基于分數次冪多項式的NURBS曲線快速插補方法研究

朱 昊 劉京南 楊安康 汪木蘭

1.東南大學，南京，210096

2.南京工程學院先進數控技術江蘇省重點實驗室，南京，211167

0 引言

非均勻有理 B樣條(non－uniform rational B－spline，NURBS)是國際標準化組織在產品模型數據交換標準(standard for exchange of product model data，STEP)中規定描述自由曲線曲面的唯一數學模型。是否具有NURBS曲線插補功能是目前衡量一個數控系統技術水平的重要指標之一。近年來，關于NURBS插補的一個熱點問題是如何將進給速度的控制融合到插補計算之中［1］。傳統的速度控制方法有很多種，基于速度時間曲線的描述，常見模型類型包括直線型、指數型以及S型［2］。直線型速度控制方法簡單、計算量小。相對于直線型控制方法，指數型速度控制方法具有平滑性好、運動精度較高的優點。但上述兩種方法都存在加速度不連續、機床受沖擊、加工質量不高的缺點。潘海鴻等［3］討論了S型速度控制策略，這種控制策略實現了加速度的平滑過渡，但存在加加速度不連續的問題。趙國勇等［4］用分段三次多項式描述速度變化，設計了速度控制策略，該算法實現了加加速度時間曲線的連續性，但加加速度變化較緩慢，使得速度上升到最大值所需要的時間較長，影響了插補的快速性。

本文在考慮加加速度連續性、平滑性及其最大值限制的基礎上，提出一種基于分數次冪多項式描述的速度控制策略，使得加加速度能快速增大至最大值，且過渡連續、平滑。

1 NURBS曲線直接插補方法

NURBS曲線直接插補是指將整條NURBS細分為若干插補周期，在每個插補周期內控制刀具在三個坐標上運動，從而直接逼近NURBS曲線。目前一般按照時間進行分割，在確定不同位置刀具速度的基礎上，首先根據加工路徑曲率變化確定各插補點的速率vi，然后按照步進時間不變的原則求取插補步長ΔS。對于以參數ui表示的NURBS曲線P(u)，可以根據步長ΔS確定下一點的參數值ui+1。通過ui+1可最終求取此點的坐標X、Y、Z 及其偏移量 ΔX、ΔY、ΔZ。在上述過程中，由于NURBS曲線的反函數難以計算，對于參數ui+1的求取一般采用Taylor展開近似算法來獲取步長和參數的關系。對于NURBS曲線P(u)，通過Taylor展開可以遞推得到下一個參數的近似值。常用的二階Taylor展開式如下［5］:

式中，T 為插補周期;v 為進給速度;X'、X″、Y'、Y″分別為X(u)和Y(u)的一階、二階導數。

根據式(1)通過De Boor遞推公式即可根據參數ui+1最終求取此點的坐標X、Y、Z。

2 基于分數次冪多項式的速度控制

2.1 加加速階段速度分析

當加工路徑曲率發生變化時，機床插補的速度必須發生變化，否則將會帶來過大的輪廓誤差。文獻［3］中討論的速度控制模型將加速或減速過程分為三段，因此完整的加速 －勻速 －減速過程被分為七段。這是目前應用最為廣泛的速度控制策略，其中加加速段模型為

式中，jmax為最大加加速度;vs為初始速度;t為時間。

文獻［4］提出的速度模型能實現加加速度的連續，其中加加速段模型為

其中，系數k由機床自身特性決定。

由式(2)可以看出，加加速度為恒定值jmax，當速度模型由加加速過渡到勻加速時，加加速度將發生階躍跳變，這種階躍跳變將導致機床受到柔性沖擊而影響加工精度。式(3)中加加速度呈線性變化，其變化率由系數k決定。系數k的取值取決于機床本身結構，對于不同結構的機床，系數k也不同。目前對系數k的特性及變化規律進行深入討論的文獻很少，還沒有統一的結論。為使得加加速度更快地達到jmax且保持連續，本文提出基于分數冪多項式的速度控制策略，其中加加速度階段模型如下:

式中，js為初始加加速度;as為初始加速度。

2.2 基于分數次冪多項式的速度控制模型

傳統的七段法將加速過程分為三段:加加速過程、勻加速過程、減加速過程。在這3個過程中，加加速度分別為jmax、0、－jmax。減速過程與加速過程類似。本算法在七段法基礎上，將加速和減速過程均進一步細分為七段。加速階段的具體動力學模型如下:

減速部分與之類似。這里按照一般情況，設加加速度和加速度的初始值均為0，速度初始值為vs。

3 相關約束條件

3.1 曲率半徑的計算

曲率半徑描述了曲線的彎曲程度。對于一條NURBS曲線P(u)，在ui處的曲率半徑Ri為

式中，P'(u)、P″(u)為 P(u)的一階、二階導數。

由NURBS曲線齊次坐標表示法可得

式中，Pi為 NURBS曲線控制點;Ni，k(u)為 B 樣條基函數。

因此，可得

同理，可求得二階導數P″(u)，并將其代入式(8)即可求出該點處曲率半徑。

3.2 基于弓高誤差的速度約束

設相鄰兩個點ui和ui+1之間的弓高誤差為ε，ui點處加工半徑為ri，則根據弓高誤差的定義可得

由Li=viT可得

為保證加工精度，在弓高誤差的約束下，在ui處的速度vc應該滿足如下關系:

3.3 基于加加速度最大值的速度約束

在插補過程中，除加加速度不連續會對機床產生柔性沖擊外，加加速度絕對值過大也同樣會對機床產生影響。文獻［6］討論了加加速度與進給速度的關系，并推導了相應公式。對于NURBS曲線P(u)，加加速度j、加速度a以及速度v之間的關系如圖1所示。

圖1 單步插補中加加速度、加速度和速度的關系

由加加速度定義可得

因此

4 基于曲率變化的前瞻算法

4.1 前瞻算法目標

當實際加工路徑曲率以及長度發生變化時，第2節所述動力學模型將有所變化。當曲率變化相對劇烈，加工路徑相對較短時，上述模型中可能沒有勻加速階段、勻速階段以及勻減速階段，甚至速度不能達到機床允許的最大速度vmax。前瞻算法的主要功能在于判斷加速、減速階段時間以及求取插補過程的減速點，并理論減速位移Sd相比較，從而確定上述模型的具體結構并修正實際進給速度。

4.2 加減速階段分析

當加工路徑曲率l發生變化時，加工速度隨之變化，當加工路徑為直線時，l=0，加工速度最大。因此可以根據加工路徑的曲率求得加工路徑中的速度極大區域。具體判斷法則如下:

對于NURBS曲線P(u)，設其參數ui處的曲率為li，則根據式(8)的倒數可以求得曲線上各點曲率值的集合{l0，l1，…，ln}。

(1)當其中某一個元素li的值為0時，則此元素li所對應點同時為加速過程的結束點和減速過程的起始點。

(2)當其中連續多個元素 li－t，li－t+1，…，li的值為0時，則此組中最左邊一個元素li－t所對應點為加速過程的結束點，此組中最右邊一個元素li所對應點為減速過程的起始點。

(3)設Δli=li－li－1為相鄰兩個點的曲率之差，則對于連續 3 個點 P(ui－1)、P(ui)、P(ui+1)，存在 Δli、Δli+1。當Δli＜ 0且Δli+1＞ 0時，P(ui)同時為加速階段結束點和減速過程的起始點。

(4)當Δli＞0且Δli+1＜0時，P(ui)同時為減速過程的結束點和加速過程的起始點。

4.3 減速點預測

設插補運動位移為S，則有

現將式(18)代入式(8)可以求出理論減速位移Sd。文獻［7］給出了一種基于Sinpson求積法的NURBS總弧長St的計算公式。文獻［8］給出了一種計算已走過弧長Sa的計算公式。則ΔS(ΔS=St－Sa)表示該段曲線實際剩余位移。根據上述參數，可得減速點判斷法則如下。

對于NURBS曲線P(u)，令各點處剩余位移為{St，ΔS1，…，ΔSi，…，ΔSn－1，0}，則有:① 其中若存在某個元素ΔSi滿足ΔSi=Sd，則P(ui)為實際減速點;②其中若存在連續兩個元素 ΔSi，ΔSi+1滿足ΔSi＞Sd且ΔSi+1＜Sd，則P(ui)為實際減速點。

5 仿真分析

由式(5)～式(7)可得在加速－勻速－減速階段分數冪多項式速度控制策略(此處稱為F算法)的加加速度時間曲線、加速度時間曲線和速度時間曲線。為驗證其合理性，現與文獻［3］中的七段法速度控制策略(此處稱為S算法)和文獻［4］中的三次多項式速度控制策略(此處稱為T算法)作對比?？紤]到比較條件的一致性，這里取 k=1，jmax=1mm/s3，amax=2mm/s2，vmax=8mm/s，vs=0。對比結果如圖2所示。

從圖2中可以看出，S算法加速度和速度變化較快，但加加速度出現了階躍跳變。T算法和F算法實現了加加速度的連續，但F算法加速度和速度變化更加快速?？梢姳疚奶岢龅腇算法可以在保證加加速度連續的條件下使得速度更快達到最大值。

為驗證上述算法的正確性，本文在MATLAB中分別對二維和三維NURBS曲線進行了仿真，對加加速度連續的T算法和F算法進行了對比。二維NURBS插補路徑如圖3a所示，其控制點為(4，4，0)、(0，2，0)、(0，8，0)、(4，4，0)、(8，0，0)、(8，6，0)、(4，4，0)。權重向量為 w=(1，0.5，0.9，1，0.9，0.5，1)。節點向量為 U=(0，0，0，1/4，1/2，1/2，3/4，1，1，1)。三維 NURBS 插補路徑如圖3b 所示，其控制點為(3，1，0)、(2，3，2)、(4，2，1)、(5，4，3)、(6，2，1)、(8，3，2)、(7，1，0)。權重向量為 w=(1，0.5，0.9，1，0.9，0.5，1)。節點向量為 U=(0，0，0，1/5，2/5，3/5，4/5，1，1，1)。

圖2 F算法、T算法、S算法速度控制策略比較

圖3 二維和三維NURBS曲線插補路徑

加工參數如下:插補周期T=1ms，最大進給速度 vmax=100mm/s，最 大 加 速 度 amax=250mm/s2，最大弓高誤差 ε=1μm。二維 NURBS曲線初始進給速度vs=70mm/s，插補速度時間曲線如圖4a所示。三維NURBS曲線初始進給速度vs=0，插補速度時間曲線如圖4b所示。從圖4a和圖4b中可以看出，F算法中進給速度可以更快地到達速度最大值。在實際加速位移較短，進給速度無法達到vmax時(如二維NURBS曲線的控制點(4，4，0)與(0，2，0)之間和三維 NURBS 曲線的控制點(2，3，2)與(4，2，1)之間)，F 算法中進給速度可以達到相對較高的值。

圖4 二維和三維NURBS曲線F算法、T算法速度響應

6 結束語

本文在分析現有算法的基礎上有針對性地提出了基于分數次冪多項式的速度規劃方法，分析了基于加加速度控制約束的約束條件，根據曲率的變化討論了加減速階段及減速點的計算方法并給出了判斷法則。分析結果表明，本算法可以在保證加加速度連續的前提下有效提高加工速度，滿足了NURBS曲線高速高精度的插補要求，將本算法應用于實際計算機數控系統有切實的實用價值和可行性?？紤]到篇幅限制，本文并未討論如何將上述算法嵌入到真正數控機床中予以實現。

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