單參數電力系統亞臨界Hopf分岔控制

李鵬松,陳書吉,呂 雪,盛桂全

(東北電力大學 理學院,吉林 吉林 132012)

分岔控制的主要任務是設計控制器改變非線性系統的分岔特性,獲得所需要的系統動力學行為[1].典型的分岔控制包括：將原系統固有的分岔行為延遲； 設計參數值,使之產生新的分岔或改變平衡點的位置； 改變原非線性系統的拓撲結構,改變分岔類型； 改變原系統極限環的多樣性、 幅值、 頻率等[2].目前控制方法主要有諧波平衡法、 多尺度法、 線性和非線性狀態反饋控制法、 規范形方法和Washout-filter(高通濾波器)方法等[3-6].在電力系統分岔分析中,有4種分岔形式和電壓穩定性密切相關,分別是鞍結分岔(SNB)、 Hopf分岔(HB)、 奇異誘導分岔(SIB)和極限誘導分岔(LIB).研究表明,電力系統中Hopf分岔可能先于鞍結分岔出現而導致電壓失穩或崩潰[7-8].

目前,針對單參數電力系統Hopf分岔的控制研究已取得一些成果,主要是利用高通濾波器方法和線性反饋控制法[1,9].在電力系統中,無功補償器(SVC)可以輸入節點電壓的二次項,考慮電力系統的實際物理意義， 本文針對單參數電力系統設計一個二次非線性控制器,以經典的雙機三節點電力系統為例,在不改變原系統平衡點及Hopf分岔點的條件下,將亞臨界Hopf分岔控制為超臨界Hopf分岔,并通過實際算例和仿真分析驗證了所設計控制器的實用性和有效性.

1 基本概念

電力系統可抽象為單參數非線性模型

(1)

其中：x為狀態變量；μ為可變參數.

Hopf分岔包括超臨界Hopf分岔和亞臨界Hopf分岔[10],其中: 亞臨界Hopf分岔對電壓穩定性存在較大危害,使電壓穩定域的范圍減小,并使系統的載荷能力極大降低;超臨界Hopf分岔使電壓發生等幅振蕩,產生穩定極限環.因此,將亞臨界Hopf分岔控制為超臨界Hopf分岔具有實際應用價值.

2 經典雙機三節點系統的Hopf分岔類型

經典雙機三節點電力系統由兩臺發電機向一負荷供電,等值發電機采用二階模型,負荷采用第一類動態負荷模型.系統包含4個狀態變量: 發電機功角δm、 發電機角頻率ω、 負荷點電壓幅值u和相角δ.Q1為負荷點的無功功率,是系統的可變參數.描述系統動態特性的狀態方程如下：

(2)

其中網絡提供給負荷的功率及各參數取值參見文獻[11].

根據改進的直接法[12]可求得系統(2)有兩個Hopf分岔點H1和H2,且均為亞臨界Hopf分岔[13]:

H1：當Q1=10.946 779時,

(δm,ω,δ,u)=(0.310 09,0,0.120 003,1.099 752)；

H2：當Q1=11.406 648時,

(δm,ω,δ,u)=(0.343 44,0,0.136 135,0.942 565).

3 亞臨界Hopf分岔控制

考慮分岔點H1,在不改變系統平衡點的條件下,采用二次非線性控制器,這里只對Q1實施控制,結合系統的狀態方程(2),控制后的系統為

(3)

其中U=k1(u-ξv)2.顯然,該非線性控制器未改變原系統的平衡點.

考慮平衡點H1,取ξ=0.5,則系統在平衡點H1處的Jacobian矩陣所對應的特征值分別為：λ1=-0.5,λ2=-128.651,λ3,4=±3.748i,λ5=-15.367.針對受控系統,先將平衡點H1平移至原點,即

可得受控系統的Poincaré規范形:

(4)

根據Poincaré規范形理論[14],計算系統(4)的Hopf分岔穩定性指標

(5)

其中(下列各式求導均在零點)：

分別計算各特征量,最終得穩定性指標為

為保證極限環穩定,即β2<0,則19.1

圖1為受控系統(3)在第一個Hopf分岔點H1鄰域受擾后的Matlab仿真結果.由圖1可見,施加控制器后,電壓幅值由原來的增幅振蕩變為等幅振蕩,表明原系統的亞臨界Hopf分岔變為超臨界Hopf分岔.

圖1 當Q1=10.946 777 9時鄰域受控系統的電壓仿真曲線(A)和δm-u平面相軌跡(B)Fig.1 Simulation curves of voltage (A) and phase trajectory in δm-u plane (B) of controled system for Q1=10.946 777 9

針對第二個分岔點H2,施加與系統(3)相同的控制器,其中U=k2(u-ξv)2.由于H1—H2段系統已失穩,所以分析分岔點H2的分岔類型時需從反方向考慮,即當無功功率Q1由大到小至分岔點H2時的情況.同理,根據式(5)可得Hopf分岔穩定性指標為

為了保證極限環穩定,即β2<0,則k2<0或k2>159.取k2=-50,則β2=-20.385<0,即施加非線性控制器后系統的Hopf分岔點H2由亞臨界變為超臨界,產生穩定極限環,且該控制器不改變Hopf分岔點H1的類型.

圖2為受控系統(3)在第二個Hopf分岔點H2鄰域受擾后的Matlab仿真結果.由圖2可見,施加控制器后,電壓幅值由原來的增幅振蕩變為等幅振蕩,且產生穩定極限環,表明原系統的亞臨界Hopf分岔變為超臨界Hopf分岔.

圖2 當Q1=11.406 648時鄰域受控系統電壓的仿真曲線(A)和δm-u的平面相軌跡(B)Fig.2 Simulation curves of voltage (A) and phase trajectory in δm-u plane (B) of controled system for Q1=11.406 648

綜上,本文以典型的雙機三節點電力系統為例設計了二次非線性控制器,在不改變原系統平衡點及Hopf分岔點的條件下,將其亞臨界Hopf分岔控制為超臨界Hopf分岔,從而使系統穩定,并通過數值模擬驗證了所設計控制器的有效性.本文的結論適用于含單參數電力系統的亞臨界Hopf分岔控制.

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