求。為了滿足不同頻率點對應的頻窗對處理頻段的無縫覆蓋，則離散后各頻率應滿足：

設信號的采樣速率為1／T，對于數字采樣后的信號頻譜分布，在S變換中，選取0～1／（2T）不合適。因為如果頻率為0，將帶來窗口函數對應頻窗為0，由Hesienberg測不準原理［11］，時窗無窮大，計算將無法實現。由Nyquist采樣定理的折疊特性，在1／T～3／（2T）內的信號頻譜與0～1／（2T）頻段內的信號頻譜完全相同。因此，可以取處理的頻段范圍為1／T～3／（2T）。由式（9）得到整個處理頻段內的離散頻率個數（即n的取值范圍）Nscales為

式中，INT（·）代表對數值進行向下取整。則n的取值為0，1，…，Nscales-1，其頻率步進為對應頻率點的頻窗寬度。每個n值（離散頻率點）對應的頻率為

下面來看卷積項數m的取值。

卷積項數m的取值范圍，和n值對應的頻率所確定的頻窗寬度有關，由式（8）和（11）可以得到：

（）n以N點FFT 變換的頻率分辨率轉換為離散點數widthn為

則對應于不同的n值，m取值范圍為

頻率fn相對于FFT 變換結果對應的離散點（cen＿fft）n為

由此，綜合式（10）、（14）和（15）可以得到修正后的離散S變換公式為

其中k＝0，1，…，N-1。

在式（16）中，為了應用IFFT 算法，減少運算量，并且由Nyquist采樣定理的折疊特性，將m的取值范圍更改為

其中，

因此，可以得到改進的離散S變換公式為

其中k＝0，1，…，N-1，n＝0，1，…，Nscales-1。由式（19），可以得到改進的離散S變換算法實現步驟如下：

1）初始化；

（1）根據信號處理分辨率的要求，由式（8），確定式（1）中尺度因子的常數a的值；

（2）由式（10），計算離散S變換中頻率點的個數Nscales，確定n的取值范圍；

（3）由式（13）、（14），確定不同n值對應的m的取值范圍；

（4）由式（15），計算不同n值代表的頻率fn相對于FFT 變換結果對應的離散點（cen＿fft）n；

2）計算h（k）的FFT 結果

3）計算窗函數w（t）的FFT結果，得到

4）按頻率采樣點（cen＿fft）n計算

下面對改進離散S變換算法性能進行分析。

由式（6），可以得到在1／（2T）處理頻段寬度范圍內，完成傳統離散S變換需要的運算量為

由式（19），同樣可以得到在1／（2T）處理頻段寬度范圍內，采用改進的離散S變換算法完成運算的運算量為

由上面的討論可知，肯定存在Nscales≤N和Mn≤N，所以，改進的離散S變換的運算量比傳統離散S變換的運算量要小。

下面考慮一個處理系統。設信號采樣速率1／T＝20MHz，采樣點數N＝4096。系統處理的頻率分辨率需求為Δf≤75kHz。采用傳統離散S變換和改進的離散S變換算法對信號進行分析處理，可以得到兩種方法的運算量對比如表1所示。

表1 算法運算量比較

固定系統頻率分辨率要求，當不同采樣點數時，采用傳統離散S變換算法和改進的離散S變換算法，分別計算運算量，得到圖1。為方便顯示，運算量采用對數坐標顯示。

圖1 運算量與采樣點數對數坐標關系

由表1和圖1可以得出結論，改進的離散S變換算法運算量明顯比傳統的離散S變換算法的運算量要小，對于1024點以上的數據進行分析時，基本上要少一至幾個數量級；而且隨著所處理的采樣點數的增多，改進離散S變換算法比傳統的離散S變換算法在算法的運算量方面越具有優勢。

4 常規通信信號分選識別數學模型的建立

通信信號在時域和頻域上的變化特征是建立多目標信號分選識別數學模型的基礎。一般來說，信號S變換的多維相空間中包含下述可選特征：

N為尺度域上能量峰值的個數；

ai為尺度域上第i個能量峰值對應的尺度值，i＝1，2，…，N；

Mi為尺度ai對應的幅值發生突變的次數；

tij為Mi≠0時，尺度ai對應的峰值發生第j次突變的時間，j＝1，2，…，Mi；

Pij為Mi≠0時，尺度ai對應的第j個幅值的大小，j＝1，2，…，Mi＋1。

上述特征值構成了樣本空間中的多維特征向量，它從不同側面描述了目標信號之間時頻綜合特性，是建立信號分選識別數學模型的特征依據。

對信號的特性而言，具備以下特點：

1）不同調制域特性的目標信號在多維特征空間中表現出顯著差異的自相關與互相關特性；

2）相同調制域特性的目標信號在多維特征空間中表現出基本共性的自相關與互相關特性；

3）當同時接收多個目標信號時，各相對獨立的目標信號其S變換在時間-尺度（頻率）域表現出弱的互相關特性，與各類信號的先驗特性相對應。

根據上述特點，對信號的分選識別可按以下四個步驟進行：

1）提取信號S變換的各多維特征向量

對S變換的結果數據進行分析，獲取下列各特征向量：

2）分析上述各多維特征向量的自相關與互相關特性

自相關特性分析主要針對尺度域上各ai值對應幅度隨時間的變化特征，側重于分析Δtik＝ti（k＋1）-tik及其對應ΔPik＝Pi（k＋1）-Pik的特性，包括：

互相關特性分析主要針對尺度域上兩個尺度值ai、aj之間對應幅度隨時間的變化特征，側重于分析ΔMij＝Mi-Mj及Δt（i，j）k＝tik-tjk的特性，包括：

在ΔMij＝0（i≠j）時，

如果ΔMij≠0，則對兩個尺度ai和ai分別進行自相關特性分析。

3）根據互相關特性，確定通帶內同時存在多少個目標信號。

在模式訓練的過程中，對各種常規通信信號進行S變換，然后同時根據各種常規通信信號S變換下的變換結果，對各種信號S變換結果之間的尺度（頻率）域上的互相關變換特性ΔMij和時間域上的變換特性Δtij進行分析，得出不同常規通信信號之間互相關特性識別的閾值。在進行分選識別時，主要根據訓練中得到的判別閾值和未知信號的尺度（頻率）域上的變換特性ΔMij和時間域上的變換特性Δtij來判斷。

4）根據自相關特性建立相應的識別模型，確定各目標信號的調制樣式，并提取出對應的特征參數。

在模式訓練的過程中，分別根據某一種常規通信信號S變換下的變換結果，對所訓練信號S變換結果自身的尺度（頻率）域上的自相關變換特性ΔPik和時間域上的變換特性Δtik進行分析，得出這一常規通信信號自相關特性識別的閾值。然后對另一種通信信號進行相同處理，得到不同常規通信信號分選識別自相關特性判別閾值。在進行分選識別時，主要根據訓練中得到的判別閾值和未知信號的尺度（頻率）域上的變換特性ΔPik和時間域上的變換特性Δtik來判斷。

總之，通過對目標信號S變換的自相關與互相關特性分析，并采用模式識別中分層分類器的判決模式，就可以實現同時對多目標信號在時間域、尺度域（頻率域）和調制域的綜合分選識別。

5 對多目標通信信號的分選識別

由此，可以得到基于改進S離散變換算法的多目標通信信號分選識別框圖如圖2所示。本文給出了通過處理實際采集的空中信號，利用基于改進離散S變換算法的多目標通信信號分選識別模型進行信號分選識別的一個例子。實驗中，接收機輸出中頻信號頻率為1.4MHz，中頻帶寬為6kHz，根據Nyquist 采樣定理，信號采樣速率可取為16kHz，對短波波段內的通信信號進行處理。圖3分別給出了帶寬內處理一個信號、兩個信號、三個信號時的改進的離散S變換結果和識別結果。

圖2 基于改進離散S變換算法的多目標通信信號分選識別框圖

為了更好地說明算法的有效性，下面對不同信噪比情況下的S變化結果和信號識別結果進行驗證。實驗中，模擬產生了單音調制的AM 信號，信號載頻取100kHz，調制頻率為1kHz，調制系數取0.3，模擬噪聲為高斯白噪聲，信號采樣頻率取為10.24kHz。模擬產生不同信噪比下的AM 信號，其改進離散S變換結果如圖4所示。

從圖4可以看出，對于調制系數為0.3 的單音調制AM 信號，當SNR ＝-3dB時，此時信號的調制信息已經被噪聲完全淹沒，而載頻還是比較容易從噪聲中分離出來，模型不能正確識別信號。大量模擬實驗結果表明，對于信噪比SNR ＞-3dB的信號，基于改進離散S變換的通信信號多目標分選識別模型基本上能將信號調制樣式識別出來，SNR 越大，即噪聲越小，識別效果越好。

圖3 信號改進離散S變換結果及識別參數

6 結語

本文對離散S變換算法進行了研究，在對傳統離散S變換算法研究的基礎上，提出了改進的離散S變換算法，并建立了常規通信信號分選識別模型。通過對比傳統離散S變換和改進離散S變換算法的運算量，證明了改進離散S變換算法的運算量更少，基本上要少一至幾個數量級，證明了算法的有效性。通過處理實際接收的空間信號，證明了基于改進離散S變換算法的常規通信信號分選識別模型的有效性，實現了同時多目標通信信號的識別。

圖4 高斯噪聲下單音調制AM 信號改進離散S變換結果

改進離散S變換算法運算量的減少和基于其上的分選識別模型的建立，對于通信信號的快速偵察以及相應硬件設備的實現，具有重要的理論和現實意義。

［1］張賢達.現代信號處理［M］.北京：清華大學出版社.2002.349-351.

［2］Stockwell R G，Mansinha L，Lowe R P.Localization of the complex spectrum：The S transform ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing（S1053-587X），1996，17：998-1001.

［3］Theophanis S，Queen J.Color display of the localized spectrum［J］.Geophysics，2000，65（4）：1330-1340.

［4］Pinnegar C R，Eaton D W.Application of the S transform to prestack noise attenuation filtering［J］.Journal of Geophysical Research，2003，108（B9）：1-10.

［5］Pinnegar C R，Mansinha L.The S-transform with windows of arbitrary and varying shape［J］.Geophysics，2003，68（1）：381-385.

［6］陳學華，賀振華.改進的S變換及在地震信號處理中的應用［J］.數據采集與處理，2005，20（4）：449-453.

［7］劉傳武，張智軍，畢篤彥.S 變換在雷達目標識別中的應用［J］.系統仿真學報，2008，20（12）：3290-3292.

［8］武開有，馬緒.基于S變換的跳頻信號參數估計［J］.軍事通信技術，2009，29（3）：7-11.

［9］陳學華，賀振華，陳震.基于能量歸一化窗的S變換及應用［J］.數據采集與處理，2009，24（4）：458-463.

［10］李少凱，劉承承，李剛磊.數字通信信號小波變換尺度選取問題研究［J］.計算機與數字工程，2010（7）.

［11］張賢達，保錚.非平穩信號分析與處理［M］.北京：國防工業出版社，1998：18-21.