集值優化Henig有效元廣義二階組合切上圖導數的最優性條件

徐義紅,張小榮,汪 濤

(南昌大學 數學系,南昌 330031)

集合的錐有效性是向量優化的重要組成部分.由于(弱)有效性范圍較大,收縮解的范圍即成為向量優化的一項主要工作,因此各種真有效性的概念被相繼引入[1-2],其中Henig有效性[1]是具有代表性的真有效性之一.Henig真有效點既保持了超有效點的主要特征,同時它僅要求序錐具有基,而且存在條件比超有效點弱得多,因而研究向量優化的Henig有效解已成為優化理論的主要內容[3-4].仇秋生[4]得到了Henig真有效點的若干等價條件,并討論了Henig真有效點與Benson真有效點間的關系;余國林等[5]在賦范線性空間中對集值映射引入了錐-Henig有效次梯度和Henig有效次微分的概念.

目前,用切導數研究集值優化問題的最優性條件已取得一系列成果[6-9].Jahn等[7]提出了廣義二階切上圖導數并建立了二階最優性條件.二階切集僅是閉集,通常不是錐,即使對于凸集,它的二階切集也未必是凸集.而廣義二階切上圖導數[7]是通過二階切集引進的,因而廣義二階切上圖導數不具有廣義切上圖導數的某些性質.為克服此二階導數的某些局限性,李聲杰等[8]引進了一種新的廣義二階切上圖導數----廣義二階組合切上圖導數(generalized second-order composed contingent epiderivative),在某種假設下證明了存在性定理,利用該導數得到了集值優化問題的最優性條件,推廣了相關結論.廣義二階組合切上圖導數的性質[8]: 在某種假設下,它是嚴格正齊次和次可加的.

本文利用廣義二階組合切上圖導數建立集值優化問題Henig有效元高階導數的最優性條件.

1 基本概念

設X,Y為實賦范線性空間,Y*為Y的拓撲對偶空間.設M是Y的任一非空子集,用intM,clM和coneM分別表示M的內部、 閉包和生成錐,其中

coneM={λm:λ≥0,m∈M}.

記C為Y中頂點在原點的閉凸點錐.如果0?clΘ且C=coneΘ,則凸子集Θ?C稱為C的基,δ=inf{‖θ‖|θ∈Θ}>0.設B是Y中的閉單位球,即B={y∈Y|‖y‖≤1}.對ε∈(0,δ),定義

Sε(Θ)=cone(Θ+εB),Cε(Θ)=clcone(Θ+εB).

引理1[10]設0≤ε1<ε2<δ,則Cε1(Θ){0}?intCε2(Θ).

引理2[2]設0<ε<δ,則Cε(Θ)是閉凸點錐.

定義1[1]設M是Y的非空子集,若存在ε∈(0,δ),使得

clcone(M-y0)∩-cl(Sε(Θ))={0},

則y0∈M稱為Henig有效點,記為y0∈He(M,Θ).

設F:X→2Y是集值映射,F的有效域、 圖和上圖分別定義為:

?x∈X.

(1)

?x∈X.

定義5[12]設向量函數η:X×X→X,S是不變凸的,F:S→2Y為集值映射.如果?x1,x2∈S,?λ∈(0,1),有

λF(x1)+(1-λ)F(x2)?F(x2+λη(x1,x2))+C,

則稱F在S上關于η是C-預不變凸的.

2 Henig有效元的二階最優性條件

考慮集值優化問題(P):

其中:S是X的非空子集;F:S→2Y是集值映射.

(2)

其中Cε0(Θ)=clcone(ε0B+Θ),B是Y中的閉單位球.

(3)

使得

(4)

(5)

由式(3),(4)知,存在N1∈,使得當n>N1時,

于是

?n≥N1.

(6)

又由于λn→+∞,因此存在N2∈,使得當n>N2時,λn≥2,因而

?n≥N2.

(7)

由式(6),(7)得vn∈-intCε(Θ)-C,?n≥max{N1,N2},又由-intCε(Θ)-C?-intCε(Θ)得

vn∈-intCε(Θ), ?n≥max{N1,N2}.

(8)

由式(5)知對任意的n≥max{N1,N2},存在K1(n)∈,使得

?n≥max{N1,N2}, ?k>K1(n),

于是

?n≥max{N1,N2}, ?k≥K1(n).

(9)

?-intCε(Θ)-C?-intCε(Θ),

?.

設

(10)

由引理2得0?-intCε(Θ),于是y*≠0.由int cone(εB+Θ)?cone(εB+Θ)得

y*∈-cone(εB+Θ).

因此存在λ1≥0,z*∈-(εB+Θ),使得y*=λ1z*.由y*≠0得λ1>0,于是y*/λ1=z*,由-(εB+Θ)?-cone(εB+Θ)得y*/λ1∈-cone(εB+Θ),再由式(10)得

所以

引理4設S?X是不變凸的,F:S→2Y在S上關于η是C-預不變凸的,(x0,y0)∈graphF,由式(1)定義的G(η(x,x0))滿足性質:

G(η(x,x0))?minG(η(x,x0))+C, ?x∈S,

則對任意的(x,y)∈graphF,有

F(x)-y0?DgF(x0,y0)(η(x,x0))+C.

因而

下證(xn,yn)∈epiF.由于F在S上關于η是C-預不變凸的,于是

所以(xn,yn)∈epiF,從而(η(x,x0),y-y0)∈Tepi F(x0,y0),即

y-y0∈G(η(x,x0))={y∈Y: (η(x,x0),y)∈T(epiF,(x0,y0))}.

由引理中條件,類似文獻[8]中命題2.4(i)的證明得

y-y0?DgF(x0,y0)(η(x,x0))+C,

于是

F(x)-y0?DgF(x0,y0)(η(x,x0))+C.

滿足

并存在ε0∈(0,δ),使得

(11)

及定義3、 定義4和式(11)得

(12)

由F關于η是C-預不變凸的及引理4得

于是

(13)

下證

?, ?x∈S.

(14)

z1+c1∈-int clcone(ε0B+Θ),

則

z1∈-c1-int clcone(ε0B+Θ)?-(C+int clcone(ε0B+Θ)).

由C=coneΘ得C?clcone(ε0B+Θ),于是

C+int clcone(ε0B+Θ)?int clcone(ε0B+Θ).

所以z1∈-int clcone(ε0B+Θ),從而

?,

這與式(12)矛盾.又由式(13),(14)得

?, ?x∈S,

于是

?,

因此

?.

(15)

取ε1=ε0/2,則由引理2得

[-clcone(ε1B+Θ)]{0Y}?-int clcone(ε0B+Θ).

再由式(15)得

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